重庆市潼南第一中学校、重庆市大足第一中学校2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题

这是一份重庆市潼南第一中学校、重庆市大足第一中学校2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题，共18页。试卷主要包含了 已知，，与的夹角为，则， 设向量满足，且，则的最小值为， 下列四个命题中，真命题为等内容，欢迎下载使用。
潼南一中、大足一中2024届高一下期联合考试（半期）数学试卷试卷：共4页，满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1.答题前务必将自己的姓名、班级、准考证号在答题卡上填写清楚2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.第I卷（选择题）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）.1. 已知复数(为虚数单位)，则的共轭复数为（    ）A.  B. C.  D. 【1题答案】【答案】C【解析】【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数，则的共轭复数可求．【详解】解：，的共轭复数为：．故选：C．2. 已知中，，，那么角等于（    ）A.  B. 或 C.  D. 【2题答案】【答案】D【解析】【分析】由正弦定理进行求解.【详解】由正弦定理得：，即，解得：，因为，所以所以.故选：D3. 若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，则该圆台的体积为（    ）A.  B.  C.  D. 【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据圆台的体积公式代入求解即可.【详解】由公式，可知：该圆台的体积为．故选：C4. 已知，，与的夹角为，则（    ）A.  B.  C.  D. 【4题答案】【答案】B【解析】【分析】根据数量积的定义求出，再根据及向量数量积的运算律计算可得；【详解】解：因为，，与的夹角为，所以，所以故选：B5. 设向量满足，且，则的最小值为（    ）A.  B. 2 C. 4 D. 1【5题答案】【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示得到，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为且，所以，即，因为、，所以，当且仅当，即时取等号；故选：B6. 如图，已知中，为边上靠近点的三等分点，连接，为线段的中点，若，则(    )A.  B.  C.  D. 【6题答案】【答案】A【解析】【分析】根据几何关系，利用向量线性运算方法用表示出，从而可得m、n的取值．【详解】依题意得，，故，所以故．故选：A﹒7. 已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则球心到平面的距离为（    ）A.  B. 3 C. 2 D. 【7题答案】【答案】C【解析】【分析】画出图形，利用已知条件求三角形的外接圆的半径，然后求解即可.【详解】由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得，∴，可得：，球表面积为，设外接球的半径为,所以，解得，所以到平面的距离为：.故选：C.8. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B－sin A)，则当角C取得最大值时，B＝（    ）A.  B.  C.  D. 【8题答案】【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理与基本不等式求得的最大值，再通过三角形的形状，即可求得此时对应的.【详解】由正弦定理得2c2＝(a＋b)(b－a)，即b2－a2＝2c2．又cos C＝＝≥＝.当且仅当3a2＝b2，即b＝a时，cos C取到最小值，从而角C取到最大值.当b＝a时，3a2－a2＝2c2，则a＝c．所以A＝C＝，从而B＝π－A－C＝π．故选：.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）.9. 下列四个命题中，真命题为（    ）A. 若复数满足，则 B. 若复数满足，则C. 若复数满足，则 D. 若复数，满足，则【9题答案】【答案】AB【解析】【分析】根据复数实部和虚部特点，利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，若复数，设，其中，则，则选项A正确；对选项B，若设，其中，且，则，则选项B正确；对选项C，若，设，则，但，则选项C错误；对选项D，若复数，满足，设，，则，而，则选项D错误.故选：AB.10. 设两个非零向量与不共线，如果和共线，那么的可能取值是（    ）A. 1 B.  C. 3 D. 【10题答案】【答案】CD【解析】【分析】根据共线得到方程组，求出.【详解】与共线，所以，，从而，解得：.故选：CD11. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ）A. 若，则是钝角三角形B. 若是锐角三角形，则不等式恒成立C. 若，，，则符合条件的三角形有两个D. 若三角形为斜三角形，则【11题答案】【答案】ABD【解析】【分析】对于A，先利用正弦定理转化为边之间的关系，再利用余弦定理可判断三角形的角的大小；对于B选项由正弦函数的单调性结合三角形中角的范围可判断；对于C，由余弦定理可判断；对于D. 由正切的和角公式的变形结合三角形的内角和可判断.【详解】对于A，因为sin2A＋sin2B＜sin2C，所以由正弦定理得，所以，所以为钝角，所以三角形ABC是钝角三角形，所以A正确；B选项，∵是锐角三角形，则，又在内单调递增，∴即恒成立，B选项正确，对于C，由余弦定理得，，所以，所以符合条件的三角形ABC有一个，所以C错误；对于D，因为，所以因为，所以，所以，所以D正确，故选：ABD12. 下列结论正确的是（    ）A. 若，，，为锐角，则实数的取值范围是B. 点在所在的平面内，若，则点为的重心C. 点在所在的平面内，若，，分别表示，的面积，则D. 点在所在的平面内，满足且，则点是的外心【12题答案】【答案】BC【解析】【分析】A选项，利用向量夹角公式得到不等关系，求出的取值范围，注意两向量不共线的条件；B选项，重心的向量表达；C选项，设分别是的中点，变形得到，作出高线，得到高线之比，从而求出面积之比；D选项，利用投影向量证明出，从而得到内心.【详解】A：，，由为锐角，故且与不共线，可得:且，A错误；B：若为的中点，，则有，即共线且，可知为△的重心，B正确；C：若分别是的中点，则，，所以，故，即共线且，过作垂线，垂足分别为M，P，N，设，易知，则，所以，正确；
