2022年广西南宁市青秀区中考一模数学试题(含答案)

这是一份2022年广西南宁市青秀区中考一模数学试题(含答案)，共20页。
2022年广西南宁市青秀区中考一模数学试题
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）实数﹣2，0，，1中，为负数的是（　　）
A．﹣2 B．0 C． D．1
2．（3分）下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了183天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太空，绕地球飞行共约2.32亿公里．将数据232000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.232×109 B．2.32×109 C．2.32×108 D．23.2×108
4．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．对我国首艘国产航母002型各零部件的质量情况进行调查，适合采用抽样调查
C．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件
D．抛掷一枚硬币，正面向上是必然事件
5．（3分）不等式3x+1＜10的解集是（　　）
A．x＞4 B．x＞3 C．x＜4 D．x＜3
6．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6
C．a4÷a＝a3 D．2a+3a＝5a2
7．（3分）某超市1月份的营业额为36万元，前3个月的营业额共110万元，设每月营业额的平均增长率都为x，则平均增长率x应满足的方程为（　　）
A．36（1+x）2＝110
B．36（1﹣x）2＝110
C．110（1+x）2＝36
D．36+36（1+x）+36（1+x）2＝110
8．（3分）如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（　　）

A．两角及夹边 B．两边及夹角
C．两角及一角的对边 D．两边及一边的对角
9．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则y1，y2的关系是（　　）
A．y2＜0＜y1 B．0＜y2＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y1＜0＜y2
10．（3分）在同一平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝kx﹣2（k为常数，k≠0）和y2＝x+1．若两函数的图象在第一象限相交于点P，点P的横坐标是2，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
11．（3分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行十二日，问良马几何日追及之？”意思是：现有良马每天行走240里，驽马每天行走150里，驽马先走12天，问良马几天可以追上驽马？如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是（　　）

A．（20，4800） B．（32，4800） C．（20，3000） D．（32，3000）
12．（3分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13．（2分）使分式有意义的x的取值范围为　 　．
14．（2分）因式分解：3x2﹣12＝　 　．
15．（2分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1＝0有相等的两个实数根，则a的值为 　 　．
16．（2分）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD是BC边上的高，AD＝4，CD＝1，则△ABC的面积为 　 　．
17．（2分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是 　 　．
18．（2分）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点Pn（n，0）（n＝1、2、…）作x轴的垂线，交y＝ax2（a＞0）的图象于点An，交直线y＝﹣ax于点Bn．则的值为 　 　．

三．解答题（共8小题，满分72分）
19．（6分）计算：+32+8÷（﹣2）﹣（﹣）．
20．（6分）解方程：+＝．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，0），B（4，6），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1，写出B1的坐标；
（2）把△ABC平移到△A2B2C2的位置，使点B移动到点B2位置；画出平移后的三角形△A2B2C2，并判断四边形AA2B2B的形状，并说明理由．

22．（10分）某校教务处为了解九年级学生“居家学习”的学习能力，随机抽取该年级部分学生，对他们的学习能力进行了统计，其结果如图，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中学习能力指数级别“1”级，代表学习能力很强；“2”级，代表学习能力较强；“3”级，代表学习能力一般；“4“级，代表学习能力较弱）请结合图中相关数据回答问题．

（1）本次抽查的学生人数 　 　人，并将条形统计图补充完整；
（2）本次抽查学生“居家学习”能力指数级别的众数为 　 　级，中位数为 　 　级．
（3）已知学习能力很强的学生中只有1名女生，现从中随机抽取两人写有关“居家学习”的报告，请用列表或画树状图的方法求所抽查的两位学生中恰好是一男一女的概率．
23．（10分）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用三角尺测量物体的数学探究”实践活动．
【实践发现】某小组的同学用若干个高度都是1cm的相同长方体小木块垒两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个直角三角尺（∠MCN＝90°），点C在线段AB上，点M和N分别与木墙的顶端重合，如图所示．
探究1：如图1，当放置的是等腰直角三角尺（含45°的三角尺）时，同学们发现：两堵木墙高度之和等于两堵墙之间的距离，即AC、BC、AM、BN的数量关系为AC+BC＝AM+BN，请你判断同学们的结论是否正确，并说明理由；
探究2：如图2，当放置的不是等腰直角三角尺时，∠MCN＝90°，试探究AC、BC、AM、BN的数量关系，并证明你的结论．

24．（10分）广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案．
25．（10分）定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．

（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则BC边上的伴随圆的半径为 　 　．
（2）如图②，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，直接写出它的所有伴随圆的半径．
（3）如图③，△ABC中∠ACB＝90°，点E在边AB上，AE＝2BE，D为AC的中点，且∠CED＝90°．
①求证：△CED的外接圆是△ABC的AC边上的伴随圆；
②的值为 　 　．

26．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣8（a≠0）的图象交x轴于点A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点M为直线BC下方二次函数图象上一个动点，连接MB，MC，求△MBC面积的最大值；
（3）点P为直线BC上一个动点，将点P向右平移6个单位长度得到点Q，设点P的横坐标为m，若线段PQ与二次函数的图象只有一个交点，直接写出m的取值范围．


