2024年高考数学一轮复习（新高考方案）课时跟踪检测（六十二） 直线与圆锥曲线的位置关系

课时跟踪检测（六十二） 直线与圆锥曲线的位置关系

一、全员必做题

1．(2023·连云港模拟)直线y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，则k＝(　 )

A．－2     B．－1    C．－  D．1

解析：选C　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋1代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，x1＋x2＝－，因为AB中点的横坐标为1，所以－＝1，解得k＝－.故选C.

2．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P(3,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　 )

A．－      B．－      C．－  D．－

解析：选A　设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则4x＋9y＝144,4x＋9y＝144，两式相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，＝k，代入解得k＝－.

3．(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，C上的点到其焦点的最短距离为1，则(　 )

A．C的焦点坐标为(0，±2)

B．C的渐近线方程为y＝±x

C．点(2,3)在C上

D．直线mx－y－m＝0(m∈R)与C恒有两个交点

解析：选BC　由已知得所以所以b2＝3，所以双曲线C的方程为x2－＝1.所以C的焦点坐标为(±2,0)，A错误；C的渐近线方程为y＝±x＝±x，B正确；因为22－＝1，所以点(2,3)在C上，C正确；直线mx－y－m＝0即y＝m(x－1)，恒过点(1,0)，当m＝±时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误．

4.如图，过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若<k<，则椭圆C的离心率的取值范围是(　 )

A.  B.

C.  D.

解析：选C　由题意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝，于是k＝.又<k<，所以<<，化简可得<<，从而可得<e<，选C.

5．(2023·烟台模拟)(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线C上，A，若△PAF为等腰三角形，则直线AP的斜率可能为(　 )

A.        B.      C.      D．－

解析：选AB　由题意知|AP|≠|PF|，设P(x，y)(x>0)，若|AF|＝|PF|，则1＋＝x＋1，解得x＝，则点P的坐标为或，所以kAP＝或kAP＝－；若|AP|＝|AF|，则2＋y2＝2.因为y2＝4x，所以2x2＋13x－7＝0，解得x＝或x＝－7(舍去)，所以点P的坐标为或，所以kAP＝或kAP＝－.故选A、B.

6．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是(　 )

A.        B.      C.  D.

解析：选C　直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于B，l与渐近线l2：bx＋ay＝0交于C，又A(a,0)，所以＝，＝，因为＝，所以b＝2a，所以c2－a2＝4a2，所以e2＝＝5，所以e＝，故选C.

7．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为________．

解析：由消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由题意，得＝，解得m＝±1.

答案：±1

8．(2023·泉州高三开学考试)直线l：y＝2x－4过抛物线C：y2＝2px的焦点F，与C交于A，B两点，则|AB|＝________.

解析：因为直线l：y＝2x－4过抛物线C：y2＝2px的焦点F，故F(2,0)，即p＝4，故抛物线C：y2＝8x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得，x2－6x＋4＝0，故|AB|＝x1＋x2＋p＝10.

答案：10

9．(2023·合肥模拟)已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，点A，B，P在椭圆C上．

(1)若线段AB的中点为(1，－1)，求直线AB的方程；

(2)若F恰好是△ABP的重心，且|AF|，|PF|，|BF|成等差数列，求点P的坐标．

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，

由得＝－，即＝－，

∴kAB＝＝－·＝，

∴直线AB的方程为y＋1＝(x－1)，即3x－4y－7＝0.

(2)由椭圆方程知F(1,0)，设P(x3，y3)，

∵F恰好是△ABP的重心，∴＝1，即x1＋x2＋x3＝3，

∵|AF|＝＝＝＝2－，

同理可得|BF|＝2－，|PF|＝2－，

又|AF|，|PF|，|BF|成等差数列，

∴2|PF|＝|AF|＋|BF|＝4－＝4－x3，

整理可得x1＋x2＝2x3，∴x1＋x2＋x3＝3x3＝3，解得x3＝1，

将x3＝1代入椭圆方程得y＝3－x＝，解得y3＝±，∴P点坐标为或.

