2023年吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县九年级下学期一模数学试卷（含答案）

这是一份2023年吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县九年级下学期一模数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省松原市前郭县中考数学一模试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．﹣4的倒数（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．﹣
2．下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣ B．k≤﹣ C．k＞﹣ D．k≥﹣
4．如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
5．化简（﹣a）3•（﹣b）的结果是（　　）
A．﹣3ab B．3ab C．﹣a3b D．a3b
6．关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．分解因式：a2﹣9b2＝　 　．
8．关于x的方程的解是 　 　．
9．不等式2x﹣12＜0的解集是 　 　．
10．点A（x1，y1），B（x2，y2）在一次函数y＝（a﹣2）x+1的图象上，当x1＞x2时，y1＜y2，则a的取值范围是 　 　．
11．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为　 　．
12．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，示例：即4+3＝7．请用含x的代数式表示y＝　 　．

13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 　 　．

14．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 　 　米．

三、解答题（每小题5分，共20分）
15．计算：．
16．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：CE＝CF．

17．九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球记下标号后放回搅匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率，请用画树状图或列表法的方法求中奖的概率．
18．如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，连接AP交⊙O于点C，点D在⊙O上，∠CDB＝45°，求证：AB＝BP．

四、解答题（每小题7分，共28分）
19．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在A处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD＝30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．

20．某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，
（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．

21．设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1），
①求函数y1，y2的表达式；
②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）．
（2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值．
22．如图，3×3正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B都在格点上，以线段AB为边，按下列要求画四边形ABCD，使得点C，D都在格点上．
（1）图①中的四边形ABCD是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）图②中的四边形ABCD是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）图③中的四边形ABCD既是中心对称图形，也是轴对称图形．

五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，MB为AB边上一动点，BN⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当M点和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．
小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到的y与x的几组对应值：
x/cm
0
0.5
1
1.5
1.8
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
4
3.96
3.79
3.47
a
2.99
2.40
1.79
1.23
0.74
0.33
0
请你通过计算，补全表格：a＝　 　；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出y关于x的函数图象；
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：　 　．

24．已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．
（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；
（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；
（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于，求线段AP的长度．

六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，P，Q两点分别从A，D同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向终点B运动；点Q沿折线D→A→C向终点C运动，在DA上的速度为每秒2个单位长度．在AC上的速度为每秒2个单位长度．在运动过程中，以AP，AQ为邻边作平行四边形APMQ．设运动时间为x秒，平行四边形APMQ和正方形ABCD重叠部分的图形面积为y．
（1）当点M在BC上时，x＝　 　；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）连接MB．当0°＜∠MBP＜90°时，直接写出tan∠MBP＝时x的值．

26．已知抛物线y＝x2+bx+c．
（1）如图①，若抛物线与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．




参考答案
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．﹣4的倒数（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．﹣
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
解：﹣4的倒数是﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先判断主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
B、主视图是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
D、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三视图，中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
3．关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣ B．k≤﹣ C．k＞﹣ D．k≥﹣
【分析】利用Δ的符号求出k的范围．
解：∵关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＜0，
∴12﹣4×2×（﹣k）＜0，
∴1+8k＜0，
∴k＜﹣．
故选A．
【点评】本题考查一元二次方程解的情况，掌握一元二次方程没有实数根的条件是求解本题的关键．
4．如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
【分析】由题意可得AC＝BC，则∠CAB＝∠CBA，由∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，可得∠CAB＝∠CBA＝15°，再结合平行线的性质可得∠1＝∠CBA＝15°．
解：由题意可得AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∵∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，
∴∠CAB＝∠CBA＝15°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠CBA＝15°．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、平行线的性质、三角形内角和定理，能根据题意得出BC＝AC是解答本题的关键．
5．化简（﹣a）3•（﹣b）的结果是（　　）
A．﹣3ab B．3ab C．﹣a3b D．a3b
【分析】先化简乘方，再根据单项式乘单项式的法则计算即可．
解：原式＝﹣a3•（﹣b）
＝a3b．
故选：D．
【点评】本题考查单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
6．关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的．
解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．分解因式：a2﹣9b2＝　（a+3b）（a﹣3b）　．
【分析】直接运用平方差公式进行解答即可．
解：原式＝（a+3b）（a﹣3b）．
故答案为：（a+3b）（a﹣3b）．
【点评】此题考查的是因式分解，准确掌握平方差公式是解决此题的关键．
8．关于x的方程的解是 　x＝1　．
【分析】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
解：，
2＝x+1，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x+1≠0，
∴x＝1是原方程的根，
故答案为：x＝1．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
9．不等式2x﹣12＜0的解集是 　x＜6　．
【分析】不等式移项，把x系数化为1，即可求出解集．
解：移项，得：2x＜12，
系数化为1，得：x＜6，
故答案为x＜6．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
10．点A（x1，y1），B（x2，y2）在一次函数y＝（a﹣2）x+1的图象上，当x1＞x2时，y1＜y2，则a的取值范围是 　a＜2　．
【分析】根据一次函数的性质，建立不等式计算即可．
解：∵当x1＞x2时，y1＜y2，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2，
故答案为：a＜2．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
11．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为　5或7　．
【分析】在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的意义，求出BD的长，再分类进行解答．
解：∵AD为BC边上的高，
∴△ABD为Rt△ABD，
在Rt△ABD中，∠ABC＝60°，AD＝6，
∴BD＝＝＝6，
如图1所示，当点D在BC上时，
BC＝BD+CD＝6+1＝7，
如图2所示，当点D在BC的延长线上时，
BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，
故答案为：7或5．

