2022-2023学年四川省广安市第二中学校高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

2022-2023学年四川省广安市第二中学校高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据基本初等函数的求导公式判断．

【详解】；；，，只有B正确．

故选：B．

2．（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】应用微积分基本定理求定积分即可.

【详解】．

故选：C

3．已知命题：，，则是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】B

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得.

【详解】因为命题：，

所以是，.

故选：B.

4．已知，，，的平均数和方差分别为和，则，，，，的方差为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12

【答案】C

【分析】根据平均数、方差公式计算可得.

【详解】因为，，，的平均数和方差分别为和，

所以，，

所以

所以，，，，的平均数也为，

所以，

即，，，，的方差为.

故选：C

5．已知等差数列满足，，则（    ）

A．25 B．35 C．40 D．50

【答案】A

【分析】根据等差数列的通项公式以及性质求得答案即可.

【详解】设等差数列的公差为.

由，得，即①；

由，得，②；

由①②得，

则.

故选：A.

6．用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】不等式左边需添加的项是，计算得到答案.

【详解】不等式左边需添加的项是

.

故选：B

7．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，如图甲，在平行四边形中，有，那么在图乙中所示的平行六面体中，等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据平面上的结论，由类比推理可得空间上的结论.

【详解】平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形，

因此，在平行四边形中，①；

在平行四边形中，②；

在平行四边形中，③；

②③相加，得

即④；

将①代入④，再结合得，

故选：C

8．函数的图象大数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的定义域，由已知可得函数为奇函数.然后得到时，，根据导函数求得的单调性，并且可得极大值点，即可得出答案.

【详解】由题意可知，函数的定义域为.

又，

所以，函数为奇函数.

当时，，

则.

设，则在上恒成立，

所以，在上单调递增.

又，，

所以，根据零点存在定理可得，，有，

且当时，有，显然，

所以在上单调递增；

当时，有，显然，

所以在上单调递减.

因为，所以C项满足题意.

故选：C.

9．如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取棱靠近点的三等分点，取棱的中点，取的中点，连接，，，．证明，得是异面直线与所成的角（或补角）．设，用余弦定理计算出余弦值．

【详解】取棱靠近点的三等分点，取棱的中点，取的中点，连接，，，．

由已知，又，所以是平行四边形，，

同时可得是中点，而是中点，所以．

所以，则是异面直线与所成的角（或补角）．

又，平面，则平面，平面，则，

设，则，从而，，，，，

故，，．在中，

由余弦定理可得．

所以异面直线与所成的角的余弦值为．

故选：B．

10．已知A为双曲线的左顶点,为C的右焦点,过点A的直线与圆相切,且直线交C于点B,设,则为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】画出图像，根据条件解两个三角形即可.

【详解】

设切点为点,在Rt中,,所以，

在Rt中,,即.

故选:A

11．已知函数则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】化简，得到，令，令，求得，得到在上单调递增，且函数为偶函数，进而得到上单调递减，把不等式转化为，列出不等式，即可求解.

【详解】由函数，

所以，令，

可得

令且，

可得在上恒成立，所以，

所以在上单调递增，

又由，

所以函数为偶函数，则在上单调递减，

又由，即，即，

整理得，解得或，

即不等式的解集为.

故选：B.

12．已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数t的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】恒成立，等价于恒成立.

由有两个不同的极值点结合韦达定理可得，其中，

后构造函数，利用导数求出其最值即可得答案.

【详解】因为不等式恒成立，所以恒成立．.

因为函数有两个不同的极值点，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有，解得．

则

.

设，，故在上单调递增，故，所以．又注意到满足题意，因此实数t的范围是．     

故选：B

【点睛】关键点睛：本题涉及恒成立问题与由函数极值点求参数范围，难度较大.

本题所涉字母较多，关键为找到间的关系，得到关于a的表达式.

二、填空题

13．若实数满足约束条件，则目标函数的最大值为__________.

【答案】/1.5

【分析】作出可行域，根据几何意义求最大值.

【详解】作出可行域如下图，

当目标函数过点时有最大值，

最大值为，

故答案为: .

14．将一些相同的“〇”按如图所示摆放，观察每个图形中的“〇”的个数，若第个图形中“〇”的个数是，则的值是________．

【答案】12

【分析】发现规律，再根据数列的前几项，写出其通项公式后，令其等于78，解得即可．

【详解】解：第1个图形中“〇”的个数是1，

第2个图形中“〇”的个数是，

第3个图形中“〇”的个数是，

由此推测，第个图形中“〇”的个数是，

令，解得或（舍去）．

故答案为：．

15．如图所示，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是____.

【答案】/0.6

【分析】列举出总的情况和满足条件的情况，然后根据古典概型的计算公式，即可求得本题答案.

【详解】“任意闭合其中的两个开关”所包含的情况如下：，，，， ，，，，，，共10种 ；

“电路接通”所包含的情况如下：，，，，，，共6种.

所以电路接通的概率.

