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2023届陕西省安康市重点中学高三下学期4月质量监测文科数学试题word版含答案
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安康市重点中学2023届高三下学期4月质量监测
文科数学
试卷满分:150分 考试时间:120分钟
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.全部答案在答题卡上完成,答在本试卷上无效.
3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位,,则复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
3.已知,则以下结论正确的是( )
A. B.
C. D.
4.在平行四边形中,,则( )
A. B.
C. D.
5.已知为锐角,,则( )
A. B. C. D.
6.某食品厂生产两种半成品食物,两种半成品都需要甲和乙两种蔬菜,已知生产1吨产品需蔬菜甲3吨,乙1吨,生产1吨产品需蔬菜甲2吨,乙2吨,但是甲和乙蔬菜每天只能进货12吨和8吨.若食品厂生产1吨半成品食物可获利润为3万元,生产1吨半成品食物可获利润为3万元,则食品厂仅凭两种半成品食物每天可获利润不超过9万元的概率为( )
A. B. C. D.
7.如图,古建筑的主要受力构件梁椽、楼板、柱子都是木头,由于构件的拼接需要,梁通常做成矩形.圆形的木头加工成矩形断面,梁是主要的水平受力构件,作为水平或斜向受弯构件,除了材料本身的特性,截面抵抗矩是唯一的标准.矩形截面抵抗矩,(其中为垂直于弯矩作用方向的长度),木材本身的圆形直径是确定的,则截面抵抗矩最大时为( )
A. B. C. D.
8.已知圆经过三点,则圆心到直线的距离为( )
A. B.1 C.2 D.3
9.为了解开学后大学生的身体健康状况,2023年寒假开学后,某学校统计了学生在假期间每天的学习时间(单位:分钟),并根据样本数据绘制得到下图所示的频率分布直方图.图中数值是公差为0.002的等差数列,则估计样本数据的中位数为( )
A.120 B.125 C.160 D.165
10.定义在上函数满足,当时,,则下列选项能使成立的为( )
A. B. C. D.
11.已知菱形沿对角线向上折起,得到三棱锥分别是棱的中点.设三棱锥的外接球为球,则下列结论正确的个数为( )
①
②上存在点,使得平面;
③当三棱锥的体积最大值时,球的表面积为.
A.0 B.1 C.2 D.3
12.已知数列的首项为,则数列的前2023项和为( )
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数在处的切线方程为__________.
14.某池塘中水生植物的覆盖水塘面积(单位:)与水生植物的株数(单位:株)之间的相关关系,收集了4组数据,用模型去拟合与的关系,设与的数据如表格所示:
3 | 4 | 6 | 7 | |
2.5 | 3 | 4 | 5.9 |
得到与的线性回归方程,则__________.
15.把函数的图象向右平移个单位后,图象关于轴对称,若在区间上单调递减,则的最大值为__________.
16.下图是单叶双曲面的立体结构图,且为中心对称图形,此双曲面可由线段绕与其不共面的直线旋转而成,其轴截面为双曲线的一部分,若该几何体的高为2,上底面圆的直径为4,垂直于旋转轴的截面圆的面积最小值为,则双曲线的离心率为__________.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(本小题满分12分)已知的内角的对边分别为,外接圆面积为
(1)求;
(2)若为角的角平分线,交于点,求的长.
18.(本小题满分12分)已知分别是圆柱上、下底面圆的直径,圆柱的高与的长相等,均为2.且异面直线与所成的角为分别为上、下底面的圆心,连接,过作圆柱的母线,点是的中点
(1)证明:平面;
(2)求圆柱挖去三棱锥后的几何体的体积.
19.(本小题满分12分)在中国有一个习俗就是长辈给晚辈红包,就是希望晚辈能长命百岁,年年有今朝,岁岁有今日,也是非常好的一种祝福,一种祝愿,更是象征了一种喜庆,更能增加气氛的一个环节.有时小朋友的红包会被父母保存,防止红包钱乱花.