【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
12．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，示例：即4+3＝7．请用含x的代数式表示y＝　5x+3　．

【分析】根据题意，可以用含x的式子表示出y即可．
解：由图可得，m＝x+2x＝3x，n＝2x+3
∴y＝m+n
＝（x+2x）+（2x+3）
＝3x+2x+3
＝5x+3，
故答案为：5x+3．
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 　10　．

【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD．
解：∵E，F分别为BC，CA的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB，
∴AB＝2EF＝20，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，AB＝20，
∴CD＝AB＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形的中位线定理，求得AB的长是解本题的关键．
14．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 　（﹣1+）　米．

【分析】根据BE2＝AE•AB，建立方程求解即可．
解：∵BE2＝AE•AB，
设BE＝x，则AE＝（2﹣x），
∵AB＝2，
∴x2＝2（2﹣x），
即x2+2x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），
∴线段BE的长为（﹣1+）米．
故答案为：（﹣1+）．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解决本题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．计算：．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：
＝2+1﹣4×
＝3﹣2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
16．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF．求证：CE＝CF．

【分析】连接AC，由菱形的性质得∠EAC＝∠FAC，再由SAS证△ACE≌△ACF，即可得出结论．
【解答】证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS）
∴CE＝CF．

【点评】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握菱形的性质，证得△ACE≌△ACF是解题的关键．
17．九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球记下标号后放回搅匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率，请用画树状图或列表法的方法求中奖的概率．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同时的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：画树状图得：

则共有9种等可能的结果，两次摸出的小球标号相同时的情况有3种，
所以中奖的概率＝＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，连接AP交⊙O于点C，点D在⊙O上，∠CDB＝45°，求证：AB＝BP．

【分析】根据切线的性质得到AB⊥PB，根据圆周角定理得到∠CAB＝45°，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥PB，
∴∠ABP＝90°，
∵∠CDB＝45°，
∴∠CAB＝45°，
∴∠P＝∠CAB＝45°，
∴AB＝BP．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在A处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD＝30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．

【分析】设河宽为未知数，那么可利用三角函数用河宽表示出AE、EB，然后根据BE﹣AE＝60就能求得河宽．
解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，
在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x
在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，
∴x＝x+60解之得：x＝30+30≈81.96．
答：河宽约为81.96米．

【点评】此题主要考查了三角函数的概念和应用，解题关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到三角形中，利用三角函数进行解答．
20．某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，
（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．