故答案为：

16．已知A，B分别为抛物线与圆上的动点，抛物线的焦点为F，P，Q为平面内两点，且当取得最小值时，点A与点P重合；当取得最大值时，点A与点Q重合，则__________.

【答案】

【分析】如图，利用抛物线和圆的几何性质可知，当时取得最小值；当且仅当A为射线与抛物线的交点，且为射线与圆的交点（为线段上的点），取得最大值.直线、的方程分别联立抛物线方程，求出点、的坐标，结合两点距离公式计算即可求解.

【详解】抛物线的焦点为，准线为，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：

过点A作抛物线的垂线，垂足为点，

由抛物线的定义可得，则，

当时，取最小值，此时取最小值；

直线的方程为，联立，解得，即，

点到圆上任意一点的距离，

当且仅当为射线与圆的交点，且为线段上的点.

所以，

当且仅当A为射线与抛物线的交点，且为射线与圆的交点（为线段上的点），取得最大值.

直线的斜率为，则直线的方程为，

联立，解得，即，

所以，

故答案为：.

三、解答题

17．在中，内角所对的边分别为，，，已知.

(1)若，，求的值；

(2)若，判断的形状.

【答案】(1)；

(2)正三角形.

【分析】（1）（2）根据给定条件，利用余弦定理计算、推理判断作答.

【详解】（1）在中，，，，由余弦定理得：

，

所以.

（2）在中，，而，则，

由及余弦定理得：，整理得，则，

所以为正三角形.

18．已知函数.

(1)若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；

(2)若函数在定义域内是减函数，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由函数在处的切线与直线垂直，列方程求出实数的值；

（2）函数在定义域内是减函数，转化为在上恒成立，通过参变分离，构造新函数，求出函数的最大值，可得实数的取值范围．

【详解】（1）由题意，在处的切线与直线垂直，

则切线斜率，

，，解得；

（2）函数在定义域内是减函数，

则在上恒成立，且函数不为常函数，

分离参变量可得：，

构造，

，令，解得

则在上单调递增，在上单调递减，

所以，

实数的取值范围是．

19．如图，在三棱锥中，底面．，D为中点，且．

(1)求的长；

(2)求锐二面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，根据得到方程组，解得、，即可求出的坐标，再求出，即可得解；

（2）利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）因为底面，如图建立空间直角坐标系，

设，，，，所以，，

所以，即，解得或（舍去），

所以，所以，所以，即的长为.

（2）因为，

设平面的法向量为，则，令，则，

由（1）可知，，

设平面的法向量为，则，令，则，

所以，即锐二面角的余弦值为.

20．已知椭圆过点，且离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），为椭圆右焦点，点M满足（O为坐标原点），直线AB与以M为圆心的圆相切于点P，且P为AB中点，求直线AB斜率.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据点在椭圆上，离心率及的关系，可求得，写出方程.

（2）设出的方程与椭圆方程联立，用表示，又直线与以为圆心的圆相切于点，且，得为中点，，利用向量数量积为建立方程求得.

【详解】（1）点在上，即，

又，解得：，

椭圆C的方程：.

（2）因为点，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），所以斜率一定存在.

设：，

因为，，，

直线和椭圆方程联立得,得，

，

因

，则，

因为直线与以为圆心的圆相切于点，且，即为中点，,

则，，

，,

因为，所以,得，

得（舍去），，

故.

21．已知，是自然对数的底数，函数．

(1)若，求函数的极值；

(2)是否存在实数m，，都有？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)极大值为；的极小值为

(2)存在，

【分析】（1）将代入可得，对函数求导利用导函数判断其单调性即可得出其极大值为，的极小值为；

（2）易知其定义域为，结合将化简变形可得，构造函数易得其为单调递增函数，即，求得函数在定义域内的最小值即可得.

【详解】（1）由，可得，

易知的定义域为，

则．

∴的极大值为；的极小值为．

（2）因为，由得，

即的定义域为．

当时，由可得，

，不等式两边同时除以可得，

，即

可得

所以．

设，则

即．

易得，所以为单调递增函数．

由，可得，所以

设，则．

∴当时，，即单调递减；

当时，，即单调递增．

即时，；

由题意可得，即．

∴存在实数m，且m的取值范围为．

【点睛】方法点睛：不等式恒成立求解参数取值范围时，常用的方法是通过构造函数将问题转化成求解函数最大值或最小值问题，即可求得参数取值范围.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线和直线的普通方程；

(2)若为曲线上一动点，求到距离的取值范围．

【答案】(1)；x＋y－4＝0，

(2)

【分析】（1）根据曲线的参数方程为，结合三角函数平方关系即可得曲线的普通方程，根据极坐标与普通方程的转化即可得直线的普通方程；

（2）设根据点到直线的距离公式，结合正弦型三角函数的性质即可求到距离的取值范围．

【详解】（1）由题意可知：，由可得，

所以的普通方程为；

直线可化简为，将代入直线可得x＋y－4＝0，

（2）设，则到的距离，其中，

∵，∴．