（北京卷）（全解全析）2023年中考数学第二模拟考试卷

这是一份（北京卷）（全解全析）2023年中考数学第二模拟考试卷，共28页。试卷主要包含了下列几何体中，是圆锥的为，如图，在数轴上对应的点可能是等内容，欢迎下载使用。

2023年中考数学第二次模拟考试卷 （北京卷）
数学·全解全析
1．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×105 B．0.15×105 C．1.5×106 D．1.5×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：150万＝1500000＝1.5×106．
故选：C．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．下列几何体中，是圆锥的为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据圆锥的特征进行判断即可．
【详解】解：圆锥是由一个圆形的底面，和一个弯曲的侧面围成的，
因此选项B中的几何体符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握几种常见几何体的形体特征是正确判断的前提．
3．如图，在数轴上对应的点可能是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】先判断出的取值范围，进而可得出结论．
【详解】解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴A点符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，先根据题意判断出的取值范围是解答此题的关键．
4．如图，AB∥CD，∠ACD＝80°，∠ACB＝30°，∠B的度数为（　　）

A．50° B．45° C．30° D．25°
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”求解即可．
【详解】解：∵∠ACD＝80°，∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD＝50°，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
5．在一个不透明纸箱中放有除数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有3种，
∴两次摸出的数字之积为偶数的概率为，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则（　　）
A．m＜1 B．m＞1 C．m≠0 D．0＜m＜1
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4m＞0，
解得m＜1．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　）

A．一次函数关系，二次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，正比例函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式．
【详解】解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
即y与x是一次函数关系，
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
＝﹣x2+5x，
∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x，
即满足二次函数关系，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，一次函数的应用等知识，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键．
8．目标完成率一般是指个体的实际完成量与目标完成量的比值，树立明确具体的目标，能够促使人们更好地完成任务．某销售部门有10位员工（编号分别为A﹣J），如图是根据他们月初制定的目标销售任务和月末实际完成情况绘制的统计图，则下列结论：①C超额完成了目标任务；②实际完成量与目标任务量相差最多的是H；③A，F的目标完成率为100%；④月度完成率不低于70%且实际销售额不低于5万元的有3个人；⑤目标任务量在5万元以上，且超额完成任务的只有E．其中，正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据统计图中的数据分别计算即可得出结论．
【详解】解：由统计图得：
①C月初制定的目标是4万元，月末实际完成7.5万元，超额完成了目标任务，正确；
②H月初制定的目标是7万元，月末实际完成3万元，目标与实际完成相差最多，正确；
③A，F的目标完成率为100%，正确；
④G月度完成率为：5÷2＝250%，
C月度完成率为：7.5÷4＝187.5%，
D月度完成率为：7÷10＝70%，
E月度完成率为：10÷8＝125%，
∴月度完成率不低于70%且实际销售额不低于5万元的有4人，分别是G、C、D、E，原说法错误；
⑤目标任务量在5万元以上，且超额完成任务的只有E，正确；
所以正确的有4个．
故选：C．
【点睛】本题是散点统计图，要通过坐标轴以及横坐标等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题．
二．填空题（共8小题）
9．要使二次根式有意义，x必须满足 　x＞0　．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，，
解得x＞0．
故答案为：x＞0．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
10．分解因式：x3﹣169x＝　x（x+13）（x﹣13）　．
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：x3﹣169x＝x（x2﹣169）＝x（x+13）（x﹣13）．
故答案为：x（x+13）（x﹣13）．
【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
11．方程的解是　x＝﹣4　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：2+2+x＝0，
解得：x＝﹣4，
经检验x＝﹣4是分式方程的解．
故答案为：x＝﹣4．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1　＞　y2（填“＞，＝，＜”）．
【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据点A（1，y1），B（﹣2，y2）即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数y＝中，k＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，
∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴y1＞0，y2＜0，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13．红树林中学共有学生1600人，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目的情况，学校随机抽查了200名学生，其中有60名学生表示最喜欢的项目是跳绳，则可估计该校学生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的学生有 　480　人．
【分析】用总人数乘以样本中最喜欢的项目是跳绳的人数所占比例即可．
【详解】解：估计该校学生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的学生有1600×＝480（人），
故答案为：480．
【点睛】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
14．如图，OP平分∠AOB，PM⊥OA于点M，点D在OB上，DH⊥OP于点H．若OD＝4，OP＝8，PM＝3，则DH的长为　　．

