河南省名校青桐鸣2023届高三数学（理）下学期4月联考试题（Word版附解析）

这是一份河南省名校青桐鸣2023届高三数学（理）下学期4月联考试题（Word版附解析），共11页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M=1234567,N={x|2x-1<5},则M∩N= ( )
A.{1 ,2} B.{1 ,2,3} C.{1 ,2,3,4} D.{1 ,2,3,4,5}
2.复数z满足(z—i)(2—i)=i,则|z|= ( )
A.1 B. 2 C.2 D. 5
3.已知函数f(x)=x(x-a)(x-2),a∈R,命题p:0( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2b,则a+b的最小值为 （ ）
A.5 B.52 C.5 2 D.522
5.已知α,β∈0π2,csα+β=-513,tanα+tanβ=3,则cs(α-β)= ( )
A.13 B.713 C.47 D.1
6.函数fx=ex-e-x-2xsinxx∈-3π23π2 的图象大致是 ( )
7.若执行下面的程序框图，则输出的s ( )
A.有6个值,分别为6,10,28,36,66,78
B.有7个值,分别为6,10,28,36,66,78,91
C.有7个值,分别为6,10,28,36,66,78,120
D.有8个值,分别为6,10,28,36,66,78,120,136
8. 在△ABC内有两点M,O,满足 OA+OB+OC=0,MA+MB+2MC=0, 且 MO=xAB+ yAC,则x+y= ( )
A.112 B.16 C.-112 D.-16
9.函数 fx=sinx+π5+3csx+8π15的最大值为 ( )
A.1 B. 3 C. 5 D. 7
10.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,AB=BC=2,M.为CC₁的中点,A₁C⊥平面MBD,则A₁B 与B₁C所成角的余弦值为 ( )
A.13 B.23 C.15 D.35
11.数列{an}满足: a₁=1,a₂=2, 且 λa₂ₙ₋₁,a₂ₙ,a₂ₙ₊₁ 成等差数列， λa₂ₙ,a₂ₙ₊₁,a₂ₙ₊₂ 成等比数列，有以下命题：①若λ=1，则a₃=3;②若 λ=-1,则 a₄<0;③∃λ>0, 使a₃=a₄; ④λ可取任意实数.其中正确命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.已知抛物线y²=4x上有三点M,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),M点的纵坐标为 2,y₁+y₂=-4, 且y₁,y₂<2,则△MAB面积的最大值为 ( )
A.1663 B.1669 C.3239 D.3233
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知f(x)= ax+ lnx 的一条切线是y=x,则实数a= .
14.已知一个球的表面上有四点A，B，C，D， BD=23,∠BAD=60∘,∠BCD=90∘平面ABD⊥平面BCD,则该球的表面积为 .
15.已知数列{an}满足 a1+3a2+⋯+2n-1an=13-12n+3,n∈N* 则 a1+a2+⋯+ aₙ=_______________ .
16.已知双曲线 x2-y25=1 的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M位于双曲线的右支上，F₁M交左支于点N,△MNF₂的内切圆I的半径为1,I与NF₂,MN分别切于点P,R,则cs∠RNP= .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a , b,c,tanB+tanC=3csAcsBcsC.
(1)求A;
(2)若 a=6,求b+c的取值范围.
18.(12分)
为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，在国家产业扶贫政策的大力支持下，某贫困村利用当地自然条件，在南、北两山上种植苹果，现已开始大量结果，苹果成熟时，将苹果分为“一级”“二级”“三级”，价格从高到低，有一水果商人要收购这里的苹果，收购前，将南山和北山上的苹果各随机摘取了200千克，按等级分开后得到的数据为：南山上的“一级”苹果40千克，“二级”苹果150千克；南、北山上的“三级”苹果共40千克；北山上的“一级”苹果50千克.(假设两山上的苹果总产量相同，以样本的频率估计概率)
(1)若种植苹果的成本为5元/千克，苹果收购价格如下表：
①分别计算南山和北山各随机摘取的200千克苹果的平均利润；
②若按个数计算，“一级”苹果平均每千克有3个，“二级”苹果平均每千克有4个，“三级”苹果平均每千克有6个，以此计算该村南山上的200千克苹果的个数，并按各等级苹果个数以分层抽样的方式从中抽取13个苹果，分别放在13个外形完全一样的包装内，水果商人在这13个苹果中随机取2个，求恰有1个“三级”苹果的概率.