(1)小明的老师随机调查了本校同学的红包保存情况,经统计其红包保存情况与年龄大小情况如下表:
| 未交给父母保存红包 | 交给父母保存红包 | 总计 |
年龄小于12岁 | 10 | 50 | 60 |
年龄不小于12岁 | 15 | 25 | 40 |
总计 | 25 | 75 | 100 |
(1)根据表中数据,是否有的把握可以认为同学的红包保存情况与年龄大小有关?
(2)从上述年龄不小于12岁的学生中按是否交给父母保存红包分层选取8人,再从8人随机抽取2人,求这2人均将红包交给父母保存的概率.
20.(本小题满分12分)已知椭圆的焦点分别别为的上、下顶点,过且垂直于的直线与交于两点,
(1)求椭圆的方程;
(2)已知原点,过的直线分别交于两点和两点,在轴的上方,若三点共线,证明:直线过定点.
21.(本小题满分12分)已知函数的最小值为-1.
(1)求实数;
(2)证明:.
(二)选考题,共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,若点在直线上,点在圆上(其中).
(1)求曲线的直角坐标方程和的直角坐标;
(2)已知所在直线与曲线交于两点,与轴交于点,求的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设满足不等式成立实数的最大值为.
(1)求的值;
(2)设,且,证明:.
安康市重点中学2023届高三下学期4月质量监测
文科数学参考答案
1.B
2.D
3.D
4.A
5.D
6.A
7.C
8.D
9.C
11.D
12.A
13.
14.
15.
16.
17.解:(1)因为,所以,
解之得.
因为,所以,所以,
所以或.
当(舍),
当,
故.
(2)因为,所以
所以.
故.
18.解:(1)连接,因为为的中点,所以,
又平面平面,所以平面,
由四边形为矩形,所以,
又平面平面,所以平面,
因为平面,
所以平面平面,
因为平面,
所以平面,
(2)分别过作圆柱的母线,连接,可知,所以为异面直线与所成的角(或其补角),故或,
又,故,
连接平面,
故点到平面的距离为,
同样点到平面的距离为,
,
所以.
因为圆柱的体积为,
故圆柱挖去三棱锥后的几何体的体积.
19.解:(1)设零假设为:同学的红包保存情况与年龄大小无关,
根据数表可得,
所以零假设是错的,
故有的把握可以认为同学的红包保存情况与年龄大小有关.
(2)根据题意,分层抽样选取8人,末交给父母保存红包的人数有(人),
设为;
交给父母保存红包的人数有(人),设为,
则8人随机抽取2人的所有结果为,,,
共28种结果,
其中满足均将红包交给父母保存的结果为,有10种.
所以概率为.
20.解:(1)设,则,所以.
设椭圆的方程为,即,
,
为正三角形,
过且垂直于的直线与交于两点,为线段的垂直平分线,
直线的斜率为,斜率倒数为,
直线的方程:,代入椭圆方程,
整理化简得到:,
判别式,
.
,所以.
故椭圆的方程为.
(2)设因为,
所以,即①,
又因为点均在椭圆上,所以,
两式整理,可得,②,
由②除以①可得,消元可得,
同理可得,
所以直线的方程为,
又,
所以直线的方程为,故直线过定点.
21.解:(1)因为,所以..
令,得;令,得.
所以在上为减函数,在上为增函数,
所以.
所以.
(2)由,可得.
设.
当时,,
设,则单调递增,
当时,恒成立.
当时,设,则,
单调递增.
.
当时,单调递增,,
即当时,恒成立.
由(1)可知:
只需证,
需证,设.
,所以在上单调递增,所以
故,即.
故,结论得证.
22.(本小题满分10分)解:以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,,故,
所以点坐标为.
又,所以,
所以点坐标为.
由得:,
故曲线的直角坐标方程为:.
(2)因为,所以普通方程为,故,
设的参数方程为为参数,与.
联立得到,,
所以,
所以
23.解:(1)当时,,所以
当时,,所以
当时,,
综上,
(2)由于
所以,
故.
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