【分析】（1）分别把甲、乙二人的三项成绩相加并比较即可；
（2）分别计算出甲、乙二人的三项成绩的加权平均数并比较即可．
解：由题意得，甲三项成绩之和为：9+5+9＝23（分），
乙三项成绩之和为：8+9+5＝22（分），
∵23＞22，
∴会录用甲；
（2）由题意得，甲三项成绩之加权平均数为：9×+5×+9×
＝3+2.5+1.5
＝7（分），
乙三项成绩之加权平均数为：8×+9×+5×
＝+4.5+
＝8（分），
∵7＜8，
∴会改变（1）的录用结果．
【点评】此题考查了数据的描述与加权平均数的应用能力，关键是能根据统计图获得实际问题中的信息，并能通过求解加权平均数对问题进行分析．
21．设函数y1＝，函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）．
（1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（1，m），点B（3，1），
①求函数y1，y2的表达式；
②当2＜x＜3时，比较y1与y2的大小（直接写出结果）．
（2）若点C（2，n）在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值．
【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；
②利用函数图象分析比较；
（2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解．
解：（1）①把点B（3，1）代入y1＝，
1＝，
解得：k1＝3，
∴函数y1的表达式为y1＝，
把点A（1，m）代入y1＝，解得m＝3，
把点A（1，3），点B（3，1）代入y2＝k2x+b，
，
解得，
∴函数y2的表达式为y2＝﹣x+4；
②如图，

当2＜x＜3时，y1＜y2；
（2）由平移，可得点D坐标为（﹣2，n﹣2），
∴﹣2（n﹣2）＝2n，
解得：n＝1，
∴n的值为1．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数，理解反比例函数和一次函数的图象性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想解题是关键．
22．如图，3×3正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B都在格点上，以线段AB为边，按下列要求画四边形ABCD，使得点C，D都在格点上．
（1）图①中的四边形ABCD是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）图②中的四边形ABCD是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）图③中的四边形ABCD既是中心对称图形，也是轴对称图形．

【分析】（1）构造等腰梯形，即可解决问题．
（2）构造平行四边形，即可解决问题．
（3）构造正方形，即可解决问题．
解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求．
（2）如图2中，四边形ABCD即为所求．
（3）如图3中，四边形ABCD即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是熟练掌握中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，MB为AB边上一动点，BN⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当M点和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．
小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到的y与x的几组对应值：
x/cm
0
0.5
1
1.5
1.8
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
y/cm
4
3.96
3.79
3.47
a
2.99
2.40
1.79
1.23
0.74
0.33
0
请你通过计算，补全表格：a＝　3.2　；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出y关于x的函数图象；
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：　y随x的增大而减小　．

【分析】（1）先求出AB边上的高，进而求出AM'，判断出点M与M'重合，即可得出答案；
（2）先描点，再连线，即可画出图象；
（3）根据图象直接得出结论．
解：（1）如图，

在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5，
过点C作CM'⊥AB于M'，
∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CM'，
∴CM'＝，
在Rt△ACM'中，根据勾股定理得，AM'＝＝1.8，
当x＝1.8时，点M与点M'重合，
∴CM⊥AB，
∵BN⊥CM，
∴点M，N重合，
∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2，
故答案为：3.2；
（2）如图所示，

（3）由图象知，y随x的增大而减小，
故答案为：y随x的增大而减小；
【点评】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积，函数图象的画法，画出函数图象是解本题的关键．
24．已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．
（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；
（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；
（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于，求线段AP的长度．

【分析】（1）由“SAS”证得△ACP≌△BCQ（SAS）可得AP＝BQ．
（2）由“SAS”证得△ACP≌△BCQ（SAS）可得AP＝BQ，所以BQ＝AP＝AC＝BC，由“等边对等角”可得∠ABP＝∠APB＝75°，则∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，所以∠CBD＝∠QBD＝45°，则BD是△BCQ的平分线，又BC＝BQ，则PB垂直平分CQ．
（3）需要分点Q在直线l上方和点Q在直线l下方两种情况讨论，设AP的长度，根据△APQ的面积等于建立等式，可求出AP的长．
解：（1）在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ．
（2）在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°；
∴BQ＝AP＝AC＝BC，
∵AP＝AC，∠CAP＝90°，
∴∠BAP＝30°，∠ABP＝∠APB＝75°，
∴∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠QBD＝45°，
∴∠CBD＝∠QBD，即BD平分∠CBQ，
∴BD⊥CQ且点D是CQ的中点，即直线PB垂直平分线段CQ．
（3）①当点Q在直线l上方时，如图所示，延长BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，

