2024高考数学一轮总复习（导与练）第五章第1节　数列的概念

第五章　数列(选择性必修第二册)

第1节　数列的概念

[选题明细表]

1.若数列的前4项分别是,-,,-,则此数列的一个通项公式为(　A　)

A. B.

C.  D.

2.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an=n2-2n,则下列各数中,是数列{an}中的项的是(　ABD　)

A.0 B.8 C.16  D.24

解析:对于A,若n2-2n=0,解得n=2或n=0(舍去);

对于B,若n2-2n=8,解得n=4或n=-2(舍去);

对于C,若n2-2n=16,无正整数解;

对于D,若n2-2n=24,解得n=6或n=-4(舍去).

3.已知数列{an}是递增数列,且其通项公式为an=n2+λn,则实数λ的取值范围是(　D　)

A.(-,+∞) B.[0,+∞)

C.[-2,+∞) D.(-3,+∞)

解析:由题意an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-(n2+λn)=2n+1+λ>0,

所以λ>-2n-1.因为n∈N*,所以λ>-3.

4.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+),则an等于(　A　)

A.2+ln n  B.2+(n-1)ln n

C.2+nln n D.1+n+ln n

解析:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1

=ln+ln+…+ln+2

=ln(··…·)+2

=ln n+2(n≥2),

当n=1时,a1=2也符合上式.

综上,an=ln n+2.

5.已知数列{an}满足a1a2a3…an=n2,其中n=1,2,3,…,则数列{an}

(　A　)

A.有最大项,有最小项

B.有最大项,无最小项

C.无最大项,有最小项

D.无最大项,无最小项

解析:a1=1,当n≥2时,

an===(1+)2>a1,随着n的逐渐增大,趋向于0,所以数列{an}先增后减并逐渐趋向于1,故最大项为a2=4,最小项为a1=1.

6.已知数列{an}满足a1=3,anan+1+2=2an,则a2 022的值为　　　　. 

解析:由题意,得an≠0,则an+1=2-,而a1=3,

所以a2=,a3=,a4=-2,a5=3,….

故{an}是周期为4的数列,

所以a2 022=a4×505+2=a2=.

答案:

7.设Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=3an+2,则{an}的通项公式为an=　　　　　　. 

解析:当n=1时,S1=3a1+2,a1=-1,

当n≥2时,Sn=3an+2,①

Sn-1=3an-1+2,②

①-②得an=an-1,

所以an=-()n-1.

答案:-()n-1

8.无穷数列{an}的前n项和记为Sn.若{an}是递增数列,而{Sn}是递减数列,写出数列{an}的一个通项公式　　　　　　. 

解析:因为{Sn}是递减数列,可以考虑an<0,而{an}是递增数列,可以构造an=-(答案不唯一).

答案:an=-(答案不唯一)

9.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·4n-2,数列{bn}的前n项和为n(n+1),n∈N*,求数列{an},{bn}的通项公式.

解:由题可知,当n≥2时,

an=(an-an-1)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

=3(4n-1+4n-2+…+4)-2(n-1)+2

=3×-2n+4=4n-2n,

当n=1时,a1=2符合上式,

所以an=4n-2n.

当n≥2时,bn=n(n+1)-(n-1)n=2n,

当n=1时,b1=2符合上式,

所以bn=2n.

10.已知数列{an}的通项公式为an=n2-11n+,a5是数列{an}的最小项,则实数a的取值范围是(　D　)

A.[-40,-25] B.[-40,0]

C.[-25,25] D.[-25,0]

解析:由条件得对任意的n∈N*,有an≥a5恒成立,

即n2-11n+≥-30,

整理得(n-5)(n-6)≥.

当n≤4时,不等式化简为a≥5n(n-6)恒成立,

当n=1时,5n(n-6)取得最大值-25,

所以a≥-25.

当n≥6时,不等式化简为a≤5n(n-6)恒成立,所以a≤0.

综上,实数a的取值范围是[-25,0].

11.(多选题)设a,b∈R,无穷数列{an}满足:a1=a,an+1=-+ban-1,n∈N*,则下列说法正确的是(　ABC　)

A.b=1时,对任意实数a,数列{an}单调递减

B.b=-1时,存在实数a,使得数列{an}为常数列

C.b=-4时,存在实数a,使得{an}不是单调数列

D.b=0时,对任意实数a,都有a2 020>-22 018

解析:当b=1时,an+1=-+an-1,an+1-an=--1<0,

则对任意实数a,数列{an}单调递减,故A正确.

当b=-1时,an+1=--an-1,an+1-an=--an-1-an=-(an+1)2≤0,

存在实数a=-1,使得数列{an}为常数列,故B正确.

当b=-4时,an+1=--4an-1,取a=-3,可得{an}不是单调数列,故C正确.

当b=0时,an+1=--1≤-2an,取a1=a=1,

则a2≤-2,a3≥22,a4≤-23,a5≥24,a6≤-25,…,a2 020≤-22 019.故D错误.

12.已知数列{an}满足=2,a1=20,则的最小值为(　C　)

A.4  B.4-1

C.8    D.9

解析:由an+1-an=2n知a2-a1=2×1,a3-a2=2×2,…,an-an-1=2(n-1),n≥2,

以上各式相加得an-a1=n2-n,n≥2,

所以an=n2-n+20,n≥2,

当n=1时,a1=20符合上式,

所以=n+-1,n∈N*,

所以当n≤4时,单调递减,当n≥5时,单调递增,因为=,

所以的最小值为==8.

13.在数列{an}中,a1=2,(n2+1)an+1=2(n2-2n+2)an,求数列{an}的通项

公式.

解:由已知=,

所以当n≥2时,

an=··…···a1=··…··

·2=,

当n=1时,a1=2也满足上式,

所以an=.

14.已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记bn=3n-λ,若数列{bn}为递增数列,求实数λ的取值范围.

解:(1)因为2Sn=(n+1)an,

所以2Sn+1=(n+2)an+1,

所以2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,

即nan+1=(n+1)an,所以=,

所以==…==1,所以an=n.

(2)由(1)得,bn=3n-λn2.

bn+1-bn=3n+1-λ(n+1)2-(3n-λn2)=2·3n-λ(2n+1).

因为数列{bn}为递增数列,

所以2·3n-λ(2n+1)>0,即λ<.

令cn=,

则=·=>1.

所以数列{cn}为递增数列,所以λ<c1=2,

即实数λ的取值范围为(-∞,2).

15.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1+Sn=(n∈N*),若a10<a11,则Sn取最小值时n的值为(　A　)

A.10  B.9  C.11   D.12

解析:因为Sn+1+Sn=(n∈N*),

所以Sn+Sn-1=(n≥2且n∈N*),

两式作差得an+1+an=n-10(n≥2且n∈N*).

当n=10时,a11+a10=0,又a10<a11,所以a10<0<a11,所以S11>S10且S9>S10,

又S12-S10=a11+a12=11-10=1>0,即S12>S10,因此n=10时,Sn取最小值.