特训05 三角形的有关概念 压轴题（上海精选归纳）-2022-2023学年七年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训05 三角形的有关概念 压轴题（上海精选归纳）

一、解答题

1．（2021春·上海·七年级校考期中）如图1，、的角平分线、相交于点，

(1)如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空；

(2)如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数；

(3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案）

解：（1）结论：______度．

说理如下：因为、平分和（已知），

所以，（角平分线的意义）．

因为，（    ）

（完成以下说理过程）

2．（2022春·上海·七年级期中）已知，直线GE上有一点C，B在直线GE外

(1)如图1，点A在GE上，作∠BAG，∠BCG的平分线 AF，CF交于点F，请直接写出∠B与∠F数量关系．

(2)如图2，A在直线外（在B点的下方，直线GE的上方），过A作HD∥GE，试说明∠BCE+∠ABC＝∠BAD．

(3)如图3，HD∥GE，分别作∠BAH与∠BCG的角平分线，两线交于点F．问∠B与∠F有何数量关系，试说明．

3．（2019春·上海金山·七年级统考期中）如图，平分，点、、分别是射线、、上的点（点、、不与点重合），联结，交射线与点．

（1）如果，平分，试判断与射线的位置关系，试说明理由；

（2）如果，，垂足为点，中有两个相等的角，请直接写出的大小．

4．（2019春·上海嘉定·七年级校考期中）已知直线AB∥CD，E、F分别为直线AB、CD上的点，P为平面内任意一点，联结PE和PF.

(1)当点P的位置如图1所示时，说明∠EPF = ∠BEP +∠DFP.

(2) 当点P的位置如图2所示时，过点P作∠EPF的平分线交直线AB、CD分别于M、N, 过点F作FH⊥PN，垂足为H，若∠BEP=20°，求∠CNP-∠PFH的度数．

5．（2019春·上海·七年级上海市市西初级中学校考期中）结合“爱市西，爱生活，会创新”的主题，某同学设计了一款“地面霓虹探测灯”，增加美观的同时也为行人的夜间行路带去了方便．他的构想如下：在平面内，如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．

（1）填空：______；

（2）若灯射线先转动60秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

6．（2019春·上海闵行·七年级统考期中）（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数．

（2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，且B、P、D三点共线，，则_________．

（3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数．

7．（2022春·上海·七年级专题练习）【阅读理解】题目：如图①，∠ABE和∠DCE的边AB与CD互相平行，边BE与CE交于点E．若，，求∠BEC的度数．

老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）．

解：如图②，过点E作．

∴（）．

∵，

∴．

∵（），

∴（）．

∴（）

∵，

∴．

∴（）°

【问题迁移】如图③，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是线段DG上一点，连结PE、PF．若，，求∠EPF的度数．

【拓展应用】如图④，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是射线DG上一点，连结PE、PF．若，，直接写出∠EPF与、之间的数量关系．

8．（2020秋·上海黄浦·七年级上海市民办立达中学校考阶段练习）如图，直线，，在上，且满足，平分．

(1)求的度数；

(2)若平行移动，那么的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．

(3)在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．

9．（2022春·上海·七年级期中）如图，直线，连接，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合射线所组成的角是角）

(1)当动点P落在第①部分时，求证：；

(2)当动点P落在第②部分时，是否成立？请说明理由．

(3)当动点P在第③部分时，全面探究之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

10．（2022春·上海·七年级专题练习）如图1，∠A1BC、∠A1CM的角平分线BA2、CA2相交于点A2，

(1)如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由；

解：（1）结论：∠A2＝　   　度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），

所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（　   　）．

因为∠A1CM＝∠A1BC+∠　   　，∠2＝∠1+∠　   　（　   　），

（完成以下说理过程）

(2)如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度数；

(3)如图2，重复上述过程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分线BAn、CAn相交于点An得到∠An，设∠A1＝θ，请用θ表示∠An（直接写出答案）

11．（2022春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．

(1)在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为　　倍角三角形；

(2)如图，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F；

①说明∠ABO＝2∠E的理由；

②若△AEF为4倍角三角形，直接写出∠ABO的度数．

12．（2022春·上海·七年级专题练习）在△ABC中，

(1)如图1，点E，F分别是AC，AB上一点，若BE，CF相交于点G，请说明∠BGC＝∠1+∠A+∠2；

(2)如图2，若BE，CF分别是AC，AB上的高，请说明∠1＝∠2理由；

(3)如图3，若∠ABC，∠ACB，∠BAC的角平分线BE，CF，AD相交于点G，则：

①∠1+∠2+∠3＝　   　；

②若过点G作GH⊥BC于点H，发现∠BGD＝∠CGH，请说明理由．

13．（2022春·上海·七年级专题练习）（1）在锐角△ABC中，BC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠APC＝110°，求∠B的度数；