(2)判断能否有99%的把握认为“三级”苹果的多少与南、北山有关.
附 :K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d.
19.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中, AB=BC=212,AD=CD=AC=23,E,F 分别为AC,CD的中点,点G在PF上，且G为三角形PCD的重心.
(1)证明:GE∥平面PBC;
(2)若PA=PC,PA⊥CD,四棱锥P-ABCD的体积为 33,，求直线GE与平面PCD所成角的正弦值.
20.(12分)
已知点 M132在椭圆 x2a2+y2b2=1ab>0) 上，A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线MA和MB的斜率之和满足： kMA+kMB=-1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为1的直线交椭圆于P，Q两点，椭圆上是否存在定点T，使直线PT和QT的斜率之和满足kPT+ kQT=0(P,Q与T均不重合)?若存在，求出T点坐标；若不存在，说明理由.
21.(12分)
已知函数 fx=ax-1+blnxa∈Rb∈R,gx=xex2.
(1)若a=1,证明:当b≥-1时,f(x)为增函数;
(2)若f(x)=g(x)有解,求 a²+b² 的最小值.
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 x=sint+14sint,y=sint+12sint t为参数且t∈(0,π)),以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，0π2且 tanα=34, 直线l的极坐标方程为 ρsin(θ+α)=m(m∈R).
(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
(2)若直线l与曲线C有公共点，求实数m的取值范围.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=|2x+3|+|x-a|(a>0)的图象如图所示,当 x=-32时,f(x)取得最小值3,g(x)=-x.
(1)求实数a的值;
(2)若g(x-t)≤f(x)恒成立,求实数t的取值范围.
2023届普通高等学校招生全国统一考试
青桐鸣大联考(高三)答案
数学(理科)
1. C 【解析】由 2x-1<5,得1≤2x<26,故M∩N={1,2,3,4}.故选C.
2. B 【解析】 z-i=i2-i=i2+i5, 则 z=-15+7i5,故 |z|=152+752=2. 故选B.
3. C 【解析】f'( x)=( x - a )( x -2) +x( x -2) +x(x-a)=3x²-(2a+4)x+2a,
f'a=3a²-2a+4⋅a+2a<0,,解得0故p是q的充要条件.故选C.
4. D【解析】a+b2≥92a+2ba+b=132+9b2a+2ab≥132+6=252, 故a+b≥522, 当且仅当 a+b=92a+2b,9b2a=2ab, a=322b=2,时取等号.故选D.
5. D 【解析】 tanα+tanβ=sinαcsα+sinβcsβ=3, 化简得sin(α+β)=3csαcsβ,故1=sin²(α+β)+cs²(α+ β)=9cs2αcs2β+25169,解得csαcsβ=413, 又 csα+β=csαcsβ-sinαsinβ=-513,则 sinαsinβ=913,故cs(α-β)=csαcsβ+sin αsinβ=1.故选D.
6. A 【解析】 f-x=e⁻ˣ-eˣ+2xsin-x=f(x),可知f(x)为偶函数,排除B;f(π)=0,排除D;易知,f(1)>0,排除C.故选A.
7. C 【解析】当n=3时,输出s=6;当n=4时,输出s=10;当n=7时,输出s=28;当n=8时,输出s=36;当n=11时,输出s=66;当n=12时,输出s=78;当n=15时,15>12,输出s=120,结束.故选C.
8. C 【解析】 OA+OA+AB+OA+AC=0,则 AO=AB+AC,MA+MA+AB+2(MA+AC)=0,1 则 4MA=-AB-2ACcircle2,
①×4+②×3得 ,12MO=AB-2AC,
∴x=112,y=-16,∴x+y=112-16=-112.故选C.
