2022-2023学年福建省华安县第一中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年福建省华安县第一中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知函数，则的极小值为（    ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】B

【分析】利用导数求极值.

【详解】函数的定义域为.导函数.

令，解得：.

列表得：

所以的极小值为-1.

故选：B

2．直线的方向向量，直线的方向向量，则不重合直线与的位置关系是（    ）

A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定

【答案】B

【分析】根据向量的关系，判断直线的位置关系.

【详解】因为，所以，

所以直线与平行.

故选：B

3．曲线在处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】把代入切线方程求得，求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求得的值，利用直线方程的点斜式确定答案．

【详解】由题意，解得．

由，得，则，又，

∴曲线在处的切线方程为．

故选：D．

4．如图，直三棱柱中，若，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由空间向量的线性运算求解．

【详解】因为三棱柱是直三棱柱，

所以四边形是平行四边形，故，

所以．

故选：D．

5．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，则直线与平面BDE所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面BDE的一个法向量，进而可求直线与平面BDE所成角.

【详解】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，

所以，，，

设平面BDE的一个法向量，则，即，令，则，，所以平面BDE的一个法向量，

设直线与平面BDE所成角为，所以．

故选：D.

6．若函数为增函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导数，恒成立,分离参数得到恒成立，结合基本不等式即可求得答案.

【详解】由题意可知：恒成立，

即恒成立，

因为 ，故，当且仅当 时取等号，

故，

故选：C

7．若，且，则必有（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，构造函数，，进而利用导数研究函数的单调性，奇偶性，结合函数性质求解即可.

【详解】解：因为，且，

所以，，

令，，

由于，

所以，为偶函数，

因为，当时，，

所以函数在上单调递增，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以.

故选：B

8．函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出函数，关于的方程恰有四个不同的实数根，

等价于或与图像有四个不同交点，根据图像判断即可.

【详解】作出函数的图像如下所示，当，时，，所以时递增，

当时递减，所以当时，

在处取最大值为：（如下图所示平行于直线）；

因为，即，解得或，

当时，观察图像易知此时只有一个交点，即有一个根，

要使关于的方程恰有四个不同的实数根，

则需要与图像有三个不同交点，只需要，即.

故选：D.

二、多选题

9．已知为直线l的方向向量,分别为平面,的法向量（,不重合）,那么下列说法中正确的有（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.

【详解】解:若,因为,不重合,所以,

若,则共线,即,故选项A正确;

若,则平面与平面所成角为直角,故,

若,则有,故选项B正确;

若,则,故选项C错误;

若,则或,故选项D错误.

故选:AB

10．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断AC选项，利用复合函数的求导法则可判断BD选项.

【详解】，，，

，故AD错误，BC正确.

故选：BC.

11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点F为的中点，如图建系，则下列说法正确的有（    ）

A． B．向量与所成角的余弦值为

C．平面的一个法向量是 D．点D到直线的距离为

【答案】BCD

【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解.

【详解】，，，，所以，所以，故，A错误；

，B正确；

设，则，，而，所以平面的一个法向量是，C正确；

，，则，所以，故点D到直线的距离为，故D正确.

故选：BCD

12．下列判断正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】将选项同构为的形式，通过对函数求导判断单调性，即可判断出答案.

【详解】选项A：，

选项B：，

选项C：，

选项D：，

构造函数 ，则，则得；由得，所以在上单调递增，在上单调递减，

由知，，故A错误；

由知，，故B正确；

由知，，知C正确；

由知，，知D正确.

故选：BCD.

【点睛】本题利用不等式的结构采用同构函数来解决，同构法是证明不等式的一种技巧，通过等价变形使得两边的式子结构相同，从而将两边看成是同一个函数的两个函数值，此时借助该函数的单调性简化不等式达到证明不等式的目的.

三、填空题

13．已知在处有极值，则______.

【答案】3

【分析】由题知为极值点,故，又联立求解即可.

【详解】由题，

且在处有极值，

所以

所以

此时

令或，

令，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

所以为极小值点，满足题意，

所以

所以.

故答案为：3.

14．已知，，，点，若平面，则点的坐标为________．

【答案】

【分析】根据线面垂直的性质，结合空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为，，，点，

所以，

因为平面，

所以，

所以点的坐标为，

故答案为：

15．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为______.

【答案】

【分析】构造函数，对进行求导，结合可得为上的减函数，由，则，所以，根据的单调性即可得到答案

【详解】构造，

所以，

因为对任意实数都有，

所以，即为上的减函数，

因为，则，且，

所以由得，即，

因为为上的减函数，

所以，所以不等式的解集为，

故答案为：

四、双空题

16．已知函数，其单调增区间为_______；若对于，都有，则的取值范围是______.

【答案】         

【分析】利用导数单调性求函数增减区间，将去绝对值后构造新函数将不等式恒成立问题转化为新函数的单调性问题再进行求解.