 D：如下图，，
 则由已知条件知：，易知为△的内心，错误；故选：BC【点睛】对于向量表达三角形的各心题目，是综合性较强的题目，要能够掌握一些常见的三角形心的表达，有助于解题，比如重心的表达：，垂心的表达：等.第II卷（非选择题）三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）.13. 复数的模为______.【13题答案】【答案】10【解析】【分析】由复数的乘法运算可得，再求模即可.【详解】，∴.故答案为：1014. 已知的三个顶点都在圆上，，且，则圆的面积为____.【14题答案】【答案】【解析】【分析】根据平面向量加法的运算法则，结合三角形外心的性质进行求解即可.【详解】设的中点为，因为,所以点与点重合，即的外接圆的圆心是边的中点，因此是以为斜边的直角三角形，因为，所以，因此圆的面积为，故答案为：15. 高为1圆锥，侧面积为，其体积为____；过顶点的截面中，面积最大值为______．【15题答案】【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】先由侧面积求出圆锥的底面半径，再求其体积，由题意得出截面为等腰三角形，设两腰间的夹角为，求出的范围，由三角形面积公式以及正弦函数的性质得出答案.【详解】设该圆锥的底面半径为，，则母线长为由得，解得则圆锥的体积由题意可知过顶点的截面都为等腰三角形，且腰长为设两腰间的夹角为，当该截面为圆锥的中轴面时，此时最大， ，即即，则截面的面积为故过顶点的截面中，面积最大值为故答案为：；16. 如图所示，等边△ABC中，已知，点M在线段BC上，且满足，N为线段AB的中点，CN与AM相交于点P，则__________.【16题答案】【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算出.【详解】以为原点建立如图所示平面直角坐标系，，，.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17. 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在横线上，并加以解答.在中，，，分别是内角，，所对的边，且______.（1）求角大小；（2）若，，求的长度.【17题答案】【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)根据正弦定理、余弦定理和三角恒等变换计算化简即可求出；(2)根据题意，结合(1)和正弦定理计算即可.【小问1详解】若选条件①，∴，即，根据余弦定理得，∴，∵，∴，，∵，∴；若选条件②，∴，∴，∵，∴，∵，∴.若选条件③，∴，∴，根据正弦定理得，∴，∵，∴.【小问2详解】由正弦定理，得所以.19. 已知复数.（1）求及；（2）若，求实数，的值.【19题答案】【答案】（1），    （2），【解析】【分析】（1）由复数的乘方运算结合加法运算可求出复数，再由模长公式求解出答案.(2) 利用复数的乘方运算结合加法运算，利用复数相等建立方程组，从而可得答案.【小问1详解】则【小问2详解】 所以 ，解得21. 已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥．（1）求它的表面积；（2）求它的体积.【21题答案】【答案】（1）；    （2）﹒【解析】【分析】(1)四棱锥表面积为四个侧面等边三角形面积和底面正方形面积之和；(2)连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高，求出SO，根据棱锥体积公式即可求解．【小问1详解】∵四棱锥的各棱长均为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形，∴它的表面积为；【小问2详解】连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高，则，故棱锥的体积．23. 在△中，角的对边分别为，已知，且，，求: （1） （2）△的面积.【23题答案】【答案】【解析】【详解】试题分析：（1）三角形中内角和等于π，故A+B=π-C，代入即，可得关于C的方程求出C；（2）∵三角形的面积S=absinC，∴只须整体求出ab即可，这在利用角C的余弦定理可知sb的值解：（1） 即 （2）由余弦定理得：考点：本试题主要考查了解三角形的正弦定理和余弦定理的综合运用．点评：（1）三角形内角和定理是解决三角形问题的有力工具，在一些三角函数的综合题中，往往起先就用这个定理；（2）三角形两个重要的定理：正余弦定理也是解决三角函数重要的工具，它们可以起到边与角之间的转化作用．24. 已知向量，，（1）求在方向上的投影向量的模长；（2）若与夹角是锐角，求实数的取值范围.【24题答案】【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据向量在方向上的投影向量的公式即可求出投影向量，进一步求解模长；（2）根据夹角为锐角，由公式得且与不能同向求出取值范围.【小问1详解】设与同向的单位向量为故在的投影向量的模； .【小问2详解】，因为与的夹角为锐角，且与不能同向，故且，所以且.26. 在△中，角，，所对的边分别为，，，已知且.（1）当，时，求，的值；（2）若角为锐角，求的取值范围.【26题答案】【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理得，结合题设列方程组求，的值；（2）由题设及余弦定理得，进而可求取值范围.【详解】（1），即，由，解得或.（2），又是锐角∴，即∴，即，整理得，故，又，∴，故.