2022-2023学年山东省德州九中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省德州九中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. −23的相反数是( )
A. 23B. −32C. 32D. −23
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 2023年春节期贺岁片《满江红》火爆出圈，据电影统计消息，截止2月2日10：00，上映仅14天，电影票房便已突破35.8亿元，将数据35.8亿用科学记数法可表示为( )
A. 35.8×108B. 0.358×1010C. 3.58×109D. 3.58×1010
4. 如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM=40°时，∠DCN的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 80°
5. 下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. (−3)2=±3
C. a⋅a−1=1(a≠0)D. (−3a2b2)2=−6a4b4
6. 如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成的，它的左视图为( )
A.
B.
C.
D.
7. 在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是( )
A. 12B. 13C. 23D. 14
8. 以下命题是假命题的是( )
A. 4的算术平方根是2
B. 有两边相等的三角形是等腰三角形
C. 一组数据：3，−1，1，1，2，4的中位数是1.5
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
9. 已知A(1,y1)，B(2,y2)两点在双曲线y=3+2mx上，且y1>y2，则m的取值范围是( )
A. m<0B. m>0C. m>−32D. m<−32
10. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是( )
A. 28°B. 30°C. 36°D. 56°
11. 如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点.若BC=4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为( )
A. 52
B. 3
C. 4
D. 5
12. 在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为(1,0)，每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2021的坐标为( )
A. (−22020,− 3×22020)B. (22021,− 3×22021)
C. (22020,− 3×22020)D. (−22021,− 3×22021)
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 分解因式：2a2−ab=______．
14. 已知a，b满足等式a2+6a+9+ b−13=0，则a2021b2020= ______ ．
15. 关于x的方程(m−1)x2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______ ．
16. 如图，正方形ABCD的边长为2a，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2a为半径作圆弧BD，再分别以E、F为圆心，a为半径作圆弧BO、OD，则图中阴影部分的面积为______．
17. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为______m.
(sin58°≈0.85,cs58°≈0.53,tan58°≈1.60，结果保留整数)．
18. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点(2,0)，且对称轴为直线x=12，有下列结论；④abc>0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2a,0)；⑤4am2+4bm−b≥0.其中正确结论有______ .(填写序号)
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
化简求值：(1−3a−10a−2)÷(a−4a2−4a+4)，其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数．
20. (本小题10.0分)
今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩(满分100分)进行整理(成绩得分用a表示)，其中60≤a<70记为“较差”，70≤a<80记为“一般”，80≤a<90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
(1)x=______，y=______，并将直方图补充完整；
(2)已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是______，众数是______；
(3)若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
(4)本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
21. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=−x+3的图象与反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,a)和B两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
22. (本小题12.0分)
渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
(1)写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系；当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
(3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
23. (本小题12.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE=CB，∠BCD=∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：CE=CF；
(3)若BD=1，CD= 2，求弦AC的长．
24. (本小题12.0分)
如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
(2)性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O.猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
(3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC=4，AB=5，求GE的长．