【分析】过P点作PN⊥OB于N，延长DH交OA于E，取OP的中点F，连接FN，如图，根据角平分线的性质得到PN＝PM＝3，再证明△ODE≌△NFP得到DE＝PN＝3，则DH＝．
【详解】解：过P点作PN⊥OB于N，延长DH交OA于E，取OP的中点F，连接FN，如图，
∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，
∴PN＝PM＝3，
∵DH⊥OP，
∴∠DHO＝∠PNO，
∵∠DOH＝∠PON，
∴∠ODE＝∠FPN，
∵F点为Rt△OPN的斜边上的中线，
∴FN＝PF＝FO＝PO＝4，
∴∠FPN＝∠PNF，
∵OF平分∠DOE，OH⊥DE，
∴∠ODE＝∠OED，DH＝EH，
在△ODE和△NFP中，
，
∴△ODE≌△NFP（ASA），
∴DE＝PN＝3，
∴DH＝．
故答案为．

【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．Rt△BEF和Rt△DFG是一副三角尺，且BE＝DG，按如图所示的方式恰好放置在矩形ABCD内，点E，G分别在边AD，BC上，点B，D恰好与矩形的顶点重合，则＝　　．

【分析】过点F作FM⊥AD于点M，延长MF交CB于点N，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得出DM＝FN，设DM＝FN＝a，MF＝b，则MN＝AB＝CD＝a+b，利用相似三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值得到AE，AB，利用BE＝DG和勾股定理得到关于a，b的式子，化简得到a与b的关系，再利用全等三角形的判定与性质求得CG的长度，则结论可得．
【详解】解：过点F作FM⊥AD于点M，延长MF交CB于点N，如图，

∵AD∥BC，FM⊥AD，
∴FN⊥BC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形DCNM，四边形ABNM为矩形．
∴AB＝CD＝MN．
∵∠DFG＝90°，
∴∠DFM+∠GFN＝90°．
∵∠GFN+∠FGN＝90°，
∴∠DFM＝∠FGN．
在△DFM和△FGN中，
，
∴△DFM≌△FGN（AAS），
∴DM＝FN，
设DM＝FN＝a，MF＝b，则MN＝AB＝CD＝a+b，
∴DF2＝a2+b2，
∵△DFG为等腰直角三角形，
∴DG2＝2（a2+b2）．
∵∠BEF＝90°，
∴∠MEF+∠AEB＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠MEF＝∠ABE．
∵∠FME＝∠A＝90°，
∴△MEF∽△ABE，
∴．
∵∠EBF＝30°，
∴tan30°＝＝，
∴，
∴AE＝b，
∴BE2＝AE2+AB2＝3b2+（a+b）2，
∵BE＝DG，
∴3b2+（a+b）2＝2（a2+b2），
化简得：a＝（+1）b，
∴CD＝AB＝（+2）b．
在Rt△DCG和Rt△BAE中，
，
∴Rt△DCG≌Rt△BAE（HL），
∴CG＝AE＝b，
∴＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握特殊的直角三角形的性质是解题的关键．
16．小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为 　36　km．
日期
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
低强度
8
6
6
5
4
高强度
12
13
15
12
8
休息
0
0
0
0
0
【分析】根据“高强度”要求前一天必须“休息”，则如果“高强度”的距离比前一天+当天的“低强度”距离短的话，则没有必要选择“高强度”，因此只有第一天和第三天适合选择“高强度”计算出此时的距离即可．
【详解】解：∵“高强度”要求前一天必须“休息”，
∴当“高强度”的徒步距离＞前一天“低强度”距离+当天“低强度”距离时选择“高强度”能使徒步距离最远，
∵15＞6+6，12＞6+5，
∴适合选择“高强度”的是第三天和第四天，
又∵第一天可选择“高强度”，
∴方案①第一天选择“高强度”，第二天“休息”，第三天选择“高强度”，第四天和第五天选择“低强度”，
此时徒步距离为：12+0+15+5+4＝36（km），
方案②第一天选择“高强度”，第二天选择“低强度”，第三天选择“休息”，第四天选择“高强度”，第五天选择“低强度”，
此时徒步距离为：12+6+0+12+4＝34（km），
综上，徒步的最远距离为36km．
【点睛】本题主要考查最优路线选择，找出适合选择“高强度”的时间是解题的关键．
三．解答题（共12小题）
17．（5分）计算：|﹣3|﹣4sin45°++（﹣2）0．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，二次根式性质，以及零指数幂法则计算即可得到结果．
【详解】解：原式＝3﹣4×+2+1
＝3﹣2+2+1
＝4．
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
18．（5分）先化简，再求值：（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣2b）2，其中，a＝，b＝1．
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式＝a2﹣4b2+a2﹣4ab+4b2
＝2a2﹣4ab，
把a＝，b＝1代入得，原式＝2×（）2﹣4××1＝﹣2＝﹣．
【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
19（5分）．阅读材料并解决问题：
已知：在△ABC中，AB＞BC．
求作：AB边上的高线CF．
作法：
①以点C为圆心，BC的长为半径作弧，交AB边于点D，连接CD；
②分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧在BD下方相交于点E；
③作射线CE交BD于点F．
所以线段CF即为△ABC的AB边的高线．
（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BE和DE．
在△CDE和△CBE中，
，
∴△CDE≌△CBE，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴CE平分∠DCB，
∴　CF　⊥　BD　，
即CF为△ABC的AB边的高线 　三线合一　．（填写推理的依据）

