四川省成都市青羊实验中学八年级下册期中数学试卷（含详细解析）

这是一份四川省成都市青羊实验中学八年级下册期中数学试卷（含详细解析），共36页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省成都市青羊实验中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．2a＞b+2 B．a﹣3＞b﹣3 C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|
3．（3分）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．x2+x﹣1＝（x﹣1）（x+2）+1
C．a+am+an＝a（m+n） D．a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）
4．（3分）下列为一元一次不等式的是（　　）
A．x+y＞﹣2 B．+3＜2 C．﹣2x＝7 D．≥1
5．（3分）使分式有意义的x的取值范围为（　　）
A．x≠﹣3 B．x≠3 C．x≠0 D．x≠±3
6．（3分）不等式组解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）下列命题的逆命题为假命题的是（　　）
A．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
B．若一个三角形的三边相等，则它的三个角也相等
C．若c＝d，则（a﹣b）c＝（a﹣b）d
D．两直线平行，同位角相等
8．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
9．（3分）某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品x件，依题意可列不等式组得（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝52，S△AED＝38，则△DEF的面积为（　　）

A．7 B．12 C．8 D．14
二.填空题（每小题4分，共16分）
11．（4分）如果x2+Ax+B因式分解的结果为（x﹣3）（x+5），则A＝　 　，B＝　 　．
12．（4分）等腰三角形的一个角为45°，则它的底角为　 　．
13．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝5，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AC于点D．若CD＝2，则△ABD的面积为 　 　．

14．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，将△ABC绕点C逆时针旋转α到△A1B1C的位置，A1B1恰好经过点B，则旋转角α的度数是 　 　．

三.解答题（共6小题，共54分）
15．（8分）把下列各题因式分解：
（1）﹣4xy﹣x2﹣4y2；
（2）4x（x﹣a）﹣2y（a﹣x）﹣6（x﹣a）．
16．（10分）解答下列各题
（1）先化简，再求值：，其中m＝1．
（2）解不等式组，并求其负整数解．
17．（8分）如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题
（1）△ABC的面积为 　 　；
（2）将△ABC向上平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（3）以坐标原点O为对称中心，画出与△ABC成中心对称的图形△A2B2C2．

18．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AD＝2，∠DAC＝30°，求AC的长．

19．（8分）阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组
＝（x﹣2y）（x+2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式
＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：9x2﹣9x+3y﹣y2；
（2）已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝mx+n的图象与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（﹣2，1），与x轴交于点B（6，0）．将直线OA向右平移使其经过点B，平移后的直线与y轴交于点C，连接AC．
（1）求y1，y2的函数表达式；
（2）求四边形AOBC的面积；
（3）设以x为自变量的函数y3＝（2a﹣5）x+（2a+b﹣1），若y3＜y1对一切实数x恒成立，求a的值及b的取值范围．


一、填空题：（每小题4分，共20分）
21．（4分）已知x+y＝﹣2，xy＝﹣3，则代数式x2y+xy2的值为 　 　．
22．（4分）若不等式组的解集是﹣2＜x＜1，则ba＝　 　．
23．（4分）如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝　 　，OPn＝　 　（n为自然数，且n＞0）

24．（4分）已知，如图，△ABC中，∠B＝30°，BC＝7，AB＞BC，D是BC上一点，BD＝5，E为BA边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形△DEF连接CF，则CF的最小值为 　 　．

25．（4分）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠F＝30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为 　 　．

二、解答题：
26．（8分）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．成都生物公司需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输800盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1700盒．
（1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗．
（2）计划用两种冷链运输车共13辆运输这批疫苗，A型车一次需费用4000元，B型车一次需费用6000元．若运输物资不少于2000盒，且总费用小于73000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
27．（10分）如图1．已知．点A（0，a）D（﹣1，0）将线段AD平移至线段BC．点B（b，0），其中点A与点B对应，点D与点C对应，a、b满足：+（b﹣3）2＝0
（1）填空：直接写出B、C两点的坐标B（ 　 　）、C（ 　 　）；
（2）如图2．连OC，动点M从点B开始在x轴上以每秒3个单位的速度向左运动，同时点N从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AMD与三角形CON的面积相等，试求t的值及点M的坐标．
（3）如图3．若点A不动，点D在x轴的负半轴上运动时，分别以AD．OD为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ADE与等腰直角△ODF，其中∠ADE＝∠ODF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点D在x轴的负半轴上移动时，DP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．

