甘肃省酒泉市2023届高三三模文科数学试题

甘肃省酒泉市2023届高三三模文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数满足（为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

3．点在圆上，点，则的最大值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

4．某示范农场的鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年的经验，鱼苗的成活率为90%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼2.3kg；第二网捞出30条，称得平均每条鱼2.5kg；第三网捞出30条，称得平均每条鱼2.4kg，则估计鱼塘中鱼的总质量为（    ）

A．215100kg B．214800kg C．216000kg D．216250kg

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

6．设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为是上一点．若，则（    ）

A． B．5 C． D．

7．我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系．声音的强度常用（单位：瓦/米2，即）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用（单位：分贝）表示，它们满足换算公式：（，其中是人们平均能听到的声音的最小强度）．若某小区内公共场所因施工声音的强度水平升高了20分贝，则声音的强度应变为原来的（    ）

A．5倍 B．100倍 C．10倍 D．20倍

8．在中内角的对边分别为，若，则的形状为（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

9．函数部分图象如图所示，则（    ）

A． B． C． D．1

10．设函数，若实数a，b满足，则（    ）

A． B． C． D．

11．如图，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，是底面上（含边界）一动点，满足，则线段长度的最小值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

12．已知函数是定义在上的偶函数且，当时，，若，则（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．若函数的最小值为，则__________．

14．已知是平行四边形对角线上的一点，且，其中，写出满足条件的与的一组的值__________．

15．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心，某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班由4名男生，2名女生组成宣传小组，现从这6名同学中选派2人到某小区进行宣传活动，则这2人中至少有1名女生的概率为__________．

16．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，设该双曲线的方程为，右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为__________．

三、解答题

17．某校随机抽出30名女教师和20名男教师参加学校组织的“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利75周年”知识竞赛（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，50~80分之间的为非优秀，统计并得到如下列联表：

(1)男､女教师中成绩为优秀的频率分别是多少？

(2)判断是否有99%的把握认为这次竞赛成绩是否优秀与性别有关？

附：，其中．

18．已知等差数列的前项和为，首项．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

19．如图，在三棱锥中，底面．点分别为棱，的中点，是线段的中点，．

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积．

20．已知椭圆的离心率为，点是上一点．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线与椭圆相交于不同的两点，点为椭圆的下顶点，是否存在实数，使得？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．

21．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)已知点是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最小值．

23．已知．

(1)若，求的取值范围；

(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围．

参考答案：

1．D

【分析】解不等式求出集合，再由交集的定义即可得出答案.

【详解】．

故选：D．

2．B

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可.

【详解】因为，

所以．

故选：B

3．D

【分析】可判断在圆外，则，计算即可．

【详解】圆的圆心，半径为，

由于在圆外，

．

故选：D.

4．A

【分析】根据题目中的数据算出平均每条鱼的质量，然后可算出答案.

【详解】平均每条鱼的质量为，

所以估计鱼塘中鱼的总质量约为．

故选：A.

5．A

【分析】由题意知，该几何体是一个半圆锥，其底面半径为1，高为1，计算体积即可.

【详解】由题意知，该几何体是一个半圆锥，其底面半径为1，高为1，

则该几何体的体积为．

故选：A.

6．A

【分析】确定抛物线焦点，设，根据，得到坐标，再计算两点间距离得到答案.

【详解】设，抛物线的焦点为，

因为，由抛物线的定义得，解得，所以，

又，所以．

故选：A

7．B

【分析】设该小区内公共场所声音的强度水平为，相应声音的强度为，由题意得，代入求解即可．

【详解】设该小区内公共场所声音的强度水平为，相应声音的强度为，

由题意，得，即，

则，解得．

故选：B．

8．D

【分析】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得，即可判断的形状．

【详解】由正弦定理，余弦定理及得，

，即，

则，即

或为等腰三角形或直角三角形．

故选：D.

9．C

【分析】由图象可得，求出，五点法求，进而写出解析式，即可求.

【详解】由图象可知取，故最小正周期，

所以，所以，

由及图象单调性知，

，又，则，所以，

则．

故选：C.

10．B

【分析】分别对求导，利用单调性和特殊点函数值的正负来判断的范围可得答案.

【详解】，令，得；，得，

∴当时，函数单调递增，且，

当时，函数单调递减，且，∴；

，令，得；令，得，

∴当函数单调递增，

当时，函数单调递减，又，∴，

∴．

故选：B.

11．D

【分析】连接，可知，可得平面，进而证得平面，从而可知在线段上，从而得到答案.

【详解】如图所示：连接，

因为是棱的中点，则，

又，可知，

又，故，

又，平面，

故平面，平面，故，

平面，平面，则，

又，平面，故平面，

又平面，过一点作平面的垂线有且只有一条，

故在线段上，故线段长度的最小值为．

故选：D.