（2）如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD．当点D在直线AC上时，∠APC＝100°，则∠B的度数；

（3）在（2）的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数．

14．（2022春·上海闵行·七年级上海市闵行区莘松中学校考期中）如图已知点E是△ABC的边BC的延长线上的一点，点D是∠ABC内的一动点．

(1)如图1，当∠ABC＝∠ECD时，则∠A＝　   　．（填相等的角）

(2)如图2，当∠ACD＝∠ABC时，请写出与∠A相等的角，并说明为什么？

(3)如图3当ABDC，BD平分∠ABC，AC平分∠BCD时，试判断线段AC和射线BD的位置关系，并说明理由．

15．（2021春·上海·七年级上海市第二初级中学校考期中）解答下列各题

(1)如图1，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，当点在直线上移动时，总有______与的面积相等．

(2)解答下题．

①如图2，在中，已知，且边上的高为5，若过作，连接、，则的面积为______．

②如图3，、、三点在同一直线上， ，垂足为．若，，，，求的面积．

(3)如图4，在四边形中，与不平行，，且，过点画一条直线平分四边形的面积（简单说明理由）．

16．（2021春·上海·七年级上海市风华初级中学校考期中）（1）如图1，在中，已知和的角平分线BD、CE相交于点O，若，求的度数，并说明理由．

（2）如图2，在中，、的三等分线交于点、，若，则______°（用含有m的代数式表示，直接写出结果）．

17．（2021春·上海·七年级上海市风华初级中学校考期中）在中，G是边BC上一点，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，M为直线DE上一点，N为直线GD上一点，．

(1)如图1，当点M在线段DE上，点N在线段DG上时，与相等吗，为什么？

(2)当点M在线段ED的延长线上，点N在线段GD的延长线上时，请在图2中画出相应的图形，并直接写出与的数量关系______．

(3)在第（2）题的条件下，直线DG交AC的延长线于点F，若，，则______°．（直接写结果）

18．（2021春·上海·七年级上海市西南模范中学校考期中）如图a，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，将纸带沿EF折叠后，点C,D分别落在H，G的位置，再沿BC折叠成图b

（1）图a中，若，则______，______

（2）图b中，，当为何值时，

19．（2022春·上海·七年级专题练习）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．

（1）∠ABO的度数为_____°，△AOB_______．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；

（2）若∠BAC＝70°，则△AOC_______（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；

（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．

20．（2022春·上海·七年级专题练习）已知中，记，.

（1）如图，若平分，、分别是的外角和的平分线，，用含的代数式表示的度数，用含的代数式表示的度数，并说明理由.

（2）如图，若点 为的三条内角平分线的交点，于点 ， 猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论.

                 .

                 .

21．（2018春·上海嘉定·七年级校联考期中）课本拓展

旧知新意：

我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

尝试探究

（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？

初步应用：

（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=______；

（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案______．

3拓展提升：

（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需要说明理由）

22．（2022春·上海·七年级专题练习）如图①，点O为直线MN上一点，过点O作直线OC，使∠NOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线AB的下方，其中∠OBA=30°

（1）将图②中的三角尺沿直线OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度数；

（2）将图①中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜360°），在旋转的过程中，在第几秒时，直线OA恰好平分锐角∠NOC；

（3）将图①中的三角尺绕点O顺时针旋转，当点A点B均在直线MN上方时（如图③所示），请探究∠MOB与∠AOC之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．

23．（2022春·上海闵行·七年级上海市七宝中学校考期中）已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D，

（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；

（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．

24．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）如图1所示，已知点E在直线上，点F，G在直线上且，平分，如图2所示，H是上点E右侧一动点，的平分线交的延长线于点Q，设，

(1)若，求的度数；

(2)判断：点H在运动过程中，α和β的数量关系是否发生变化？若不变，求出α和β的数量关系；若变化，请说明理由．

25．（2020春·上海静安·九年级校考专题练习）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．

(1) 如图1，若AB∥ON，则

①∠ABO的度数是　   　°；

②当∠BAD=∠ABD时，x=　   　°；当∠BAD=∠BDA时，x=　   　°．

(2) 如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

26．（2019秋·上海浦东新·七年级统考期末）如图①，点为直线上一点，过点作直线，使．将一把直角三角尺的直角顶点放在点处，一边 在射线上，另一边在直线的下方，其中

将图②中的三角尺沿直线翻折至， 求的度数；

将图①中的三角尺绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为， 在旋转的过程中，在第几秒时，直线恰好平分锐角．

将图①中的三角尺绕点顺时针旋转；当点点均在直线上方时(如图③所示)，请探究与之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．