28．（12分）在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE＝AC．连接EC．点G是EC中点．
（1）若AB＝4，求AF．
（2）如图1，若点E恰好在线段AC上．连接FG、BF，请探究△BGF的形状，并证明你的结论；
（3）如图2．将△AEF绕点A顺时针旋转，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，BF，过点E作EH⊥EA．垂足为E，交BG于点H，请求出的值．


参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
2．（3分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．2a＞b+2 B．a﹣3＞b﹣3 C．﹣a＞﹣b D．|a|＞|b|
【考点】不等式的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】通过举特例判断A，D选项；根据不等式的基本性质判断B，C选项．
【解答】解：A选项，当a＝1.5，b＝1时，2a＝b+2，故该选项不符合题意；
B选项，不等式两边都减3，不等号的方向不变，故该选项符合题意；
C选项，不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，故该选项不符合题意；
D选项，当a＝1，b＝﹣2时，|a|＜|b|，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
3．（3分）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．x2+x﹣1＝（x﹣1）（x+2）+1
C．a+am+an＝a（m+n） D．a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法等．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式的右边不是整式的积的形式，即从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式的的左右两边不相等，故本选项不符合题意；
D．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4．（3分）下列为一元一次不等式的是（　　）
A．x+y＞﹣2 B．+3＜2 C．﹣2x＝7 D．≥1
【考点】一元一次不等式的定义．菁优网版权所有
【答案】D
【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解．
【解答】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意；
B、未知数在分母位置，故B不符合题意；
C、是一元一次方程，故C不符合题意；
D、是一元一次不等式，故D符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了一元一次不等式的定义，概念解析：一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等式属于不等式．
5．（3分）使分式有意义的x的取值范围为（　　）
A．x≠﹣3 B．x≠3 C．x≠0 D．x≠±3
【考点】分式有意义的条件．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：根据题意得：
x+3≠0，
解得：x≠﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为0是解题的关键．
6．（3分）不等式组解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】对题目所给不等式标号，先解①，再解②，根据两者的公共部分得到不等式组解集．
【解答】解：
解不等式①得，x≥3
解不等式②得，x＞2
∴不等式组的解集为：x≥3
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，需要先分别解两个不等式，再取公共部分，按照“同大取大”来得出解集．本题属于基础题．
7．（3分）下列命题的逆命题为假命题的是（　　）
A．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
B．若一个三角形的三边相等，则它的三个角也相等
C．若c＝d，则（a﹣b）c＝（a﹣b）d
D．两直线平行，同位角相等
【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】写出原命题的逆命题后利用勾股定理逆定理、等边三角形的判定、平行线的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、逆命题为：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，正确，为真命题，不符合题意；
B、逆命题为：若一个三角形的三角相等，则它的三条边也相等，正确，为真命题，不符合题意；
C、逆命题为：若（a﹣b）c＝（a﹣b）d，则c＝d，错误，为假命题，符合题意；
D、逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解勾股定理逆定理、等边三角形的判定、平行线的判定等知识，难度不大．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，AD＝BD＝AB．
∵△BCE的周长是14cm，
∴BC+BE+EC＝14cm，即AC+BC＝14cm．
∵△ABC的周长是22cm，
∴AB+AC+BC＝22cm，
∴AB＝22﹣14＝8（cm），
∴BD＝AB＝×8＝4（cm）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．（3分）某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品x件，依题意可列不等式组得（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式组．菁优网版权所有
【答案】C
【分析】设购买甲商品x件，则购买乙商品（2x﹣4）件，根据“购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元”，即可得出关于x的一元一次不等式组，此题得解．
【解答】解：设购买甲商品x件，则购买乙商品（2x﹣4）件，
依题意得：．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
10．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝52，S△AED＝38，则△DEF的面积为（　　）

