打卡第三天-【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）原卷版+解析版

【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）

新高考真题限时训练打卡第三天

一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．（2020·海南·高考真题）设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则=（ ）

A．{1，3，5，7} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5，7，8}

【答案】C

【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.

【详解】因为A{2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，所以故选：C

【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.

2．（2020·海南·高考真题）=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接计算出答案即可.

【详解】故选：B

【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.

3．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ）

A．2种 B．3种 C．6种 D．8种

【答案】C

【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.

【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法

所以，不同的安排方法共有种故选：C

【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.

4．（2019·全国·高考真题）设，为两个平面，则的充要条件是

A．内有无数条直线与平行

B．内有两条相交直线与平行

C．，平行于同一条直线

D．，垂直于同一平面

【答案】B

【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．

【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．

【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．

5．（2020·山东·统考高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.

【详解】

的模为2，根据正六边形的特征，

可以得到在方向上的投影的取值范围是，

结合向量数量积的定义式，

可知等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以的取值范围是，故选：A.

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.

6．（2019·全国·高考真题）关于函数有下述四个结论：

①f(x)是偶函数        ②f(x)在区间（,）单调递增

③f(x)在有4个零点    ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

【答案】C

【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．

【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④    正确，故选C．

【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．

二、多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

7．（2020·山东·统考高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.

【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,

不妨令,

当时，，

解得：，

即函数的解析式为：

.

而故选：BC.

【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

8．（2020·山东·统考高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（    ）

A．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大

C．若，则H(X)随着n的增大而增大

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)

【答案】AC

【分析】对于A选项，求得，由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出 ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.

【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.

对于B选项，若，则，，

所以，

当时，，

当时，，

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若，则

，

则随着的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且 （ ）.

.

由于，所以 ，所以 ，

所以，

所以，所以D选项错误.故选：AC

【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.

三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分，其中第10题第一空2分，第二空3分）

9．（2020·山东·统考高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．

【答案】

【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.

【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，

所以的前项和为，故答案为：.

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.

10．（2020·海南·高考真题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为____________

【答案】

【分析】利用计算即可.

【详解】

因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点

所以

故答案为：

【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些.

四、解答题（本题共3小题，共34分，其中第11题10分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

11．（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求.

【答案】（1）；（2）

【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；

(2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.

【详解】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，

整理可得：，

，

数列的通项公式为：.

(2)由于：，故：

.

【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.

12．（2020·山东·统考高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；

（2）方法一：根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值.

【详解】（1）证明：

在正方形中，，因为平面，平面，

所以平面，又因为平面，平面平面，

所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以

因为，所以平面．

（2）［方法一］【最优解】：通性通法

因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：

因为，设，

设，则有，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，所以平面的一个法向量为，则

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.

［方法二］：定义法

如图2，因为平面，，所以平面．

在平面中，设．

在平面中，过P点作，交于F，连接．

因为平面平面，所以．

又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，从而即为与平面所成角．

设，在中，易求．

由与相似，得，可得．

所以，当且仅当时等号成立．

［方法三］：等体积法

如图3，延长至G，使得，连接，，则，过G点作平面，交平面于M，连接，则即为所求．

设，在三棱锥中，．

在三棱锥中，．

由得，

解得，

当且仅当时等号成立．

在中，易求，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为．

【整体点评】（2）方法一：根据题意建立空间直角坐标系，直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为平面的法向量与向量的夹角的余弦值的绝对值，即，再根据基本不等式即可求出，是本题的通性通法，也是最优解；

方法二：利用直线与平面所成角的定义，作出直线PB与平面QCD所成角，再利用解三角形以及基本不等式即可求出；

方法三：巧妙利用，将线转移，再利用等体积法求得点面距，利用直线PB与平面QCD所成角的正弦值即为点面距与线段长度的比值的方法，即可求出．

13．（2020·山东·统考高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点．

（1）求的方程：

（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

【答案】（1）；（2）详见解析.

【分析】（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.

（2）方法一：设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置.

【详解】（1）由题意可得：，解得：，

故椭圆方程为：.

(2)［方法一］：通性通法

设点，

若直线斜率存在时，设直线的方程为：，

代入椭圆方程消去并整理得：，

可得，，

因为，所以，即，

根据,代入整理可得：

，        

所以，

整理化简得，

因为不在直线上，所以，

故，于是的方程为，

所以直线过定点直线过定点.

当直线的斜率不存在时，可得，

由得：，

得，结合可得：，

解得：或（舍）.

此时直线过点.

令为的中点，即，

若与不重合，则由题设知是的斜边，故，

若与重合，则，故存在点，使得为定值.

［方法二］【最优解】：平移坐标系

将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即．

设，因为则，即．

代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点．

又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．

故存在，使得．

［方法三］：建立曲线系

A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得．

则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）．

用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）．

即．

对比项、x项及y项系数得

将①代入②③，消去并化简得，即．

故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q．

经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得．

［方法四］：

设．

若直线的斜率不存在，则．

因为，则，即．

由，解得或（舍）．

所以直线的方程为．

若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．

令，则．

又，令，则．

因为，所以，

即或．

当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意；

当时，直线的方程为，所以直线恒过．

综上，直线恒过，所以．

又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动．

取线段的中点为，则．所以存在定点Q，使得为定值．

【整体点评】（2）方法一：设出直线方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点，再根据平面几何知识可知定点即为的中点，该法也是本题的通性通法；

方法二：通过坐标系平移，将原来的O点平移至点A处，设直线的方程为，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出的关系，从而可知直线过定点，从而可知定点即为的中点，该法是本题的最优解；

方法三：设直线，再利用过点的曲线系，根据比较对应项系数可求出的关系，从而求出直线过定点，故可知定点即为的中点；

方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解以及的计算．