【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形．
（2）先证明△CDE≌△CBE，可得到∠DCE＝∠BCE，根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，线段CF即为所求．

（2）证明：连接BE和DE．

在△CDE和△CBE中，
，
∴△CDE≌△CBE（SSS），
∴∠DCE＝∠BCE，
∴CE平分∠DCB，
∴CF⊥BD，
即CF为△ABC的AB边的高线（三线合一）．
故答案为：CD；CF；BD；三线合一．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握等腰三角形的性质．
20．（5分）已知关于x的方程x2﹣3x﹣m+3＝0总有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若它的一个实数根是2，求m的值和另一个实数根．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝32﹣4×（﹣m+3）＞0，然后解不等式即可；
（2）设方程的另一根为t，利用根与系数的关系得2+t＝3，2t＝﹣m+3，从而可求出t、m的值．
【详解】解：（1）根据题意得Δ＝32﹣4×（﹣m+3）＝4m﹣3＞0，
解得m＞；
（2）设方程的另一根为t，
根据根与系数的关系得2+t＝3，2t＝﹣m+3，
解得t＝1，m＝1，
所以m的值为1，方程的另一个实数根为1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
21．（6分）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，点B、E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝DC．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，当AF＝　　时，四边形BCEF是菱形．

【分析】（1）先证得△AFB≌DCE（SAS），得FB＝CE，∠AFB＝∠DCE，则∠BFC＝∠ECF，得FB∥CE，即可得出结论；
（2）由四边形BCEF是平行四边形，可得当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，求出CG的长，则可求出答案．
【详解】（1）证明：∵点A、F、C、D在同一条直线上，AB∥DE，
∴∠BAF＝∠EDC，
在△AFB和△DCE中，
，
∴△AFB≌△DCE（SAS），
∴FB＝CE，∠AFB＝∠DCE，
∴∠BFC＝∠ECF，
∴FB∥CE，
又∵FB＝CE，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）解：连接BE，交CF于点G，如图所示：
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，
∴FG＝CG，
∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝＝10，
∴cos∠ACB＝＝＝，
在Rt△BCG中，cos∠ACB＝，
∴FG＝CG＝BC•cos∠ACB＝6×＝，
∴AF＝CD＝DF﹣2FG＝10﹣＝．
故答案为：．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22．（5分）为加强安全教育，某校开展了“预防溺水，珍爱生命“安全知识竞赛．现从七，八，九年级学生中随机抽取了50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行了整理和分析．部分信息如下；
a．参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）如图所示；
b．参赛学生成绩在70＜x＜80这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78，79．
c．参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
平均数
中位数
众数
76.9
m
80
d．参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次竞赛中，成绩在75分以上的有 　30　人；
（2）表中m的值为 　77.5　．
（3）该校学生共有1500人，假设全部参加此次竞赛，请估计成绩超过平均数76.9分的人数．

【分析】（1）将频数分布直方图中第3、4、5组数据相加可得答案；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）用总人数乘以样本中成绩超过平均数76.9分的人数占被调查人数的比例即可得．
【详解】解：（1）在这次测试中，成绩在75分以上（含75分）的有7+15+8＝30（人）；
故答案为：30；
（2）50人成绩的中位数是从低到高第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，
∴m＝＝77.5，
故答案为：77.5；
（3）估计成绩超过平均数76.9分的人数为1500×＝810（人）．
答：估计八年级成绩超过平均数76.9分的人数为810人．
【点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
23．（6分）如图，AC为⊙O的直径，BD为⊙O的一条弦，过点A作直线AE，使∠EAB＝∠D．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）若∠ABD＝30°，AB＝2，BC＝6，求BD的长．