A．7 B．12 C．8 D．14
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】A
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF＝S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF＝S△ADH列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S△ADF＝S△ADH，
即38+S＝52﹣S，
解得S＝7．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．
二.填空题（每小题4分，共16分）
11．（4分）如果x2+Ax+B因式分解的结果为（x﹣3）（x+5），则A＝　2　，B＝　﹣15　．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．菁优网版权所有
【答案】2，﹣15．
【分析】根据因式分解的意义，可得：x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，再根据各项对应相等，可得答案．
【解答】解：x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，得
A＝2，B＝﹣15．
故答案为：2，﹣15．
【点评】本题考查了因式分解，利用整式的乘法得出相等整式中同类项的系数相等是解题关键．
12．（4分）等腰三角形的一个角为45°，则它的底角为　45°或67.5°　．
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】因为已知给出的45°角是顶角还是底角不明确，所以根据等腰三角形的性质分两种情况讨论来求底角的度数．
【解答】解：分两种情况；
（1）当45°角是底角时，底角就是45°；
（2）当45°角是顶角时，底角＝＝67.5°．
因此，底角为45°或67.5°．
故答案为45°或67.5°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
13．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝5，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AC于点D．若CD＝2，则△ABD的面积为 　5　．

【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】5．
【分析】过D点作DH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到BD平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到DH＝DC＝2，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，

由作法得BD平分∠ABC，
而DH⊥BA，DC⊥BC，
∴DH＝DC＝2，
∴S△ABD＝×2×5＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质．
14．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，将△ABC绕点C逆时针旋转α到△A1B1C的位置，A1B1恰好经过点B，则旋转角α的度数是 　52°　．

【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【答案】52°．
【分析】由余角的性质可求∠ABC＝64°，由旋转的性质可得∠B1＝∠ABC＝64°，∠B1CA1＝∠ACB＝90°，CB＝CB1，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，
∴∠ABC＝64°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C的位置，
∴∠B1＝∠ABC＝63°，∠B1CA1＝∠ACB＝90°，CB＝CB1，
∴∠CB1B＝∠CBB1＝64°，
∴∠BCB1＝∠α＝180°﹣64°﹣64°＝52°．
故答案为：52°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
三.解答题（共6小题，共54分）
15．（8分）把下列各题因式分解：
（1）﹣4xy﹣x2﹣4y2；
（2）4x（x﹣a）﹣2y（a﹣x）﹣6（x﹣a）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【答案】（1）﹣（x+2y）2．
（2）2（x﹣a）（2x+y﹣3）．
【分析】（1）先变形，再逆用完全平方公式进行因式分解．
（2）先变形，再提取公因式进行因式分解．
【解答】解：（1）﹣4xy﹣x2﹣4y2
＝﹣（4xy+x2+4y2）
＝﹣（x+2y）2．
（2）4x（x﹣a）﹣2y（a﹣x）﹣6（x﹣a）
＝4x（x﹣a）+2y（x﹣a）﹣6（x﹣a）
＝2（x﹣a）（2x+y﹣3）．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
16．（10分）解答下列各题
（1）先化简，再求值：，其中m＝1．
（2）解不等式组，并求其负整数解．
【考点】分式的化简求值；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【答案】（1），．
（2）﹣2，﹣1．
【分析】（1）把能分解的进行分解，除法转为乘法，再约分，最后把相应的值代入运算即可；
（2）利用解一元一次不等式组的方法进行求解即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝，
当m＝1时，
原式＝
＝．
（2），
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＜4，
故不等式组的解集是：﹣2≤x＜4，
则其负整数解是：﹣2，﹣1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
17．（8分）如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题
（1）△ABC的面积为 　　；
（2）将△ABC向上平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（3）以坐标原点O为对称中心，画出与△ABC成中心对称的图形△A2B2C2．

【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．菁优网版权所有
【答案】（1）．
（2）见解答．
（3）见解答．
【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可．
（2）利用平移的性质作图即可．
（3）利用中心对称的性质作图即可．
【解答】解：（1）△ABC的面积为3×3﹣﹣﹣＝．
故答案为：．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
（3）如图，△A2B2C2即为所求．