12．C

【分析】根据偶函数的性质，结合已知等式可以判断出函数的周期，再结合函数的单调性进行判断即可.

【详解】由得，，

而函数是偶函数，所以有，

所以，

所以的周期为4，

则，

．

当时，，

因为在上均为增函数，

所以在上为增函数，又，

所以，

即，

故选：C

【点睛】关键点睛：根据已知等式，结合偶函数的性质判断出函数的周期是解题的关键.

13．/

【分析】根据三角恒等变换化简整理得，结合正弦函数求最值.

【详解】∵，

∴函数的最小值为，

此时，即.

故答案为：.

14．（答案不唯一，满足或即可）

【分析】若在上可得，若在上，根据共线定理的推论得到，填写符合题意的答案即可.

【详解】因为，若在上，则，又，所以，

若在上，即、、三点共线，又，则．

故答案为：（答案不唯一，满足或即可）

15．/0.6

【分析】记4名男生为，2名女生为，列出从6名中选2人，及其中至少有1名女生的情形，用古典概型公式求得结果.

【详解】记4名男生为，2名女生为，

从6名中选2人，有，共15种，

其中至少有1名女生的有，共9种，

这2人中至少有1名女生的概率为．

故答案为：.

16．/

【分析】设，则，由双曲线的定义可得，由题意可知四边形为矩形，在中，由勾股定理解得，在中，由勾股定理可求得离心率.

【详解】如图所示，设双曲线的左焦点为点，连接，设，则，

由双曲线的定义可得，

由于，则,又，则四边形为矩形，

在中，由勾股定理得，即，

解得，

在中，由勾股定理得，即，

．

故答案为：.

17．(1)男教师中成绩为优秀的频率是，女教师中成绩为优秀的频率是

(2)没有的把握认为这次竞赛成绩是否优秀与性别有关

【分析】（1）根据题中数据求相应的频率；

（2）根据题中数据和公式计算，并与临界值对比分析.

【详解】（1）由题意可得：男教师中成绩为优秀的频率是，女教师中成绩为优秀的频率是．

（2），

故没有的把握认为这次竞赛成绩是否优秀与性别有关．

18．(1)

(2)

【分析】（1）根据条件结合等差数列的通项公式及前项和公式，求出公差，即可得出答案；

（2），然后利用分组求和法求出答案即可.

【详解】（1）设的公差为，

，

，

即，

，

．

（2）因为，

数列是首项为3，公比为3的等比数列，数列是首项为3，公差为3的等差数列，

所以．

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用三角形中位线性质、平行公理得到，然后利用线面平行的判定定理证明；（2）利用线面垂直判定定理可得平面，进而得到底面，利用中位线定理得到到底面的距离，利用体积转化法计算体积.

【详解】（1）证明：分别是中点，，

同理，

又平面平面，

平面．

（2）解：底面平面，

平面，

平面，

分别为中点，，

平面，点到平面的距离为，

，

即三棱锥的体积为．

20．(1)

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）根据已知条件列出的方程，求解即可；

（2）假设存在，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可求弦MN中点，根据知，利用垂直直线斜率之间的关系可求出，结合直线与椭圆相交的条件，可得结论．

【详解】（1）点是上一点，，

又，则，

，

椭圆的方程为；

（2）由，得,

,

设，则

设的中点为，则，

因为，所以，所以，

而，，

所以，解得，与矛盾，

不存在实数，使得．

21．(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可得出结果；

（2）求出，可得，化简，构造函数，利用单调性即可求得答案.

【详解】（1），

曲线在点处的切线方程为，即.

（2），

则函数的定义域为，

若函数有两个极值点，且．

则方程的判别式，且，

．

．

设，

则在上恒成立．

故在单调递减，从而．

因此，的取值范围是．

22．(1)

(2)

【分析】（1）消去参数，即可到曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，再将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；

（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，再求点到直线的距离的最小值．

【详解】（1）由，可得，

将两式平方相加可得，，

所以的普通方程为，即

所以曲线以为圆心，半径为2的圆，

由，，

可得可化为，

所以曲线的极坐标为．

（2）直线的极坐标方程为，

直线的普通方程为，

因为圆的半径为2，且圆心到直线的距离，

因为，所以圆与直线相离，

所以圆上的点到直线的距离的最小值为．

23．(1)或

(2)

【分析】（1）由可得，分类讨论，，三种情况，将原不等式转化为不含绝对值的不等式求解即可；

（2）根据题意得到，从而得到关于的二次不等式，再由一元二次不等式解法，即可求出结果.

【详解】（1）由可得，

当时，原不等式可化为，解得；

当时，原不等式可化为，显然不成立；

当时，原不等式可化为，解得；

所以的取值范围为或；

（2）因为，当且仅当时等号成立，

所以由不等式的解集为，可得，解得．

故实数的取值范围是．