2022-2023学年辽宁省六校高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省六校高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式可求得所求代数式的值.

【详解】.

故选：B.

2．半径为，圆心角为弧度的扇形的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.

【详解】半径为，圆心角为弧度的扇形的面积是.

故选：B.

3．已知向量、不共线，且，则的值等于（    ）

A．3 B．－3 C．0 D．2

【答案】D

【分析】由平面向量基本定理，列方程求解.

【详解】向量、不共线，且，

则有，解得，所以.

故选：D

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】观察题目中角的特征可知，将要求的角转化成已知角，利用诱导公式及同角关系式即得.

【详解】由题意可知，将角进行整体代换并利用诱导公式得

；

；

所以，.

故选：D.

5．已知向量，满足，若，则实数的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由向量垂直列出方程，结合向量的数量积运算性质求解.

【详解】∵，∴

∵，∴

∵，∴，即.

故选：C.

6．波恩哈德·黎曼是德国著名数学家，黎曼函数是他发现并提出的，其解析式为：，若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，先分析函数的周期，结合奇偶性可得的值，进而可得 的值，即可得答案．

【详解】若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，

可得，故偶函数是周期为4的周期函数，

由 ，当时，，

，由且为无理数，，

，

所以

故选：D．

7．已知向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用夹角公式即可求解.

【详解】∵，，，的夹角为，∴.

∴，，

∴.

设向量与向量的夹角为，

∴.

∵，∴.

故选：A

8．已知函数，其中，，，则以下判断正确的是（    ）

A．函数有两个零点，，且，

B．函数有两个零点，，且，

C．函数有两个零点，，且，

D．函数只有一个零点，且，

【答案】B

【分析】根据正余弦函数的性质可得，再根据零点的存在性定理判断求解.

【详解】因为，，

，

所以

，

，

，

所以存在，使得，且，

存在，使得，且，

，

所以函数有两个零点，，且，，

故选:B.

二、多选题

9．设函数的图象为，下面结论中正确的是（    ）

A．函数在区间单调递减 B．函数的最小正周期是

C．图象关于点对称 D．图象关于直线对称

【答案】ABC

【分析】利用正弦函数的图象和性质，结合整体代入法判断ACD，利用周期公式判断B.

【详解】选项A：由正弦函数的性质可得，

当时，，单调递增，所以单调递减，正确；

选项B：函数的最小正周期，正确；

选项C：当时，，所以图象关于点对称，正确；

选项D：由选项C可知图象关于关于点对称，所以不关于直线对称，错误；

故选：ABC

10．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐项判断即可.

【详解】因为是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且两函数在上单调递减，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，

所以，，

所以，，，

所以BD正确，C错误；

若，则，A错误.

故选：BD

11．已知，函数，下列选项正确的有（    ）

A．若的最小正周期，则

B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象

C．若在区间上单调递增，则的取值范围是

D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是

【答案】ACD

【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A正确；利用三角函数的图象变换，可判定B错误；根据在区间上单调递增，列出不等式组，求得的范围，得到当时，不等式有解，可判定C正确；由在区间上只有一个零点，列出不等式组，求得的范围，可判定D正确．

【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得，得，所以A正确；

当时，可得，

将函数的图象向右平移个单位长度后得

，所以B错误；

若在区间上单调递增，则，

解得，

又因为，所以只有当时，此不等式有解，即，所以C正确；

若在区间上只有一个零点，则，解得，所以D正确．

故选：ACD．

12．已知的外心为O，重心为G，点H满足，则下列结论正确的是（    ）

A．H是的垂心 B．H是的内心

C．O、G、H三点共线 D．

【答案】AC

【分析】由外心和重心的性质结合已知条件，利用向量数量积判断H点的位置特征和O、G、H三点位置关系.

【详解】的外心为O，则，

由 ，则，

故 ，所以．

同理 ，，

故H为的垂心，A选项正确，B选项错误；

， ，，

三式相加，并由重心性质且，

可得，即，所以，

故O、G、H三点共线，且，C选项正确，D选项错误.

故选：AC

三、填空题

13．已知，则_________

【答案】.

【分析】将原式中的分子、分母同除以，再将代入即可.

【详解】，将代入可得原式.

故答案为：

【点睛】本题主要考查利用同角三角函数的中的公式化简、求值，属基础题.

14．已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是_________________．

【答案】

【详解】试题分析：因为向量与的夹角为锐角，所以且与不共线，所以且，解之得：

【解析】向量夹角及坐标运算.

15．已知函数的部分图象如图所示，其中，则______．

【答案】

【分析】由图可得，函数的图象关于对称且在处函数取得最大值，即可求出的取值，再根据周期性求出的值，从而求出函数解析式，再代入计算可得.