25. (本小题14.0分)
如图1，抛物线y=−x2+bx+c过点A(−1,0)，点B(3,0)与y轴交于点C.在x轴上有一动点E(m,0)(0(1)求抛物线的解析式及C点坐标；
(2)当m=1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
(3)如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1=2S2，求m的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据相反数的含义，可得
−23的相反数等于：−(−23)=23，
故选：A。
根据相反数的含义，可求得一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”，据此解答即可。
此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”。
2.【答案】A
【解析】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3.【答案】C
【解析】解：35.8亿=3580000000=3.58×109．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠ABM=40°，∠ABM=∠OBC，
∴∠OBC=40°，
∴∠ABC=180°−∠ABM−∠OBC=180°−40°−40°=100°，
∵CD//AB，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°−∠ABC=80°，
∵∠BCO=∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°，
∴∠DCN=12(180°−∠BCD)=50°，
故选：B．
根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的基础．
5.【答案】C
【解析】解：A． 2+ 3无法合并，故此选项错误；
B. (−3)2=3，故此选项错误；
C.a⋅a−1=a⋅1a=1(a≠0)，故此选项正确；
D.(−3a2b2)2=9a4b4，故此选项错误；
故选：C．
直接利用二次根式的加减运算法则、二次根式的性质、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质加减运算、二次根式的性质、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：从物体左面看，是左边一列2个正方形，右边下面1个正方形，其左视图为：
．
故选：A．
细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定即可．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形．画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
7.【答案】D
【解析】解：画树状图如图：

共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，
则两人恰好选中同一主题的概率为416=14．
故选：D．
画树状图，共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】A
【解析】解：A、 4=2的算术平方根是 2，原命题是假命题，符合题意；
B、有两边相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；
C、一组数据：3，−1，1，1，2，4的中位数是1.5，原命题是真命题，不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是真命题，不符合题意；
故选：A．
根据算术平方根、等腰三角形的定义、中位数以及平行公理判断即可．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
9.【答案】C
【解析】解：∵点A(1,y1)，B(2,y2)两点在双曲线y=3+2mx上，且y1>y2，
∴3+2m>0，
∴m>−32，
∴m的取值范围是m>−32，
故选：C．
根据已知结合反比例函数的性质得3+2m>0，从而得出m的取值范围．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的性质，当k>0时，y随x的增大而减小，当k<0时，y随x的增大而增大．
10.【答案】A
【解析】解：题意，连接OA，OB．

由题意，∠AOB=86°−30°=56°，
∴∠ACB=12∠AOB=28°，
故选：A．
连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可．
本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题．
11.【答案】D
【解析】解：连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，
由题意得，直线EF为线段AB的垂直平分线，
∴AG=BG，EF⊥AB，
∴当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长．
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BC=4，△ABC面积为10，
∴12×4×AD=10，
解得AD=5．
故选：D．
连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长，结合已知条件求出AD即可．
本题考查作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称−最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称−最短路径问题是解答本题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：由已知可得：
第一次旋转后，A1在第一象限，OA1=2，
第二次旋转后，A2在第二象限，OA2=22，
第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3=23，
第四次旋转后，A4在第三象限，OA4=24，
第五次旋转后，A5在第四象限，OA5=25，
第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6=26，
如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021=6×336+5，
∴A2021在第四象限，且OA2021=22021，示意图如下：
OH=12OA2021=22020，A2021H= 3OH= 3×22020，
∴A2021(22020,− 3×22020)，
故选：C．
每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，故A 2021在第四象限，且OA2021=22021，画出示意图，即可得到答案．
本题考查旋转变换，涉及等边三角形、30°的直角三角形等知识，解题的关键是确定A2021所在的象限．
13.【答案】a(2a−b)
【解析】解：2a2−ab=a(2a−b)．
故答案为：a(2a−b)．
直接提取公因式a，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14.【答案】−3
