2023高考能力提高专项练习 第二节 向量基本定理与向量的坐标

【能力提高练】   第二节 向量基本定理与向量的坐标

1．(2022•重庆市育才中学二模)已知向量，，若，则(    )

A． B． C． D．

【解析】  因为，，且，所以，解得，所以，所以，所以，故选：D

【答案】  D

2．(2022•深圳外国语学校高三(下)第二次检测)(多选)若平面向量和互相平行，其中，则(    )

A． B．0 C． D．2

【解析】  因为平面向量和互相平行，所以或，即，或，，所以或，所以或，故选：AD

【答案】  AD

3．(2022•宁夏银川一中一模)在直角中，，，以为直径的半圆上有一点(包括端点)，若，则的最大值为(       )

A．4 B．

C．2 D．

【解析】  依题意在直角中，，，

以为原点建立如图所示平面直角坐标系，

，设是的中点，则.

，所以满足，

设(为参数，)，

依题意，

即，

，

，

，

所以当时，取得最大值为.

故选：C

【答案】  C

4．(2022•河南商丘三模)如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则(       )

A． B． C． D．

【解析】  连结DE，

由题意可知，，

所以，则，

所以，所以，，

则，

故，

又，所以，，则，

故选：A

【答案】  A

5．(2022•河南南阳中学模拟)中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长(       )

A． B． C． D．

【解析】  在△ABC中，由余弦定理得：

设，，因为，

所以，即，

因为A、B、D三点共线，所以，解得：，

所以，

即

因为AB=5，所以AD=3，BD=2

在三角形ACD中，由余弦定理得：

，

因为，所以.故选：A

【答案】  A

6．(2022•安徽北大培文蚌埠实验学校高三开学考试)已知D，E为所在平面内的点，且，，若，则(       )

A．-3 B．3 C． D．

【解析】  因为，

则，

所以，

所以，

所以，，故.故选：A.

【答案】  A

7．(2022•湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练)(多选)如下图所示，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内含边界的一点，且，以下结论中正确的是(       )

A．当P是线段CE的中点时，，

B．当时，

C．若为定值时，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段

D．的最大值为

【解析】  依题意，，

A选项，当是线段的中点时，

，A选项错误.

B选项，若

设分别是的中点，连接并延长，交的延长线于，

则，且，所以，

则点的轨迹是，，

所以，B选项错误.

C选项，，，

令、的中点为，

由于，即，

所以三点共线.

设分别是的中点，连接，交于，则，

是的中点，是的中点，则点的轨迹是，点的轨迹是，所以C选项正确.

D选项，，

由于平行四边形在的左上方，三点共线，所以，，

故当取得最大值，取得最小值时，取得最大值，D选项正确.

故选：CD

【答案】  CD

8．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　)

A．△ABC的内心　　　　 B．△ABC的垂心

C．△ABC的重心   D．AB边的中点

【解析】　取AB的中点D，则2＝＋，

因为＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，

所以＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，

而＋＝1，所以P，C，D三点共线，

所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心．

【答案】　C

9．已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则有序实数对(x，y)为(　　)

A．   B．

C．   D．

【解析】　取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，

则⊥，⊥，

＝－＝－(x＋y)＝－y，

＝－＝－(x＋y)＝－x．

由⊥，得2－y·＝0，①

由⊥，得2－x·＝0，②

又因为2＝(－)2＝2－2·＋，

所以·＝＝－，③

把③代入①，②得

解得x＝，y＝．

故实数对(x，y)为．

【答案】　A

10．(2022•陕西省西安中学高三四模)已知向量，若与共线，则实数_________．

【解析】  因为与共线，，解得或．故答案为：或.

【答案】  1或

11．(2022•山东济宁三模)在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则________.

【解析】  因为，所以，又，

即，

因为点在线段上，

所以，，三点共线，

由平面向量三点共线定理得，，即，

所以，

又是边长为的等边三角形，

所以

，故.

故答案为：.

【答案】 

12．如图所示，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°．若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值．

【解析】  法一：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

则A(1，0)，由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，

设C(xC，yC)，B(xB，yB)，

则xC＝||cos α＝×＝，yC＝||sin α＝×＝，

即C．又cos(α＋45°)＝×－×＝－，

sin (α＋45°)＝×＋×＝，

则xB＝||cos(α＋45°)＝－，yB＝||sin (α＋45°)＝，

即B，

由＝m ＋n ，

可得解得

所以m＋n＝＋＝3．

法二：由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，

则cos(α＋45°)＝×－×＝－，

·＝1××＝1，·＝1××＝，

·＝1×1×＝－，

由＝m ＋n ，得·＝m 2＋n ·，即＝m－n　①，

同理可得·＝m ·＋n 2，即1＝－m＋n　②，

联立①②，解得所以m＋n＝＋＝3．

【答案】  3