2024高考数学一轮总复习（导与练）第十章第3节　随机事件与古典概型

第3节　随机事件与古典概型

 [选题明细表]

1.从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球,下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是(　D　)

A.“至少有1个红球”与“都是黑球”

B.“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”

C.“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”

D.“都是红球”与“都是黑球”

解析:从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球的可能的结果为1红1黑、2红、2黑,因此“至少有1个红球”包括“1红1黑、2红”与“都是黑球”对立,因此A不符合题意;“恰好有1个红球”和“恰好有1个黑球”是同一个事件,因此B不符合题意;“至少有1个黑球”包括“1红1黑、2黑”,而“至少有1个红球”包括“1红1黑、2红”,因此不是互斥事件,C不符合题意;“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件且不是对立事件,D符合题意.

2.(多选题)某篮球运动员在最近几次比赛中的投篮情况如下表:

记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是(　ABD　)

A.P(A)=0.55  B.P(B)=0.18

C.P(B+C)=0.55 D.P(C)=0.27

解析:依题意,P(A)==0.55,P(B)==0.18,显然事件A,B互斥,

P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.27,事件B,C互斥,则P(B+C)=P(B)+

P(C)=0.45,即A,B,D都正确,选项C不正确.

3.食物链亦称“营养链”,是指生态系统中各种生物为维持其本身的生命活动,必须以其他生物为食物的这种由食物联结起来的链锁关系.如图为某个生态环境中的食物链,若从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种,则这两种生物不能构成摄食关系的概率是(　A　)

A.      B.      C.     D.

解析:从鹰、麻雀、兔、田鼠以及蝗虫中任意选取两种,共有=10种选法,其中田鼠鹰,兔鹰,麻雀鹰,蝗虫麻雀共4种可构成摄食关系,不能构成摄食关系的有6种,所以概率为P==.

4.(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(　D　)

A.     B.     C.    D.

解析:从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有=21种取法,取得的2个数互质的情况有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},

{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{7,8},共14种,根据古典概型的概率公式,得这2个数互质的概率为=.

5.(2022·安徽安庆二模)人类通常有O,A,B,AB四种血型,某一血型的人可以给哪些血型的人输血,是有严格规定的.设X代表O,A,B,AB中某种血型,箭头左边表示供血者,右边表示受血者,则输血规则如下:①X→X;②O→X;③X→AB.已知我国O,A,B,AB四种血型的人数所占比例分别为41%,28%,24%,7%,在临床上,按照上述规则,若受血者为B型血,则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为(　D　)

A.0.31 B.0.48 C.0.52 D.0.65

解析:当受血者为B型血时,供血者可以为B型或O型血,所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为41%+24%=65%=0.65.

6.(多选题)豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值(一星2分,二星4分,三星6分,以此类推),以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.某影片的豆瓣评分情况如图,假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星,则下列说法正确的是(　ACD　)

A.m的值是32%

B.随机抽取100名观众,则一定有24人评价五星

C.随机抽取一名观众,其评价是三星或五星的概率约为0.56

D.若从已作评价的观众中随机抽取3人,则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥而不对立事件

解析:参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星,则24.0%+

32.9%+m+8.7%=97.6%,所以m=32%,故A正确;

随机抽取100名观众,可能有100×24.0%=24(人)评价五星,但只是估计值,B错误;

由A选项,评价是三星或五星的概率约为32%+24.0%=56%,故C正确;

根据互斥事件和对立事件的定义可知,事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥而不对立事件,故D正确.

7.已知从某班学生中任选两人参加农场劳动,选中两人都是男生的概率是,选中两人都是女生的概率是,则选中两人中恰有一人是女生的概率为　　　　. 

解析:记“选中两人都是男生”为事件A,“选中两人都是女生”为事件B,“选中两人中恰有一人是女生”为事件C,易知A,B为互斥事件,

A∪B与C为对立事件,

又P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=,所以P(C)=1-P(A∪B)=1-=.

答案:

8.甲、乙两人做下列4个游戏:

①抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,向上的点数为奇数,则甲胜,向上的点数为偶数,则乙胜.

②甲、乙在进行乒乓球比赛之前,裁判员利用抽签器来决定由谁先

发球.

③从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色,则甲胜,是黑色,则乙胜.

④同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上,则甲胜,两枚都是正面向上,则乙胜.

在上述4个游戏中,不公平的游戏序号是　                . 

解析:对于游戏①,P(点数为奇数)=P(点数为偶数)=,游戏公平;

甲、乙在进行乒乓球比赛之前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,因为利用抽签器来决定由谁先发球的可能性都是,故游戏②公平;

对于游戏③,P(牌色为红)=P(牌色为黑)=,游戏③公平;

同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上的概率为,两枚都是正面向上的概率为,

P(甲胜)≠P(乙胜),游戏④不公平.

答案:④

9.甲、乙、丙、丁四人参加4×100 m接力赛,他们跑每一棒的概率均为,则甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为　　　　. 

解析:设事件A=“甲跑第一棒”,事件B=“乙跑第四棒”,则P(A)=,

P(B)=.