【详解】，，令，得出，故的单调增区间为.

时，，单调递减，设，即可转化为，令，在上单调递增，不等式才能恒成立，则，解得.

令，时单调递增，时单调递减，，.

故答案为：，.

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

五、解答题

17．已知函数f（x）＝x3+ax+b的图象是曲线C，直线y＝kx+1与曲线C相切于点（1，3）.

(1)求函数f（x）的解析式；

(2)求函数f（x）的递增区间.

【答案】(1)f（x）＝x3﹣x+3

(2)递增区间（﹣∞，），（，+∞）

【分析】（1）利用切点在切线上，可求出,再利用导数的几何意义可求出,然后由即可求出,从而得到函数的解析式；

（2）由即可求出.

【详解】（1）∵切点为（1，3），∴k+1＝3，得k＝2，

∵f'（x）＝3x2+a，∴f'（1）＝3+a＝2，得a＝﹣1，

则f（x）＝x3﹣x+,由f（1）＝3得b＝3.∴f（x）＝x3﹣x+3.

（2）因为，可得f′（x）＝3x2﹣1，令3x2﹣1＞0，解得x或x.

所以函数f（x）的递增区间（﹣∞，），（，+∞）.

18．如图，四棱锥中，为等边三角形，，E为的中点，平面平面.

(1)求点D到平面的距离；

(2)求平面与平面夹角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）取的中点O，连接，根据面面平行的性质可得平面，从而可得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；

（2）利用向量法求解即可.

【详解】（1）取的中点O，连接，

因为为等边三角形，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

又，E为的中点，∴，

∵，∴，

分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，

，

设平面的法向量为，则，可取，

又，所以点D到平面的距离；

（2），设平面的一个法向量为，

则，即，

令，得平面的一个法向量为

则，

∴，

故平面与平面夹角的正弦值为.

19．已知函数，.

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数与有相同的极值点，求函数在区间上的最值.

【答案】(1)单增区间为，单减区间为

(2)，

【分析】（1）求导之后，分别令，即可求出的单调区间；

（2）由有相同的极值点求出的值，再利用对勾函数的单调性求出在区间上的最值.

【详解】（1）的定义域：

，

由得，由得，

∴的单增区间为，单减区间为.

（2），由（1）知的极值点为1.

∵函数与有相同的极值点，

∴，即，∴，

从而，在上单调递减，在上递增,

又，,

∴在区间上，，.

20．如图，在长方体中，，．若在上存在点，使得平面．

(1)求线段的长；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）以为原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，由已知条件可得出关于的等式，求出的值，可求得线段的长；

（2）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）解：以为原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设，其中，则、、、、，

，，，

若平面，则，，

则，解得，则.

（2）解：由（1）可知平面的一个法向量为，且，

，

因此，直线与平面所成角的正弦值为.

21．如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.

【答案】(1)证明见解析；

(2)点G为BD的中点时.

【分析】（1）由面面垂直可得AE平面BCD，得出CDAE，再由CDEF可得CD平面AEF，即可得出平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出锐二面角的余弦值，当最大，最小，即可得出此时点G为BD的中点.

【详解】（1）(1)因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AEBC，

又因为平面ABC平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE平面ABC，

所以AE平面BCD，

又因为CD平面BCD，所以CDAE，

因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF//BD，

又因为BDCD，所以CDEF，又因为CDAE，AE∩EF，

AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，

又因为CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF.

（2）在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H,

设BC=4，则，DF=FC=l，.

以为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz,

则,

设，则,，

设平面AEG的法向量为,

由，得，令，故，

设平面ACD的法向量为，

则,即，令，则,

设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为,

则，

当最大，此时锐二面角最小，

故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.

22．已知函数.

(1)若，判断在区间上是否存在极小值点，并说明理由；

(2)已知，设函数.若在区间上存在零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)不存在，理由见解析

(2)

【分析】（1）若，则，令，由于在上单调递增，且，从而可求出求出的单调区间，进而可求出的最小值非负，则无极值；

（2）由题可得，令，即转化为有解，构造函数，由导数可得由唯一零点，从而将问题转化为在有解，再构造函数，利用导数求出函数的值域，从而可求出实数的取值范围.

【详解】（1）当时，则，

则.

令，

则，由单调递增，且，

得在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以当时，，

则在上单调递增，不存在极小值点.

（2）令，

则.又，

所以，

令，即可转化为有解.

设，

则由可得，

则在上单调递减，在上单调递增.

又，所以有唯一的零点.

若在区间上存在零点，

则在有解,整理得,

设，

由，知在上单调递减，在上单调递增，

又当时，，则，

所以，得，

故实数的取值范围是.

【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，

难度相当大，主要考向有以下几点：

1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；

2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；

3、求函数的极值（最值）；

4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；

5、证明不等式；

解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，

在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，

对新函数求导再结合导数与单调性等解决.