10．设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点，且离心率为.F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，⊙F的半径为PF.

(1)求椭圆E和⊙F的方程；

(2)若直线l：y＝k(x－)(k>0)与⊙F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解：(1)设E的方程为＋＝1(a>b>0)，由题设知＋＝1，＝.

解得a＝2，b＝1，故椭圆E的方程为＋y2＝1.

因此F(，0)，|PF|＝，即⊙F的半径为.所以⊙F的方程为(x－)2＋y2＝.

(2)由题设可知，A在E外，B在E内，C在⊙F内，D在⊙F外，在l上的四点A，B，C，D满足|AC|＝|AB|－|BC|，|BD|＝|CD|－|BC|.

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，将l的方程代入E的方程得(1＋4k2)x2－8k2x＋12k2－4＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

|CD|＝＝＝1＋＞1，

又⊙F的直径|AB|＝1，所以|BD|－|AC|＝|CD|－|AB|＝|CD|－1>0，

故不存在正数k使|AC|＝|BD|.

二、重点选做题

1．(2023·苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中，若直线x＋ay＋3＝0上存在动点P，使得过点P作椭圆C：＋y2＝1的两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是(　 )

A.∪

B.∪

C.

D.

解析：选B　如图，设过点P作椭圆的两条切线分别为PM，PN，其中M，N为切点，则OM⊥PM，ON⊥PN，又由于PM⊥PN，故四边形PMON为矩形，由椭圆的方程为＋y2＝1，故矩形的对角线|OP|＝＝2，即矩形PMON的长不超过2，即椭圆的中心（0，0）与直线x+ay+3=0的距离d=  ≤2，得≤4，a∈∪，故选B.

2．(多选)已知直线l：x－y－＝0过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法错误的是(　 )

A．抛物线的方程为y2＝4x

B．线段AB的长度为

C．∠MFN＝90°

D．线段AB的中点到y轴的距离为

解析：选BD　如图，由题意不妨设点A在点B上方，直线l：x－y－＝0与x轴交点为(1,0)，又l经过y2＝2px的焦点，故F(1,0)，可得p＝2，即抛物线方程C：y2＝4x，A正确．由可得3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝，可得A(3,2)，B，所以|AB|＝＝，B错误．由以上分析可知，M(－1,2)，N，F(1,0)，可得kNF·kMF＝×＝－1，则MF⊥NF，即∠MFN＝90°，C正确．因为A(3,2)，B，故线段AB的中点为，则线段AB的中点到y轴的距离为，D错误．

3．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，＋＝________.

解析：由＝1，得p＝2.当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，与y2＝4x联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以＋＝＋＝1；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程联立，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，＋＝＝＝＝＝1.综上，＋＝1.

答案：2　1

4．(2023·福州模拟)平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1的右焦点为F，T为直线l：x＝1上一点，过F作TF的垂线分别交C的左、右支于P，Q两点，交l于点A.

(1)证明：直线OT平分线段PQ；

(2)若|PA|＝3|QF|，求|TF|2的值．

解：(1)证明：依题意，c＝＝3，即F(3,0)，

设T(1,2t)，则直线PQ的方程为x＝ty＋3，

由得(2t2－1)y2＋12ty＋12＝0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则故t2≠，

由根与系数的关系可得y1＋y2＝－，y1y2＝，所以x1＋x2＝t(y1＋y2)＋6＝－，

又直线PQ分别交C的左、右支于P，Q两点，

所以x1x2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＝－<0，故t2>，

所以PQ中点为N，

所以kON＝2t＝kOT，故O，T，N三点共线，即直线OT平分线段PQ.

(2)依题意，由|PA|＝3|QF|得＝3，则1－x1＝3(3－x2)，即－x1＋3x2＝8，

所以(x1＋x2)＋8＝4x2，①，3(x1＋x2)－8＝4x1，②

①×②得3(x1＋x2)2＋16(x1＋x2)－64＝16x1x2，所以3×－16×－64＝－16×，

解得t2＝或t2＝(舍去)，此时，2＝4＋4t2＝12＋3.