【解析】解：∵a2+6a+9+ b−13=0，
∴(a+3)2+ b−13=0，
∴a+3=0，b−13=0，
解得：a=−3，b=13，
则a2021b2020=(−3)2021⋅(13)2020=(−3)×(−3×13)2020=−3．
故答案为：−3．
利用非负数的性质以及二次根式的性质得出a，b的值，进而得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题的关键．
15.【答案】m>0且m≠1
【解析】解：∵方程(m−1)x2+2x−1=0有两个不相等的实数根，
∴m−1≠0且Δ=22−4(m−1)×(−1)>0，
解得m>0，
即m的取值范围为m>0且m≠1．
故答案为：m>0且m≠1．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m−1≠0且Δ=22−4(m−1)×(−1)>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
16.【答案】πa2−2a2
【解析】解：连接BD，EF，如图，
∵正方形ABCD的边长为2a，O为对角线的交点，
∴EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD=FO=EO=EB=a，
∴OB=OD，OB=OD．
∴弓形OB=弓形OD．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S阴影=S扇形BCD−S△CBD=90⋅π⋅(2a)2360−12×2a×2a=πa2−2a2．
故答案为：πa2−2a2．
连接BD，EF，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形BD面积，即等于扇形BCD的面积减去直角三角形CBD的面积．
本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键．
17.【答案】16
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．

则BE=CD=6m，∠ADE=45°，∠ACB=58°，
在Rt△ADE中，∠ADE=45°，
设AE=x m，则DE=x m，
∴BC=x m，AB=AE+BE=(6+x)m，
在Rt△ABC中，
tan∠ACB=tan58°=ABBC=6+xx≈1.60，
解得x=10，
∴AB=16m．
故答案为：16．
过点D作DE⊥AB于点E，则BE=CD=6m，∠ADE=45°，∠ACB=58°，在Rt△ADE中，∠ADE=45°，设AE=x m，则DE=x m，BC=xm，AB=AE+BE=(6+x)m，在Rt△ABC中，tan∠ACB=tan58°=ABBC=6+xx≈1.60，解得x=10，进而可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
18.【答案】①③④⑤
【解析】解：①∵抛物线的对称轴为直线x=12，即对称轴在y轴的右侧，
∴ab<0，
∵抛物线与y轴交在负半轴上，
∴c<0，
∴abc>0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=12，
∴−b2a=12，
∴−2b=2a，
∴a+b=0，
故②不正确；
③∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点(2,0)，
∴4a+2b+c=0，
∵c<0，
∴4a+2b+3c<0，
故③正确；
④由对称得：抛物线与x轴另一交点为(−1,0)，
∵a+b=04a+2b+c=0，
∴c=−2a，
∴c2a=−1，
∴当a≠0，无论b，c取何值，抛物线一定经过(c2a,0)，
故④正确；
⑤∵b=−a，
∴4am2+4bm−b=4am2−4am+a=a(4m2−4m+1)=a(2m−1)2，
∵a>0，
∴a(2m−1)2≥0，即4am2+4bm−b≥0，
故⑤正确；
本题正确的有：①③④⑤，共4个．
故答案为：①③④⑤．
由题意得到抛物线的开口向上，对称轴−b2a=12，判断a，b与0的关系，根据抛物线与y轴交点的位置确定c与0的关系，从而得到abc>0，即可判断①；
根据抛物线对称轴方程可得a+b=0，即可判断②；
根据抛物线y=ax2+bx+c经过点(−2,0)以及c<0，得到4a+2b+3c<0，即可判断③；
先根据a+b=0和4a+2b+c=0得c=−2a，再根据对称性可知：抛物线过(−1,0)，即可判断④；
根据b=−a，把b换成−a，提公因式，分解因式，根据平方的非负性即可判断⑤．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)．
19.【答案】解：原式=a−2−3a+10a−2⋅(a−2)2a−4
=−2(a−4)a−2⋅(a−2)2a−4
=−2(a−2)
=−2a+4，
∵a与2，3构成三角形的三边，
∴3−2∴1∵a为整数，
∴a=2，3或4，
又∵a−2≠0，a−4≠0，
∴a≠2且a≠4，
∴a=3，
∴原式=−2a+4
=−2×3+4
=−6+4
=−2．
【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，再结合三角形三边关系、分式有意义的条件得出a的值，求出答案即可．
此题主要考查了分式的化简求值、三角形三边关系，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20.【答案】(1)30% ，16%
补全图形如下：
(2)95，94
(3)1200×16%=192(人)
答：该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为192人．
(4)画树状图为：
共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，
所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为612=12．
【解析】
【详解】
解：(1)被调查的总人数为4÷8%=50(人)，
∴优秀对应的百分比y=850×100%=16%，
则一般对应的人数为50−(4+23+8)=15(人)，
∴其对应的百分比x=1550×100%=30%，
补全图形如下：
故答案为：30%，16%．
(2)将这组数据重新排列为91，93，94，94，96，98，99，100，
所以其中位数为94+962=95，众数为94，
故答案为：95、94；
(3)估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为1200×16%=192(人)；
(4)画树状图为：
共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，
所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为612=12．
【分析】
(1)先求出被调查的总人数，继而可求得y、x的值；
(2)将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；
(3)用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可；
(4)画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
21.【答案】解：(1)把点A(1,a)代入y=−x+3，
解得a=2，
∴A点坐标为(1,2)
把A(1,2)代入反比例函数y=kx，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x；