【详解】由图可知，

因为，所以函数的图象关于对称且在处函数取得最大值，

所以，所以，，

解得，，

又，即，即且，所以，

所以或，

当时，此时，不符合题意，

当时，此时，符合题意，

所以.

故答案为：

四、双空题

16．已知函数，若有6个不同的零点分别为，，，，，，且，，若，则m的取值范围是______；若，则的取值范围是______；

【答案】         

【分析】画出函数的图象，由图象得出且，讨论，，结合图象求解即可.

【详解】当时，，由对勾函数的单调性可知，函数在

上单调递减，在上单调递增，且.

函数的图象如下图所示：

因为有6个不同的零点，所以

有6个不同的实数根，解得或.

因为，所以且

若，则，

，联立解得.

若时，

联立解得，

则.

故答案为：；

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由，结合图象，确定且，再由的值域确定的范围.

五、解答题

17．已知函数．

(1)化简；

(2)若锐角满足，求的值.

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）根据诱导公式化简即可；

（2）由正余弦的平方关系化为正余弦的齐次式，再化为正切即可得解.

【详解】（1）.

（2），

则

.

18．已知函数的部分图象如图所示．

(1)写岀函数的解析式及单调递减区间；

(2)求函数在区间上的值域．

【答案】(1)，单调递减区间为

(2)

【分析】（1）根据函数图象确定最小正周期，即可得的值，再代入最值点即可求得的值，从而可得函数的解析式，根据余弦函数的单调性求得减区间即可；

（2）结合（1）中函数的减区间确定函数在区间上的单调性，即可得函数的最值，从而得函数的值域.

【详解】（1）根据函数的部分图象，

可得，解得，∴，

令又，所以，，则，，

因为，所以解得，所以，

令，解得

所以递减区间为．

（2）由（1）知，递减区间为

∵，∴在上单调递增，在上单调递减

∴，，

∴函数在区间上的值域为.

19．设函数，其中．若．

（1）求；

（2）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求在上的最小值．

【答案】（1）2；（2）.

【解析】（1）代入，结合，即得解；

（2）由平移变换，得到，又，结合正弦函数性质即得解.

【详解】（1）因为，且，

所以，．

故，．又，所以．

（2）由（1）得，

所以．

因为，所以，

当，即时，取得最小值．

【点睛】本题考查了正弦函数的图像变换及性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.

20．如图，在中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足．

（1）若，用向量，表示；

（2）若，且，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据向量的线性运算法则即可求出．

（2）根据向量的加减的几何意义，得到，即可求出范围．

【详解】（1）若，则，

，

，

则．

（2），

，

，

，

，且

，

．

，，

的取值范围为．

21．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）=0，当x＞0时，f（x）=3-2log2x．

（1）求f（x）的解析式．

（2）若对任意的x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【分析】（1）令，则，根据函数是偶函数，则，化简即可求得函数的解析式；

（2）由题意，把不等式的恒成立转化为在上恒成立，令，进而得到恒成立，分类讨论，利用函数的最值即可求解，

【详解】（1）令，则，根据函数是偶函数，则，

又由，

所以函数的解析式为

（2）当

即

令

即，

当，

所以

【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性求解函数的解析式和不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式的恒成立问题，利用分离参数，转化为函数的最值求解是解答的关键着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

22．已知函数（且）为定义在R上的奇函数.

(1)判断并证明的单调性；

(2)若函数，对干任意，总存在，使得成立，求m的取值范围.

【答案】(1)函数在R上单调递增，证明见解析

(2)

【分析】（1）根据函数奇偶性求得a的值，利用函数单调性的定义即可证明结论.

（2）求出函数的值域，利用换元法将转化为，讨论函数图象对称轴与给定区间的位置关系，确定其值域，结合题意可知两函数值域之间的包含关系，列出不等式，求得答案.

【详解】（1）由题意函数（且）为定义在R上的奇函数,

得：，解得.

∴，

验证：，则，

即，即为奇函数；

任取，且，

则，

因为，且，所以，

所以，故，

所以函数在R上单调递增.

（2）由（1）知，在R上单调递增，

∴时，，即，

即的值域为，设为A.

，

令，则，设，其值域为B，

由题意知.

的图象的对称轴为，

当时，在上单调递增，，

∴，与矛盾，所以舍掉；

当时，在上单调递减，在上单调递增，且，

∴，

∴ ，故；

当时，在上单调递减，在上单调递增，且，

∴，

，则，

当时，在上单调递减，，

，与矛盾，所以舍掉.

综上所述，m的取值范围为.

【点睛】方法点睛：涉及到含有参数的二次函数在给定区间上的值域问题，要注意分类讨论，讨论的标准是考虑函数图象的对称轴与给定区间的位置关系，结合函数单调性，即可确定值域.