2023年广东省清远市佛冈县二校中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省清远市佛冈县二校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  手机已逐渐成为人们日常通讯的主要工具，其背后离不开通讯运营商的市场支持，如图展现的是我国四大通讯运营商的企业图标，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  函数和在同一坐标系中的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图案是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若二次根式有意义，则下列各数符合要求的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列给出个命题：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；六边形的内角和等于； 相等的圆心角所对的弧相等； 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形；若顺次连接四边形四边的中点，得到的图形是一个矩形，其中正确命题的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.  如图，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论：；；；，其中正确的结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

8.  如图，、、是上的三个点，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，正方形和正都内接于，与、分别相交于点、，则的值是(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，其中、、为格点．作的外接圆，则的长等于(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  如图，在中，，将沿直线翻折后，顶点恰好落在边上的点处，已知，，，那么四边形的面积是______．

12.  一个不透明的袋子中装有个红球和若干个黑球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋子中有______ 个黑球．

13.  钻石标尺的最小刻度是，那么这个最小刻度用科学记数法表示是______单位：．

14.  如果一个无理数与的积是一个有理数，写出的一个值是______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15.  解不等式组：

四、解答题（本大题共5小题，共38.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组．

17.  本小题分
如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为的宣传牌，点和点分别是教学楼底部和外墙上的一点在同一直线上，小红同学在距点米的处测得宣传牌底部点的仰角为，同时测得教学楼外墙外点的仰角为，从点沿坡度为：的斜坡向上走到点时，正好与水平线平行．
求点到直线的距离结果保留根号；
若在点处测得宣传牌顶部的仰角为，求出宣传牌的高度结果精确到注：，，，

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为．

求此抛物线和直线的解析式；

设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上是否存在一点，过作轴的垂线交抛物线于点，使点、、、是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；

设点是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点的坐标，并求面积的最大值．

19.  本小题分
在中，．
如图，点在以为直径的半圆外，、分别与半圆交于点、求证；
如图，点在以为直径的半圆内，请用无刻度的直尺在半圆上画出一点，使得是等腰直角三角形保留画图痕迹，不写画法．
 

20.  本小题分
如图，三角形纸片，分别取、的中点、，沿折叠，使点的对应点落在边上；继续将纸片折叠，使与重合，与重合，折痕分别为，，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．连接，则为的高线．
若面积为，则矩形的面积为______；
若点恰好是边的中点，求证：四边形为菱形；
当满足什么条件时，矩形为正方形，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：

．
故选：．
根据乘方、分式的乘法法则解决此题．
本题主要考查乘方、分式的乘法，熟练掌握乘方、分式的乘法法则是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、中，两函数图象反映的的符号不相符，错误；
当，时，直线过一、二、三象限，抛物线开口向上且对称轴在轴左侧，A正确；
当，时，直线过二、三、四象限，抛物线开口向下，对称轴在轴左侧，D错误．
故选：．
根据每一个图象中，、的符号是否相符，逐一排除．
主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
【解答】
解：、此图案不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
B、此图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、此图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D、此图案沿是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件求出的范围，从而得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以错误；
六边形的内角和等于，所以正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以错误；
顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以正确；
若顺次连接四边形四边的中点，得到的图形是一个平行四边形，所以错误；
故选：．
根据正方形的判定方法对进行判断；根据多边形的内角和公式对进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对进行判断；根据三角形中位线性质、菱形的性质和矩形的判定方法对进行判断；根据三角形中位线性质、菱形的性质和矩形的判定方法对进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，
，
，所以正确；
抛物线与轴有个交点，
，所以正确；
抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，所以错误；
时，，
，
而，
，所以正确．
故选：．
利用抛物线的对称性可确定点坐标为，则可对进行判断；利用判别式的意义和抛物线与轴有个交点可对进行判断；由抛物线开口向下得到，再利用对称轴方程得到，则可对进行判断；利用时，，即和可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．也考查了二次函数的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：由圆周角定理得，，
故选：．
根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆周角定理的应用，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了正多边形与圆的关系，有一定难度．
先设的半径是，则，根据是的平分线，进而求出，在中，求出，的值是多少，然后求出，，再求出的值是多少即可．
【解答】
解：如图，连接、、，
，
根据正方形，正三角形与以及圆的性质，可得，
所以
设的半径是，
则，
是的平分线，
，
，
，
，
，，
，
，
由等腰直角三角形得
，
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：连接，由图形可知，
即，
由勾股定理，得，
的长．
故选：．
求的长，关键是求弧所对的圆心角，弧所在圆的半径，连接，由图形可知，即，由勾股定理求，利用弧长公式求解．
本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，交于，
将沿直线翻折后，顶点恰好落在边上的点处，
，且，
，
，
，
∽，
，
在中，，，，
，
，
．
故答案为：．
首先连接，交于，由将沿直线翻折后，顶点恰好落在边上的点处，即可得，且，又由，易得∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比，即可得，又由，，即可求得四边形的面积．
此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．
 

12.【答案】 

【解析】解：设有个黑球，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：时，
，
故答案为：答案不唯一
根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
 

15.【答案】解：解不等式得，
解不等式得，
所以不等式的解集为． 

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：过点作于．
，
，，，
四边形是矩形，则，
在中，米，
米．
答：点到的距离为米．

的坡度为：，
在中，米，
米，
在中，米，
米，
答：宣传牌的高度约为米． 

【解析】过点作于则四边形是矩形，在中，求出即可解决问题．
根据，求出、、即可解决问题；
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：抛物线经过、两点，
，
，
抛物线的解析式为，
直线经过、两点，
，解得：，
直线的解析式为；
存在理由：
，
抛物线的顶点的坐标为，
轴，
，
．
如图，连接，若点在轴下方，四边形为平行四边形，则，

设，则，
，
，
解得：，舍去，
，
如图，连接，，，若点在轴上方，四边形为平行四边形，则，

设，则，
，
，
解得：，舍去，
，
综合可得点的坐标为或
如图，作轴交直线于点，

设，则，
，

，
当时，面积的最大值是，此时点坐标为 

【解析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．
将、两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；
先求出点坐标和点坐标，则，分两种情况讨论：若点在轴下方，四边形为平行四边形，则，若点在轴上方，四边形为平行四边形，则，设，则，可分别得到方程求出点的坐标；
作轴交直线于点，设，则，可由，得到的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．
 

19.【答案】证明：连接、，如图，
，
，
为直径，
，
，
，
；
解：如图，点为所作． 

【解析】连接、，如图，利用等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，则利用等角的余角相等得到，从而得到
结论；
如图，分别延长、交圆于、，延长和，它们相交于点，连接交圆于点，则点满足条件．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．
 

20.【答案】 

【解析】解：由题意知，，，，
；
故答案为．
证明：由折叠可知，，，．
，分别为，的中点，
，，
，
，
，
，
四边形为菱形；
．
理由如下：
，分别是，的中点，
．
又，分别是，的中点，
，
，
．
矩形是正方形．
由折叠的性质得出，，，则可得出答案；
由折叠可知，，，得出，根据菱形的判定可得出结论；
由三角形中位线定理可得出，得出，正方形的判定可得出结论．
本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．