2022年广西南宁市青秀区中考一模数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1． 解：∵﹣2＜0，
∴负数是：﹣2，
故选：A．
2． 解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
B、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意．
故选：C．
3． 解：232000000＝2.32×108．
故选：C．
4． 解：A、了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，故本选项错误；
B、对我国首艘国产航母002型各零部件的质量情况进行调查，适合采用全面调查，故本选项错误；
C、“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故本选项正确；
D、抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，故本选项错误；
故选：C．
5． 解：移项，得：3x＜10﹣1，
即3x＜9，
则x＜3．
故选：D．
6． 解：A．a2•a3＝a5，故该选项不正确，不符合题意；
B．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故该选项不正确，不符合题意；
C．a4÷a＝a3，故该选项正确，符合题意；
D．2a+3a＝5a，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
7． 解：根据题意，得36+36（1+x）+36（1+x）2＝110，
故选：D．
8． 解：由作图可知，这个作图的条件是两边夹角．
故选：B．
9． 解：∵反比例函数中，﹣3＜0，
∴反比例函数的图象在第二、四象限．
∵x1＜0＜x2，
∴A（x1，y1）在第二象限，B（x2，y2）在第四象限．
∴y1＞0，y2＜0．
∴y2＜0＜y1．
故选：A．
10． 解：当x＝2时，y2＝x+1＝3，即两直线的交点P的坐标为（2，3），
所以方程组的解是．
故选：B．
11． 解：设良马t天追上驽马，
240t＝150（t+12），
解得，t＝20，
20天良马行走的路程为240×20＝4800（里），
故点P的坐标为（32，4800），
故选：B．
12． 解：连接BP，
由对称性得：OA＝OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ＝BP，
∵OQ长的最大值为，
∴BP长的最大值为×2＝3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP＝1，
∴BC＝2，
∵B在直线y＝2x上，
设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2，
t＝0（舍）或﹣，
∴B（﹣，﹣），
∵点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k＝﹣＝；
故选：C．

二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13． 解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为：x≠1．
14． 解：原式＝3（x2﹣4）
＝3（x+2）（x﹣2）．
故答案为：3（x+2）（x﹣2）．
15． 解：根据题意得a+1≠0且Δ＝12﹣4（a﹣1）＝0，
解得a＝．
故答案为：．
16． 解：当AD在△ABC内部时，
在△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝4，
∴BD＝，
∴BC＝BD+CD＝4+1＝5，
∴S△ABC＝，

当AD在△ABC外部时，

同理可得：BD＝4，
∴BC＝BD﹣CD＝4﹣1＝3，
∴S△ABC＝．
故答案为：10或6．
17． 解：∵要保证方程为二次方程故m﹣1≠0得m≠1，
又∵方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
解得m≤2，
故答案为：m≤2且m≠1．
18． 解：由题意得：∵A1在y＝ax2（a＞0）上，B1在直线y＝﹣ax上，
∴A1（1，a），B1（1，﹣a），
∴A1B1＝a﹣（﹣a）＝2a＝1×2a；
同理：A2（2，4a），B2（2，﹣2a），
∴A2B2＝4a﹣（﹣2a）＝6a＝2×3a；
A3（3，9a），B3（3，﹣3a），
∴A3B3＝9a﹣（﹣3a）＝12a＝3×4a；
…，
AnBn＝n（n+1）a，
∴
＝+++…+
＝（+++…+）
＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝×（1﹣）
＝
故答案为：
三．解答题（共8小题，满分72分）
19． 解：原式＝2+9﹣4+
＝3+5．
20． 解：去分母得：2（x+1）+2x＝5x，
去括号得：2x+2+2x＝5x，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
21． 解：（1）如图，△AB1C1即为所求．
B1的坐标为（﹣4，6）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
连接AA2，BB2，
由平移可知，AA2∥BB2，且AA2＝BB2，
∴四边形AA2B2B为平行四边形．