【分析】（1）根据圆周角定理和切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接CD，过D作DH⊥BC于H，根据圆周角定理得到∠CDA＝∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC＝＝＝2，求得CD＝AC＝，设BH＝x，则CH＝6﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵∠EAB＝∠D，∠ACB＝∠ADB，
∴∠EAB＝∠ACB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CAE＝∠CAB+∠EAB＝∠CAB+∠C＝90°，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：连接CD，过D作DH⊥BC于H，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠CDA＝∠ABC＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝30°，
∴∠DAC＝∠CBD＝60°，
∴AC＝＝＝2，
∴CD＝AC＝，设BH＝x，则CH＝6﹣x，
∴DH＝x，
∵CD2＝CH2+DH2，
∴30＝（6﹣x）2+（x）2，
解得x＝或x＝（不合题意舍去），
∴BD＝2BH＝3+．

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴x交于点 B．
（1）求m，k的值；
（2）过动点P（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，交函数y＝（x＞0）的图象于点C，交直线y＝x+3x于点 D．
①当n＝2时，求线段CD的长；
②若CD≥OB，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

【分析】（1）先利用一次函数解析式确定m的值得到A点坐标，然后把A点坐标代入y＝得到k的值；
（2）①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD的长；
②先确定（﹣3，0），由于C、D的纵坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C（，n），D（n﹣3，n），讨论：当点C在点D的右侧时，先利用CD＝OB得到﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），再结合图象可判断当0＜n≤2时，CD≥OB；当点C在点D的左侧时，先利用CD＝OB得到n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），再结合图象可判断当n≥3+时，CD≥OB．
【详解】解：（1）∵直线y＝x+3经过点A（1，m），
∴m＝1+3＝4，
∵反比例函数的图象经过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
（2）①当n＝2时，点P的坐标为（0，2），
当y＝2时，2＝，解得x＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
当y＝2时，x+3＝2，解得x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，2），
∴CD＝2﹣（﹣1）＝3；
②当y＝0时，x+3＝0，解得x＝﹣3，则B（﹣3，0），
当y＝n时，n＝，解得x＝，
∴点C的坐标为（，n），
当y＝n时，x+3＝n，解得x＝n﹣3，
∴点D的坐标为（n﹣3，n），
当点C在点D的右侧时，
若CD＝OB，即﹣（n﹣3）＝3，解得n1＝2，n2＝﹣2（舍去），
∴当0＜n≤2时，CD≥OB；
当点C在点D的左侧时，
若CD＝OB，即n﹣3﹣＝3，解得n1＝3+，n2＝3﹣（舍去），
∴当n≥3+时，CD≥OB，
综上所述，n的取值范围为0＜n≤2或n≥3+．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx（m是常数）．
（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含有m的代数式表示）；
（2）A（a，y1），B（a+3，y2）都在该抛物线上；
①若当a＝0时，y1＜y2成立，求m的取值范围；
②对于任意满足0＜m＜2的m值，都有y1＞y2成立，求a的取值范围．
【分析】（1）将原函数配方成顶点式即可．
（2）利用二次函数的图象和性质判断即可．
【详解】解：（1）y＝﹣（x﹣m）2+m2，
∴对称轴是直线x＝m．
（2）①当a＝0时，y1＝0，y2＝6m﹣9，
∵y1＜y2，
∴6m﹣9＞0，
∴m＞，
②抛物线开口向下，对称轴是直线x＝m，
∵y1＞y2，
∴m﹣a＜a+3﹣m，
∴2m＜2a+3，
∵0＜m＜2，
∴0＜2m＜4，
∴2a+3≥4，
∴a≥．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
26．（6分）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．

下面是小红的探究过程，请补充完整：
（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．
d/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
h/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.60
0.88
在d和h这两个变量中，　d　是自变量，　h　是这个变量的函数；
（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为 　0.88　米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为 　0.7　米．（精确到0.1米）
【分析】（1）根据常量和变量的定义可得答案；
（2）根据点的坐标描点、连线即可；
（3）①根据图象与y轴的交点坐标可得答案；
②求出y与x的关系式，再把y＝2代入即可．
【详解】解：（1）d是自变量，h是这个变量的函数，
故答案为：d，h；
（2）如图，