【点评】本题考查作图﹣平移变换、中心对称，熟练掌握平移和中心对称的性质是解答本题的关键．
18．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AD＝2，∠DAC＝30°，求AC的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE＝DF，根据题意还知道∠DEB＝∠DFC，BD＝CD，从而得出△DEB≌△DFC，进而得出∠B＝∠C，即可得出结论AB＝AC；
（2）由勾股定理可求AC的长．
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，且BD＝CD，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
（2）∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥CD，且∠DAC＝30°，
∴AC＝2CD
∵AC2＝AD2+CD2，
∴4CD2＝4+CD2，
∴CD＝
∴AC＝
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，比较综合，难度适中．
19．（8分）阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
x2﹣4y2+2x﹣4y
＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）…分组
＝（x﹣2y）（x+2y）+2（x﹣2y）…组内分解因式
＝（x﹣2y）（x+2y+2）…整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：9x2﹣9x+3y﹣y2；
（2）已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）（3x﹣y）（3x+y﹣3）；
（2）△ABC为等腰三角形．
【分析】（1）先分组，再用公式分解．
（2）先因式分解，再求a，b，c的关系，判断三角形的形状．
【解答】解：（1）9x2﹣9x+3y﹣y2
＝（9x2﹣y2）+（﹣9x+3y）
＝（3x+y）（3x﹣y）﹣3（3x﹣y）
＝（3x﹣y）（3x+y﹣3）；
（2）△ABC为等腰三角形．
理由：∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或a+b﹣c＝0，
∵△ABC三边a、b、c都大于0，
∴a+b﹣c＞0．
∴a﹣b＝0，即a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
【点评】本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝mx+n的图象与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（﹣2，1），与x轴交于点B（6，0）．将直线OA向右平移使其经过点B，平移后的直线与y轴交于点C，连接AC．
（1）求y1，y2的函数表达式；
（2）求四边形AOBC的面积；
（3）设以x为自变量的函数y3＝（2a﹣5）x+（2a+b﹣1），若y3＜y1对一切实数x恒成立，求a的值及b的取值范围．


【考点】一次函数图象与几何变换；两条直线相交或平行问题；一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【答案】（1）正比例函数为y2＝﹣x；一次函数为y1＝﹣x+；
（2）12；
（3）a＝，b＜﹣．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）设BC的解析式为y＝﹣x+b，把B（6，0）代入求得y＝﹣x+3，求得C（0，3），根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）由y3＜y1得出（2a﹣5）x+（2a+b﹣1）＜﹣x+，根据题意得出，解得即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，1）代入正比例函数y2＝kx得，﹣2k＝1，
解得k＝﹣，
∴正比例函数为y2＝﹣x；
∵一次函数y1＝mx+n的图象经过点A（﹣2，1），与x轴交于点B（6，0）．
∴，
解得，
∴一次函数为y1＝﹣x+；
（2）设BC的解析式为y＝﹣x+b，把B（6，0）代入，可得b＝3，
∴y＝﹣x+3，
令x＝0，则y＝3，即C（0，3），
∴OC＝3，
∴四边形AOBC的面积＝S△ACO+S△BCO＝+＝12；
（3）∵y3＜y1，
∴（2a﹣5）x+（2a+b﹣1）＜﹣x+，
根据题意得，
解得a＝，b＜﹣．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象与几何变换，两条直线相交或平行问题，注意：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
一、填空题：（每小题4分，共20分）
21．（4分）已知x+y＝﹣2，xy＝﹣3，则代数式x2y+xy2的值为 　6　．
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【答案】6．
【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而把已知代入求出答案．
【解答】解：∵x+y＝﹣2，xy＝﹣3，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝（﹣3）×（﹣2）＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题的关键．
22．（4分）若不等式组的解集是﹣2＜x＜1，则ba＝　　．
【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求出a、b的值，代入计算即可．
【解答】解：由x﹣a＞2，得：x＞a+2，
由b﹣2x＞0，得：x＜，
∵不等式组的解集为﹣2＜x＜1，
∴a+2＝﹣2，＝1，
解得a＝﹣4，b＝2，
∴ba＝2﹣4＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
23．（4分）如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP且PP1＝1，根据勾股定理，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此继续，得OP2018＝　　，OPn＝　　（n为自然数，且n＞0）