9. A 【解析 fx=sinx+π5+3cs[(x+ π5)+π3]=sinx+π5+3[12csx+π5- 32sinx+π5]= -12sinx+π5+ 32csx+π5=sinx+π5+2π3, 故最大值为1.故选A.
10. B 【解析】连接MB,MD,BD,连接A₁D,如图,
A₁B₁⊥平面BCC₁B₁,则A₁B₁⊥BM,又A₁C⊥平面MBD,则A₁C⊥BM,A₁C∩A₁B₁=A₁,则BM⊥平面A₁B₁C,则BM⊥B₁C,∠MBC=∠BB₁C,则 tan∠MBC=tan∠BB₁C,则 MC2= 2BB1, 解得 BB1=22, 由长方体的性质易知，A₁B₁∥DC,所以四边形A₁B₁CD为平行四边形,所以A₁D∥B₁C,则∠BA₁D即为所求角,在△BA₁D中, A1B=A1D=23,BD=22 故 cs∠BA1D=12+12-82×23×23=23. 故选B.
11. C 【解析】当λ=1时,a₁+a₃=2a₂,解得 a₃=3,故①正确;当λ=-1时,-a₁+a₃=2a₂, 解得a₃=5,又
-a2⋅ a4= a32=25,则 a4=-252<0, 故②正确;λa₁+a₃=4,则 a3=4-λ,λa2⋅a4=a32,则
a4=a32λa2,若 a₃=a₄,则4-λ=4-λ22λ, 解得λ=4或 λ=43,其中λ=4不合题意，故 λ=43,③正确;λ=4时,a₃=0, 此时a₂,a₃,a₄不能成 等比数列，故④错误.故选C.
12. C 【解析】由题意得 ,xM=1,则M(1,2),由 y₁+y₂=-4,得 kAB=y1-y2x1-x2=y1-y2y124-y224=4y1+y2=- 1 .
设直线AB：x=t-y，代入抛物线方程得 y²+4y-4t=0,可得Δ=16+16t>0,得t>-1.
|AB|=2|y1-y2|=2⋅16+16t= 42⋅1+t, 点M(1,2)到AB的距离为d= |3-t|2,故SMAB=12|AB|⋅d=21+t. |3-t|=21+t3-t2,
由y₁,y₂<2,得4+8-4t>0,即t<3,又t>-1,则-113. 1-1e 【解析】设切点坐标为(x₀,y₀),则满足 x0=ax0+lnx0①,f'x0=a+1x0=1, 则 ax₀=x₀-1,代入①得x₀=x₀-1+ln x ₀,解得 x₀=e, ∴a=1-1e.
14.16π【解析】设球心为O,BD的中点为M,则M 为△BCD的外心,OM⊥平面BCD,又平面ABD⊥平面BCD,故O在平面ABD内,故O为△ABD 的外心 BDsin60∘=2R=4 故 S球=4πR2=16π.
15. 16-122n+12n+3 【解析】当n≥2时,(2n- 1)an=13-12n+3-13-12n+1=12n+1- 12n+3=22n+12n+3,
∴an=22n-12n+12n+3n≥2,a1=13- 15=215,满足 an=22n-12n+12n+3,
∴an=22n-12n+12n+3,n∈N*,即 an=12⋅2n+3-2n-12n-12n+12n+3= 1212n-12n+1-12n+12n+3,
∴a1+a2+⋯+an=12[11×3-13×5+13×5- 15×7+⋯+12n-12n+1-12n+12n+3]= 16-122n+12n+3.