(2)∵一次函数y=−x+3的图象与x轴交于点C，
∴C点坐标为(3,0)，
设P点坐标为(x,0)，
∴PC=|3−x|，
∴S△APC=12×|3−x|×2=5，
∴x=−2或x=8，
∴P的坐标为(−2,0)或(8,0)．
【解析】本题考查反比例函数与一次函数综合，待定系数法求反比例函数的解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征．
(1)利用点A在y=−x+3上求a，进而代入反比例函数y=kx(k≠0)求k即可；
(2)设P(x,0)，求得C点的坐标，则PC=|3−x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
22.【答案】解：(1)由题意得：
W=(48−30−x)(500+50x)=−50x2+400x+9000，
当x=2时，W=−50×4+400×2+9000=9600，
答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W=−50x2+400x+9000；当降价2元时，工厂每天的利润为9600元；
(2)由(1)得：W=−50x2+400x+9000=−50(x−4)2+9800，
∵−50<0，
∴x=4时，W最大为9800，
即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元；
(3)由题意可得，−50x2+400x+9000=9750，
解得：x1=3，x2=5，
∵要让利于民，
∴x1=3不合题意，舍去，
∴定价应为48−5=43(元)，
答：定价应为43元．
【解析】(1)根据利润=销售量×(单价−成本)，列出函数关系式即可，将x=2代入函数关系式即可求解；
(2)根据(1)求得的函数关系式进一步利用配方法求出答案即可；
(3)首先由(2)中的函数得出降价x元时，每天要获得9750元的利润，进一步利用函数的性质得出答案．
此题考查二次函数的实际运用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题．
23.【答案】 解：(1)连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ABC=90°，
∵CE=CB，
∴∠CAE=∠CAB，
∵∠BCD=∠CAE，
∴∠CAB=∠BCD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线；
(2)∵∠BAC=∠CAE，∠ACB=∠ACF=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC(ASA)，
∴CB=CF，
又∵CB=CE，
∴CE=CF；
(3)∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB，
∴△DCB∽△DAC，
∴CDBD=ADCD=ACBC，
∴ 21=AD 2=ACBC，
∴DA=2，
∴AB=AD−BD=2−1=1，
设BC=a，AC= 2a，由勾股定理可得：a2+( 2a)2=12，
解得：a= 33，
∴AC= 63．


【解析】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
(1)连接OC，可证得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即结论得证；
(2)证明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，则CE=CF；
(3)证明△CBD∽△ACD，可求出DA的长，得出AB长，设BC=a，AC= 2a，则由勾股定理可得AC的长．
24.【答案】解：(1)四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：如图2，连接AC、BD，
∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
(2)AB2+CD2=AD2+BC2，
理由如下：
如图1中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
(3)如图3，连接CG、BE，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG=AC，AB=AE，∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE，
∴△GAB≌△CAE(SAS)，
∴∠ABG=∠AEC，
∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN=90°，
∴∠BNM=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，
∴BC= AB2−AC2= 52−42=3，
∵CG= AC2+AG2= 42+42=4 2，BE= AB2+AE2= 52+52=5 2，
∴GE2=CG2+BE2−CB2=(4 2)2+(5 2)2−32=73，
∴GE= 73．
【解析】本题为四边形综合题，新定义问题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
(1)连接AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可；
(2)结论是AD2+BC2=AB2+CD2；，根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
(3)如图3，连接CG、BE，证明四边形CGEB是垂美四边形，结合(2)的结论，利用勾股定理计算即可．
25.【答案】解：(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得−1−b+c=0−9+3b+c=0，
解得b=2c=3，
故抛物线的表达式为y=−x2+2x+3，
当x=0时，y=3，故点C坐标为(0,3)；
(2)当m=1时，点E(1,0)，设点D的坐标为(1,a)，
由点A、C、D的坐标得，AC= (0−1)2+(3−0)2= 10，
同理可得AD= a2+4，CD= 1+(a−3)2，
①当CD=AD时，即 a2+4= 1+(a−3)2，
解得a=1；
②当AC=AD时，同理可得a=± 6(舍去负值)；
故点D的坐标为(1,1)或(1, 6)；
(3)∵E(m,0)，则设点M坐标为(m,−m2+2m+3)，
设直线BM的表达式为y=sx+t，
则−m2+2m+3=sm+t0=3s+t，
解得s=−m−1t=3m+3,
故直线BM的表达式为y=(−m−1)x+3m+3，
当x=0时，y=3m+3，
故点N坐标为(0,3m+3)，
则ON=3m+3，
∵S1=12×AE×yM=12×(m+1)×(−m2+2m+3)，
又∵2S2=ON⋅xM=(3m+3)×m=S1=12×(m+1)×(−m2+2m+3)，
∴3m·(m+1)=12×(m+1)×(−m2+2m+3)，
即m+1=0或6m=−m2+2m+3，
解得m=−2± 7或−1(舍去负值)，
经检验m= 7−2是方程的根，
故m= 7−2．
【解析】本题考查二次函数的运用，一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积的计算，以及待定系数法求二次函数解析式．
(1)用待定系数法即可求解；
(2)若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD=AD或AC=AD两种情况，分别求解即可；
(3)根据S1=12×AE×yM，2S2=ON⋅xM，由S1=2S2即可求解．