【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意找出规律，根据规律解答．
【解答】解：由题意得，OP1＝；
OP2＝；
OP3＝，
…
则OP2018＝，OPn＝，
故答案为：；．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
24．（4分）已知，如图，△ABC中，∠B＝30°，BC＝7，AB＞BC，D是BC上一点，BD＝5，E为BA边上一动点，以DE为边向右侧作等边三角形△DEF连接CF，则CF的最小值为 　　．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；垂线段最短．菁优网版权所有
【答案】．
【分析】作DG⊥BC交AB于点G，则∠BDG＝90°，可证明∠BGD＝60°；作直线GF交BC的延长线于点H，取BG的中点，连接DJ，先证明△DGJ是等边三角形，再证明△FDG≌△EDJ，得∠FGD＝∠EJD＝60°，则∠BGF＝120°，说明点F在过点G且与直线AB所夹的钝角等于120°的直线上运动，作CI⊥GH于点I，证明△HGD≌△BGD，得HD＝BD＝5，∠IHC＝∠B＝30°，则CI＝CH，当点F与点I重合时，CF＝CI，此时CF的值最小，求出CI的值即可．
【解答】解：如图，作DG⊥BC交AB于点G，则∠BDG＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠BGD＝60°，
作直线GF交BC的延长线于点H，取BG的中点，连接DJ，
∵DJ＝GJ＝BG，
∴△DGJ是等边三角形，
∴DG＝DJ，∠GDJ＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DF＝DE，∠FDE＝60°，
∴∠FDG＝∠EDJ＝60°﹣∠GDE，
在△FDG和△EDJ中，
，
∴△FDG≌△EDJ（SAS），
∴∠FGD＝∠EJD＝60°，
∴∠BGF＝120°，
∴点F在过点G且与直线AB所夹的钝角等于120°的直线上运动，
作CI⊥GH于点I，则∠CIH＝90°，
在△HGD和△BGD中，
，
∴△HGD≌△BGD（ASA），
∴HD＝BD＝5，∠IHC＝∠B＝30°，
∵BC＝7，
∴CD＝BC﹣BD＝2，
∴CH＝HD﹣CD＝3，
∴CI＝CH＝，
当点F与点I重合时，CF＝CI＝＝，此时CF的值最小，
∴CF的最小值为，
故答案为：．

【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25．（4分）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠F＝30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为 　7.5°或75°或97.5°或120°　．

【考点】旋转的性质；等腰三角形的判定．菁优网版权所有
【答案】7.5°或75°或97.5°或120°．
【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ＝∠CQP，如图1，可求得α＝7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α＝∠EDE′＝90°+7.5°＝97.5°；
②当∠CPQ为顶角时，∠CQP＝∠PCQ＝45°，可得∠CPQ＝90°，如图3，进而求得α＝90°﹣15°＝75°；
③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ＝∠PCQ＝45°，可得∠CQP＝90°，进而求得α＝∠EDE′＝∠EDQ+∠QDE′＝90°+30°＝120°．
【解答】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，
∵△CPQ为等腰三角形，
∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，
①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ＝∠CQP，如图1，
∵∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠F＝30°，
∴∠E′DF′＝90°，∠ACB＝45°，∠E′F′D＝30°，
∵∠CPQ+∠CQP＝∠ACB＝45°，
∴∠CQP＝22.5°，
∵∠E′F′D＝∠CQP+∠F′DQ，
∴∠F′DQ＝∠E′F′D﹣∠CQP＝30°﹣22.5°＝7.5°，
∴α＝7.5°；
如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，
∴∠CPQ＝∠CQP＝67.5°，
∵∠E′DF′＝90°，∠F′＝30°，
∴∠E′＝60°，
∴∠E′DQ＝∠CQP﹣∠E′＝67.5°﹣60°＝7.5°，
∴α＝∠EDE′＝90°+7.5°＝97.5°；
②当∠CPQ为顶角时，∠CQP＝∠PCQ＝45°，
∴∠CPQ＝90°，如图3，
∵∠DE′F′＝∠CQP+∠QDE′，
∴∠QDE′＝∠DE′F′﹣∠CQP＝60°﹣45°＝15°，
∴α＝90°﹣15°＝75°；
③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ＝∠PCQ＝45°，
∴∠CQP＝90°，
∴∠QDF′＝90°﹣∠DF′E′＝60°，
∴∠QDE′＝∠E′DF′﹣∠QDF′＝30°，
∴α＝∠EDE′＝∠EDQ+∠QDE′＝90°+30°＝120°；
综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．
故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．