16.35 【解析】设内切圆与F₂M切于点Q,|MR|=| MQ | = m,| NR | = | NP | = n,| F₂P| =|F₂Q|=f,|F₁N|=t,如图，
则MF1-MF2=2a,即m+n+t-m+f=2a,化简得n+t-f=2a①,NF2-NF1=2a,即n+f-t=2a②,①+②得n=2a=2,NI平分∠RNP,则tan12∠RNP=12故 sin12∠RNP= 15, 则 cs∠RNP=1-2sin212∠RNP=35.
17.解:(1)由题意得 ,sinBcsB+sinCcsC=3csAcsBcsC,化简得 sinB+C=3csA,
即 sinA=3csA,
则 tanA=3,
解得 A=π3.
(2)由题意及正弦定理 bsinB=csinC=asinA= 22,
得 b=22sinB,c=22sinC,
则 b+c=22sinB+22sinC=22sinB+
22sin120∘-B=32sinB+6csB= 26sinB+π6,
由(1)知 ,A=π3,
0则 π3故sinB+π6∈32,1]
故b+c的取值范围是 3226.
18. 解:(1)①由题意得,南山:“一级”苹果40千克,“二级”苹果150千克,“三级”苹果200-190=10(千克)，故南山随机摘取的200千克苹果的平均利润为 12×40+8×150+1×10-5×200200=3.45 (元/千克),
北山:“一级”苹果50千克,“三级”苹果40-10=30(千克),“二级”苹果200-50-30=120(千克),故北山随机摘取的200千克苹果的平均利润为 12×50+8×120+1×30-5×200200=2.95 (元/千克).
②南山上的这200千克苹果中，“一级”苹果有3×40=120(个),“二级”苹果有4×150=600(个),
“三级”苹果有6×10=60(个),共有120+600+60=780(个),
按分层抽样的方式抽取的13个苹果中，“一级”苹果有 120780×13=2(个)，“二级”苹果有 600780×13=10(个),“三级”苹果有 60780×13=1(个),
故所求概率为 C11C121C132=213.
(2)由(1)可得以下2×2列联表:
则 K2=400×10×170-30×1902200×360×200×40=1009>11>
6.635,故有99%的把握认为“三级”苹果的多少与南、北山有关.
19.解:(1)证明:连接BD,因为AB=BC,AD=CD,所以AC⊥BD,且BD∩AC=E,
由. AD=CD=AC=23,
得 AE=3,DE=3,
则 BE=AB2-AE2=32,所以DE=2BE.
连接DG并延长交PC于点M，如图，
因为G为△PCD的重心,
所以DG=2GM.
连接BM，因为 DEBE=DGGM,所以EG∥BM.
又EG⊄平面PBC,BM⊂平面PBC,故GE∥平面PBC.
(2)连接PE,因为PA=PC,所以AC⊥PE.
又AC⊥BD,BD,PE⊂平面PBD,BD∩PE=E,所以AC⊥平面PBD.
连接AF交DE于点Q,则EQ=13DE=1,AF⊥CD.
又PA⊥CD,PA,AF⊂平面PAF,PA∩AF=A,所以CD⊥平面PAF.
连接PQ,PQ⊂平面PAF,则CD⊥PQ,因为AC⊥平面PBD,PQ⊂平面PBD,所以AC⊥PQ,
因为AC∩CD=C,所以PQ⊥平面ABCD.
易得四边形ABCD的面积为12AC×BE+12AC× DE=932,
由四棱锥P-ABCD的体积为 33得 ,13×932× PQ=33,所以PQ=2.
以E为坐标原点，以EC，ED所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系E-xyz，
则E(0,0,0 ),B0-320,C300,D(0,3, 0),P012,CD=-330,PD=02-2.
设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),
则 m⋅CD=0m⋅PD=0, 即 -3x+3y=0,2y-2z=0,
取 x=3, 可得m=311,
由(1)可知,M为PC的中点,则 M32121, 所以 BM=3221.
由(1)知,EG∥BM,
所以直线GE与平面PCD所成的角等于直线BM 与平面PCD所成的角，设为θ，
所以sinθ=|csmBM|=|m⋅BM||m||BM|= 925×234=9115115,
故直线GE与平面PCD所成角的正弦值为 9115115.