记甲跑第x棒,乙跑第y棒为(x,y),则共有可能结果12种:(1,2),

(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),

(4,2),(4,3).

甲跑第一棒,乙跑第四棒只有一种结果,即(1,4),故P(A∩B)=;所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=

+-=.

答案:

10.(多选题)高一(2)班数学兴趣小组有男生和女生各3名,现从中任选2名学生去参加数学竞赛,则下列说法正确的是(　AC　)

A.恰有1名参赛学生是男生的概率为

B.至少有1名参赛学生是男生的概率为

C.至多有1名参赛学生是男生的概率为

D.2名参赛学生都是男生的概率为

解析:从6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛,共有=15种等可能的结果.恰有1名参赛学生是男生有3×3=9(种)结果,所以恰有1名是男生的概率为=,A正确;

“至少有1名参赛学生是男生”的对立事件为“2名参赛学生都是女生”,从3名女生中任选2人有3种结果,至少有1名参赛学生是男生的概率为1-=,B错误;

“2名参赛学生都是男生”的概率为=,D错误;

“至多有1名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”,因此至多有1名参赛学生是男生的概率为1-=,C正确.

11.口袋里装有1红、2白、3黄共6个除颜色外完全相同的小球,从中取出2球,事件A=“取出的2球同色”,事件B=“取出的2球中至少有1个黄球”,事件C=“取出的2球至少有1个白球”,事件D=“取出的2球不同色”,事件E=“取出的2球中至多有1个白球”.下列选项正确的是(　C　)

A.P(A+B)=P(A)+P(B)

B.P(C)+P(D)=1

C.P(C∪E)=1

D.P(B)=P(C)

解析:依题意P(A)==,P(B)=1-=,P(A)+P(B)=>1,而

P(A+B)≤1,A不正确;P(C)=1-=,P(D)=1-P(A)=,P(C)+P(D)>1,B不正确;事件C是含有1个白球与含有2个白球的两个互斥事件的和,事件E是含有1个白球与没有白球的两个互斥事件的和,事件C∪E是必然事件,因此P(C∪E)=1,C正确;因为P(B)=,P(C)=,所以P(B)≠P(C),即D不正确.

12.将编号为1,2,3,4,5的小球放入编号为1,2,3,4,5的小盒中,每个小盒放一个小球,则恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为(　A　)

A.     B.    C.   D.

解析:由题意得任意放球共有=120种方法,先从5个小球里选一个编号与所在的盒子相同,有=5种选法;假设选的是1号球,则再对后面的2,3,4,5进行排列,且4个小球的编号与盒子的编号一个都不相同,假设2号盒子里放3号球,则有(3,2,5,4),(3,5,2,4),(3,4,5,2)3种,所以后面的小球的排列共有3×3=9(种)方法.所以恰有一个小球与所在盒子编号相同共有5×9=45(种)方法.由古典概型的概率公式得恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为P==.

13.保险柜的密码由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的四个数字组成,假设一个人记不清自己的保险柜密码,只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列,则最多输入2次就能开锁的概率是　　　　. 

解析:密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有(1,3,5,7),

(1,3,5,9),(1,3,7,9),(1,5,7,9),(3,5,7,9),共5个,它们等可能.设“最多输入2次就能开锁”为事件A,它是输入1次能开锁的事件A1和第2次输入才能开锁的事件A2的和,它们互斥,且P(A1)=,P(A2)=,则P(A)=P(A1)+P(A2)=,故最多输入2次就能开锁的概率是.

答案:

14.(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为　　　　. 

解析:从正方体的8个顶点中任选4个,取法有=70种.其中4个点共面有以下两种情况:

①所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点,如图1,有6种取法;

②所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点,如图2,也有6种取法.

所以所取的4个点在同一个平面的概率P==.

答案:

15.目前,某地医疗机构日常核酸检测主要分为10合1样本混检和单样本检测.10合1样本混检是指:先将10个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这10个人都没有感染某病毒,则检测结果为阴性,得到每人的检测结果都为阴性,检测结束;如果这10个人中有人感染某病毒,则检测结果为阳性,此时需对每人再进行1次单独检测,得到每人的检测结果,检测结束.某社区有3 000人,若该病毒的感染率为

p(0≤p≤1),为了获得社区每个人的核酸检测结果,可以选择对所有人都进行单样本检测,也可以选择对所有人都进行10合1样本混检.已知10合1样本混检时每个样本检测费用为5.9元,单样本检测时每个样本检测费用为24.9元.当p∈　　　　时,选择单样本检测总费用更低.(写出一个符合条件的集合即可) 

解析:若选择单样本检测,则检测总费用为24.9×3 000=74 700元,若采用10合1样本混检,可将社区人员分为300组.

因为该病毒的感染率为p(0≤p≤1),所以有300p组感染该病毒.

所以此时检测总费用为

5.9×300+24.9×300p×10=(1 770+74 700p)元.

令1 770+74 700p>74 700,

解得p>≈0.976.

所以当p∈[0.98,1]时,选择单样本检测的总费用更低.

答案:[0.98,1](答案不唯一)