【点评】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．
二、解答题：
26．（8分）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．成都生物公司需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输800盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1700盒．
（1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗．
（2）计划用两种冷链运输车共13辆运输这批疫苗，A型车一次需费用4000元，B型车一次需费用6000元．若运输物资不少于2000盒，且总费用小于73000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【考点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
【答案】（1）每辆A型车一次可以运输100盒疫苗，每辆B型车一次可以运输200盒疫苗；
（2）方案一：A型车3辆，B型车10辆，方案二：A型车4辆，B型车9辆，方案三：A型车5辆，B型车8辆，方案四：A型车6辆，B型车7辆，
其中方案四所需费用最少，最少费用是66000元．
【分析】（1）设每辆A型车一次可以运输x盒疫苗，每辆B型车一次可以运输y盒疫苗，根据2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输800盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1700盒，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和A型车一次需费用4000元，B型车一次需费用6000元．若运输物资不少于2000盒，且总费用小于73000元，可以列出相应的不等式组，然后根据辆数为整数和租用B型车越少，费用越低，即可得到相应的运输方案和哪种方案所需费用最少，最少费用是多少．
【解答】解：（1）设每辆A型车一次可以运输x盒疫苗，每辆B型车一次可以运输y盒疫苗，
由题意可得，，
解得，
答：每辆A型车一次可以运输100盒疫苗，每辆B型车一次可以运输200盒疫苗；
（2）设A型车a辆，则B型车（13﹣a）辆，
由题意可得，，
解得＜a≤6，
∵a为正整数，
∴a＝3，4，5，6，
∴共有四种运输方案，
方案一：A型车3辆，B型车10辆，
方案二：A型车4辆，B型车9辆，
方案三：A型车5辆，B型车8辆，
方案四：A型车6辆，B型车7辆，
∵A型车一次需费用4000元，B型车一次需费用6000元，计划用两种冷链运输车共13辆运输这批疫苗，
∴B型车辆数越少，费用越低，
∴方案四所需费用最少，此时的费用为4000×6+6000×7＝66000（元），
答：方案一：A型车3辆，B型车10辆，方案二：A型车4辆，B型车9辆，方案三：A型车5辆，B型车8辆，方案四：A型车6辆，B型车7辆，
其中方案四所需费用最少，最少费用是66000元．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等式关系和等量关系，列出相应的不等式组和方程组．
27．（10分）如图1．已知．点A（0，a）D（﹣1，0）将线段AD平移至线段BC．点B（b，0），其中点A与点B对应，点D与点C对应，a、b满足：+（b﹣3）2＝0
（1）填空：直接写出B、C两点的坐标B（ 　3，0　）、C（ 　2，﹣4　）；
（2）如图2．连OC，动点M从点B开始在x轴上以每秒3个单位的速度向左运动，同时点N从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AMD与三角形CON的面积相等，试求t的值及点M的坐标．
（3）如图3．若点A不动，点D在x轴的负半轴上运动时，分别以AD．OD为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ADE与等腰直角△ODF，其中∠ADE＝∠ODF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点D在x轴的负半轴上移动时，DP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．

【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）3，0；2，﹣4；
（2）t的值为或，点M坐标为（﹣，0）或（﹣，0）；
（3）DP的长度不会发生变化，理由见解析过程．
【分析】（1）由非负性可求点A，点B坐标，由平移的性质可求点C坐标；
（2）分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求t的值，即可求解；
（3）由“AAS”可证△ADO≌△DEH，可得DO＝EH，AO＝4＝DH，由“AAS”可证△DFP≌△HEP，可得HP＝DP＝DH＝2，可得结论．
【解答】解：（1）∵+（b﹣3）2＝0
∴a＝4，b＝3，
∴点A（0，4），点B（3，0），
∵将线段AD平移至线段BC，点A（0，4），D（﹣1，0），点B（3，0），
∴点C坐标为（2，﹣4），
故答案为：3，0；2，﹣4；
（2）∵D（﹣1，0），点B（3，0），
∴DB＝4，
当点M在点D的右侧时，
∵三角形AMD与三角形CON的面积相等，
∴×（4﹣3t）×4＝×t×2，
∴t＝，
∴BM＝3×＝，
∴OM＝﹣3＝，
∴点M（﹣，0）；
当点M在点D的左侧时，
∵三角形AMD与三角形CON的面积相等，
∴×（3t﹣4）×4＝×t×2，
∴t＝，
∴BM＝3×＝，
∴OM＝﹣3＝，
∴点M（﹣，0）；
综上所述：t的值为或，点M坐标为（﹣，0）或（﹣，0）；
（3）DP的长度不会发生变化，理由如下：
如图3，过点E作EH⊥x轴于H，