（3）①当x＝0时，y＝0.88，
∴桥墩露出水面的高度AE为0.88米，
故答案为：0.88；
②设y＝ax2+bx+c，把（0，0.88）、（1，2.38）、（3，2.38）代入得，
，
解得，
∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88，对称轴为直线x＝2，
令y＝2，则2＝﹣0.5x2+2x+0.88，
解得x≈3.3（舍去）或0.7．
故答案为：0.7．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键．
27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为射线DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．
（1）如图1，当点E在线段CD上时，
①依题意补全图形；
②求证：点G为BF的中点．
（2）如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）①根据题意画图即可，②由条件可证△ABE≌△ACF（SAS），得到∴ABE＝∠ACF＝45°，从而有CF⊥BC，再通过平行线分线段成比例即可证出G为BF的中点；
（2）由（1）知△ABE≌△ACF，可得BE＝CF，G为BF的中点仍然成立，设AD＝CD＝x，CE＝y，表示出AE，BE，AG即可发现它们之间的数量关系．
【详解】解：（1）①如图1：

②如图，连接CF，

∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝45°+45°＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AD∥CF，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BG＝FG，
∴G为BF的中点．
（2）2AE2﹣4AG2＝BE2.理由如下：
如图2，连接CF，

由（1）可知：△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠BCF＝90°，G为BF的中点仍然成立，
且BE＝CF，
设AD＝CD＝x，CE＝y，
则BE＝CF＝2x+y，
∵DG＝，
∴AG＝，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE2＝x2+（x+y）2，
∴AE2＝2x2+2xy+y2，BE2＝（2x+y）2＝4x2+4xy+y2，AG2＝，
∴2AE2﹣4AG2＝BE2．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出AE，BE，AG的长度是解决问题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于图形P，图形P'和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为P'．若图形P与图形P'均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．
（1）如图，点A（1，0），点B（3，0）．
①已知图形Q1是半径为2的⊙O，Q2是半径为1的⊙A，Q3是半径为的⊙B，在Q1，Q2，Q3中，线段AB关于直线y＝x的“弱相关图形”是：　Q3　；
②已知⊙O的半径为2，若⊙O是线段OA关于直线y＝x+b的“弱相关图形”，求b的取值范围；
（2）在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点C（a﹣2，a+2），使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的⊙O是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围．

【分析】（1）①根据定义新图形的规律，分别求出对称点的坐标，直线的图形性质，图形结合即可求解；
②分当b＞0时和b＜0两种情况，结合图形即可求解；
（2）根据题意，只要找到r的最小值即可求解．
【详解】解：（1）①如图所示：

∵点A（1，0），点B（3，0），AB关于y＝x的对称图形为A'B'，⊙B半径为，
∴根据轴对称性得：A'（0，1），B'（0，3），即点A'，B'在y的正半轴上，
∴A'B'在⊙B的内部，
∴Q3为线段AB关于直线y＝x的“弱相关图形”．
②如图所示，若⊙O是线段OA关于直线l：y＝x+b的“弱相关图形”，
∵y＝x+b与y＝x平行，
∴y＝x+b与坐标轴的夹角为45°，由点O关于y＝x+b对称，
则OO'⊥l，则O'在直线y＝﹣x上，
当b＜0时，点O离对称轴直线l：y＝x+b较远，如图，当O'在⊙O上时，

设l与x轴交于点D，
依题意，OO'＝2，△DOO'是等腰直角三角形，
∴，
∴D的坐标为，代入y＝x+b
解得：，
当b＞0时，点A离对称轴直线y＝x+b较远，如图：当A'在⊙O上时，

同理可得DA＝DA'，
连接OA′，在Rt△DOA'中，设DO＝a，则D'O＝a，A'O'＝AO＝1，
∵A'O2＝DO2+A'D2，
∴22＝x2+（x+1）2，
解得：（舍去），
∴，
∴，
代入y＝x+b，
解得：，
综上所述：．
（2）解：∵C（a﹣2，a+2），
∴a+2＝a﹣2+4，
即C在直线y＝x+4上，
如图所示：过点O作OS⊥y＝x+4于点S，

由y＝x+4，令x＝0，y＝4，
令y＝0，x＝4，
∴，
依题意，点C在直线y＝x+4上运动，过点C的直线为对称轴，将⊙Q与⊙P对称，
∵半径r的⊙O是圆P关于l的“弱相关图形”，
∴r≥OP+2，
∴当⊙O与坐标轴相切时，r取得最小值，
此时点P（2，﹣2），则，
又∵点C在直线y＝x+4上运动，CO不能与y＝x平行，
∴Q点只能接近点S，
∴⊙Q的最外端一点与O的距离小于OP+2，
∴即r的最小值为：OP+2，
即．



【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称，圆与直线的关系，掌握对称的性质，几何图形变换的规律，结合点坐标，线段长度关系是解题的关键．