20.解 1kMA+kMB=32-01+a+32-01-a=-1,
解得 a²=4,
将 132代入椭圆方程 x24+y2b2=1, 得 b²=3,
故椭圆的标准方程为 x24+y23=1.
(2)假设存在定点T,则设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),T(x₀,y₀),直线PQ的方程为y=x+t,
由题意得 y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=0, 将 y₁ = x₁ + t,y₂=x₂+t 代入整理得 2x₁x₂+( t-x ₀-y₀)(x₁+x₂) -2x₀( t-y₀) =0( * ) ,
联立 x24+y23=1,y=x+t, 整理得 7x²+8tx+4t²- 12=0,则 x1+x2=-8t7,x1x2=4t2-127,
代入(*)式整理得 87y0-67x0t+2x0y0- 247=0,
解得 x0=477,y0=377,x0=-477,y0=-377,
代入验证得 477377,-477-377都在椭圆上，
故存在定点T，使 kPT+kQT=0,
点T的坐标为 477377或 -477-377.等级
“一级”
“二级”
“三级”
价格（元／千克）
12
8
1
P(K²≥k₀)
0.1
0.05
0.01
0.005
k₀
2.706
3.841
6.635
7.879
“三级”苹果
“一级”和“二级”苹果
合计
南山
10
190
200
北山
30
170
200
合计
40
360
400
21.解:(1)当a=1时, fx=x-1+blnx,易知f(x)的定义域为[1,+∞),
则当b≥-1时. f'x=12x-1+b2xlnx≥ 12x-1-12xlnx,
令h( x)=x²ln x-x+1( x>1) ,
则 h'x=2xlnx+x-1,易知h'(x)在(1,+∞)
上为增函数,h(1)=0,故h'x>0,
故h(x)在(1,+∞)上为增函数,
故h(x)>h(1)=0,故x²ln x>x-1, 则 12x-1- 12xlnx>0,则原命题得证.
(2)设f(x)=g(x)的解为x₀(x₀>1),
则 ax0-1+blnx0=x0ex02,
对∀a,b,c,d∈R,(a²+b²)(c²+d²)-(ac+bd)²=(ad-bc)²≥0,
故(a²+b²)(c²+d²)≥( ac+bd)²,
当且仅当ad=bc时取等号，
故 a2+b2x0-12+lnx02≥ ax0-1+blnx02=x0ex0,
所以 a2+b2≥x0ex0x0+lnx0-1=ex0+lnx0x0+lnx0-1.
令 x ₀+ln x₀=t,则t>1.
设 pt=ett-1,
则 p't=ett-2t-12,
当t=2时, p't=0;
当1当t>2时, p't>0,,则p(t)在(2,+∞)上单调递增.
则 ptₘᵢₙ=p2=e²,
即 a²+b² 的最小值为e².
22.解:(1)由 α∈0π2且 tanα=34,
得 sinα=35,csα=45,
∴ρsin( θ+α)=m,即 45ρsinθ+35ρcsθ=m,
∴直线l的直角坐标方程为3x+4y-5m=0;由t∈(0,π)得sin t∈(0,1],
则 y=sint+12sint∈2+∞,
又 y2=sint+12sint2=(sint+14sint+1)=x+1,
∴曲线C的普通方程为y2=x+1,y∈2+∞.
(2)将 x=-4y+5m3代入 y²=x+1 整理得， y2=-4y+5m3+1,y∈2+∞,则m=3y2+4y-35≥3+425,
∴实数m的取值范围为 3+425+∞.
23.解:(1)因为a>0,所以 f-32=|-3+3|+ |-32-a|=3, 即 a+32=3,
解得 a=32,
故实数a的值为 32.
(2)由题意知，当 x=-32时,f(x)取得最小值3,当函数g(x-t)=t-x的图象过点 A-323时,即 t+32=3时t=32,而由图象可知 ,t≤32,
故 t∈-∞32.