∴∠EHO＝∠AOD＝∠ADE＝90°，
∴∠EDH+∠ADO＝90°＝∠ADO+∠DAO，
∴∠EDH＝∠DAO，
又∵AD＝DE，
∴△ADO≌△DEH（AAS），
∴DO＝EH，AO＝4＝DH，
∵DF＝DO，
∴DF＝EH，
又∵∠EPH＝∠DPF，∠EHP＝∠FDP＝90°，
∴△DFP≌△HEP（AAS），
∴HP＝DP＝DH＝2，
∴当点D在x轴的负半轴上移动时，DP的长度是不会变化的．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了平移的性质，非负性，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
28．（12分）在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE＝AC．连接EC．点G是EC中点．
（1）若AB＝4，求AF．
（2）如图1，若点E恰好在线段AC上．连接FG、BF，请探究△BGF的形状，并证明你的结论；
（3）如图2．将△AEF绕点A顺时针旋转，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，BF，过点E作EH⊥EA．垂足为E，交BG于点H，请求出的值．

【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）2；
（2）△BGF是等边三角形；证明见解析；
（3）．
【分析】（1）由30度直角三角形的性质可求出答案；
（2）如图1，连接BE，BF．根据直角三角形的性质得到AE＝EC＝AC，EG＝GC＝EC，推出△ABE是等边三角形．得到BE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝60°．根据全等三角形的性质得到BF＝BG，∠ABF＝∠EBG，得到△FBG是等边三角形，于是得到结论；
（3）如图2，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．根据直角三角形的性质得到BM＝AM＝CM，求得∠BMC＝120°，根据三角形中位线定理得到GM＝AE＝AF，GM∥AE，根据全等三角形的性质得到∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，推出△BFG是等边三角形，得到BG＝FG，∠FGB＝60°，根据，EF＝AF，于是得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝2AB＝8，
∵AE＝AC，
∴AE＝4，
∵∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，
∴AF＝AE＝2；
（2）△BGF是等边三角形．
证明：如图1，连接BE．

在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝2AB．
同理，AE＝2AF，
∵AE＝EC＝AC，EG＝GC＝EC，
∴EG＝AF，AB＝AE．
∴△ABE是等边三角形．
∴BE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝60°．
∴∠BEG＝120°，
又∵∠BAC＝∠FAE＝60°，
∴∠FAB＝120°．
∴∠BEG＝∠FAB．
∴△ABF≌△BEG（SAS），
∴BF＝BG，∠ABF＝∠EBG，
∴∠ABF+∠FBE＝∠FBE+∠EBG＝60°，
即∠FBG＝60°，
∴△BGF是等边三角形；
（3）如图2，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．

∵AM＝MC，∠ABC＝90°，
∴BM＝AM＝CM，
∵AC＝2AB，
∴AB＝AM＝BM，
∴∠BAM＝∠AMB＝∠ABM＝60°，
∴∠BMC＝120°，
∵AE＝2AF，∠EAF＝60°，
∴∠BAF＝120°+∠EAC，
∵AM＝MC，EG＝GC，
∴GM＝AE＝AF，GM∥AE，
∴∠CMG＝∠EAC，
∴∠BMG＝120°+∠CMG＝120°+∠EAC＝∠BAF，
∴△BAF≌△BMG（SAS），
∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，
∴∠FBG＝∠ABM＝60°，
∴△BFG是等边三角形，
∴BG＝FG，∠FGB＝60°，
∵AE⊥EH，∠AEF＝30°，
∴∠GEH＝60°，
∴∠EHG＝∠GEH＝60°．
∴EF＝BH，
∵，EF＝AF，
∴．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，30度直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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