22． 解：（1）本次抽查的学生人数为12÷24%＝50人，
故答案为：50，
“1”级的学生数为50×8%＝4（人），将条形统计图补充完整如图所示；

（2）本次抽查学生“居家学习”能力指数级别的众数为3级，中位数为4级，
故答案为：3，4；
（3）画树状图：

共有12种等可能的结果数，其中恰好是一男一女的结果数为6，
所以恰好是一男一女的概率＝＝．
23． 解：探究1：结论正确，理由如下：
在等腰直角△MCN中，∠MCN＝90°，MC＝NC，
∴∠MCA+∠BCN＝90°，
∵MA⊥AB，NB⊥AB，
∴∠MAC＝∠CBN＝90°，
∴∠MCA+∠CMA＝90°，
∴∠CMA＝∠BCN，
在△ACM和△BNC中，
，
∴△ACM≌△BNC（AAS），
∴BC＝AM，AC＝BN，
∴AC+BC＝AM+BN；
探究2：AC•BC＝AM•AN，理由如下：
∵∠MCN＝90°，
∴∠ACM+∠BCN＝90°，
∵MA⊥AB，NB⊥AB，
∴∠MAC＝∠CBN，
∴∠AMC+∠ACM＝90°，
∴∠AMC＝∠BCN，
∴△AMC∽△BCN，
∴AM：BC＝AC：BN，
即AC•BC＝AM•AN．
24． 解：（1）设一辆大型渣土运输车一次运输土方x吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方y吨，
根据题意得：，
解得：．
答：一辆大型渣土运输车一次运输土方10吨，一辆小型渣土运输车一次运输土方5吨；
（2）设需要安排m辆大型渣土运输车，则安排（20﹣m）辆小型渣土运输车，
根据题意得：10m+5（20﹣m）≥156，
解得：m≥．
设总运输费用为w元，则w＝600m+400（20﹣m）＝200m+8000，
∵200＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m≥，且m为正整数，
∴当m＝12时，w取得最小值，此时20﹣m＝20﹣12＝8，
∴最省钱的运输方案为：派车12辆大型渣土运输车，8辆小型渣土运输车．
25． 解：（1）∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4．
∵BC是圆的切线，∠BCA＝90°，
∴AC为圆的直径．
∴AC边上的半随圆的半径为2．
当半随圆经过点C与AB相切时，设半径为r，则有r2+22＝（4﹣r）2
解得r＝1.5，
故答案为：2或1.5；
（2）当O在BC上时，如图（1）所示：连接OD，过点A作AE⊥BC．

∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BE＝EC＝3．
在△AEB中，由勾股定理可知AE＝＝4．
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB．
∴∠BDO＝∠BEA＝90°．
又∵∠OBD＝∠EBA，
∴△ODB∽△AEB．
∴．
设⊙O的半径为r．在OB＝6﹣r．
∴．
∴r＝．
∴△ABC的BC边上的伴随圆的半径为．
当O在AB上时，如图（2），连接OD、过点A作AE⊥BC，垂足为E．

∵BC与⊙O相切，
∴OD⊥BC．
又∵AE⊥BC，
∴OD∥AE．
∴△BOD∽△BAE．
∴．
设⊙O的半径为r，则OB＝5﹣r．
∴．
∴r＝．
如图（3）所示：连接OD、过点B作BF⊥AC，过点A作AE⊥BC，垂足为E．

∵S△ABC＝BC•AE＝AC•BF，
∴×6×4＝×5×BF．
∴BF＝4.8．
∵AC与⊙O相切，
∴DO⊥AC．
∴DO∥BF．
∴△AOD∽△ABF．
∴，即．
∴r＝．
综上所述，△ABC的伴随圆的半径分为或或；
（3）①证明：如图（4）连接OE、OB．

∵△CED为直角三角形，
∴△CED的外接圆圆心O在CD中点．
设⊙O的半径为r，则DC＝2r，OA＝3r．
∴．
∵EA＝2BE，
∴＝，
∴＝，
∴ED∥OB．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
又∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠4．
在△BCO和△BEO中，
，
∴△BCO≌△BEO（SAS）．
∴∠BEO＝∠BCO＝90°．
∴AB是圆O的切线．
∴△CED的外接圆是△ABC某一条边上的伴随圆．

②解：如图（4）设圆O的半径为r．
∵在Rt△OAE中，OA＝3r，OE＝r，
∴EA＝＝2r．
∴AB＝3r．
∵在Rt△ABC中，AC＝4r，AB＝3r，
∴BC＝＝r．
∵∠CED＝∠BCO＝90°，∠PDC＝∠1，
∴△DEC∽△OCB，
∴＝＝＝．
故答案为：．




26． 解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣8，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8；
（2）当x＝0时，y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
设直线BC的解析式为：y＝kx﹣8，
将B（4，0）代入，得：
0＝4k﹣8，
解得：k＝2，
∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣8，
∵B（4，0），
∴OB＝4．
过点M作MH⊥x轴，垂足为H，交直线BC于点N，设H（x，0），如图，

∴N（x，2x﹣8），M（x，x2﹣2x﹣8），
∴MN＝（2x﹣8）﹣（x2﹣2x﹣8）＝﹣x2+4x，
∴S△MBC＝S△MNC+S△MNB
＝MN•OB
＝（﹣x2+4x）×4
＝﹣2x2+8x
＝﹣2（x﹣2）2+8，
∵0＜x＜4，﹣2＜0，
∴当x＝2时，△MBC面积的最大值为8；
（3）若线段PQ与二次函数的图象只有一个交点，则m的取值范围0＜m≤4或m＝．理由：
①当点P在线段BC上时，

∵P，Q的距离为6，而C，B的水平距离是4，
∴此时只有一个交点，即0＜m≤4；
∴线段PQ与抛物线只有一个公共点；
②当点P在点B的右侧时，线段PQ与抛物线没有公共点；
③当点P在点C的左侧时，

∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线的顶点为（1，﹣9），
令y＝2x﹣8＝﹣9，
解得：x＝，
∵1﹣（）＝＜6，
∴当m＝时，抛物线和PQ交于抛物线的顶点（1，﹣9），
即m＝时，线段PQ与抛物线只有一个公共点，
综上，0＜m≤4或m＝．