由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△APC≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，
∵∠CAB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∵AB＝AC＝4，
∴AE＝BE＝，
∴∠BEF＝60°，
设AP＝t，则BQ＝t，
∴EQ＝﹣t，
在Rt△EFQ中，QF＝EQ＝（﹣t），
∴S△APQ＝AP•QF＝，即•t（﹣t）＝，
解得t＝或t＝．即AP的长为或．
②当点Q在直线l下方时，如图所示，设BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，

由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，
∵∠CAB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∴∠BEF＝120°，∠QEF＝60°，
∵AB＝AC＝4，
∴AE＝BE＝，
设AP＝m，则BQ＝m，
∴EQ＝m﹣，
在Rt△EFQ中，QF＝EQ＝（m﹣），
∴S△APQ＝AP•QF＝，即•m•（m﹣）＝，
解得m＝（m＝负值舍去）．
综上可得，AP的长为：或或．
【点评】本题主要考查了几何知识的综合运用和几何变换，求相关线段的长度和解一元二次方程是利用代数方法解决几何问题，本题意在加强学生的图形与几何的逻辑推理以及代数几何综合能力．第（3）问中需要根据点Q的位置分类讨论，此处属于易错点．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，P，Q两点分别从A，D同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向终点B运动；点Q沿折线D→A→C向终点C运动，在DA上的速度为每秒2个单位长度．在AC上的速度为每秒2个单位长度．在运动过程中，以AP，AQ为邻边作平行四边形APMQ．设运动时间为x秒，平行四边形APMQ和正方形ABCD重叠部分的图形面积为y．
（1）当点M在BC上时，x＝　　；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）连接MB．当0°＜∠MBP＜90°时，直接写出tan∠MBP＝时x的值．

【分析】（1）如图1中，当点M落在BC上时，△PBM是等腰直角三角形，构建方程求解即可；
（2）分三种情形：如图2﹣1中，当0≤x＜1时，重叠部分是矩形APMQ，如图1中，当2≤x＜，重叠部分是四边形APMQ，如图2﹣2中，≤x≤2时，重叠部分是五边形APEFQ，分别求解，可得结论；
（3）分两种情形：如图3﹣1中，由题意tan∠MBP＝＝，如图3﹣2中，过点M作MH⊥AB于点H．由题意，tan∠MBP＝＝，分别构建方程求解即可．
解：（1）如图1中，当点M落在BC上时，△PBM是等腰直角三角形，

∴AQ＝PM＝PB，
∴2（x﹣1）＝（2﹣x），
∴x＝，
故答案为：；

（2）如图2﹣1中，当0≤x＜1时，重叠部分是矩形APMQ，y＝x•（2﹣2x）＝﹣2x2+2x．

如图1中，当1≤x＜，重叠部分是四边形APMQ，y＝x×2（x﹣1）×＝2x2﹣2x．
如图2﹣2中，≤x≤2时，重叠部分是五边形APEFQ，y＝S四边形APMQ﹣S△EFM＝2x2﹣2x﹣×（3x﹣4）2＝﹣x2+10x﹣8．

综上所述，y＝．

（3）如图3﹣1中，由题意tan∠MBP＝＝，

∵AQ＝PM＝2﹣2x，PB＝2﹣t＝x，
∴2﹣x＝2（2﹣2x），
∴x＝．
如图3﹣2中，过点M作MH⊥AB于点H．

由题意，tan∠MBP＝＝，
∵四边形APMQ是平行四边形，
∴AQ＝PM，AQ∥PM，
∴∠MPH＝∠CAB＝45°，
∵AQ＝PM＝2（x﹣1），PA＝x，
∴PH＝HM＝2（x﹣1），
∴BH＝2﹣x﹣2（x﹣1）＝4﹣3x，
∴4﹣3x＝2×2（x﹣1），
∴x＝，
综上所述，满足条件的x的值为或．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，多边形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
26．已知抛物线y＝x2+bx+c．
（1）如图①，若抛物线与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．


【分析】（1）（Ⅰ）将A，B两点坐标代入抛物线的解析式求得b，c．从而得出结果；
（Ⅱ）求出AB的解析式，设出点P坐标，表示出M点坐标，从而表示出PH和HM的长，分别列出PH＝3HM和PH＝HM时的方程，从而求得m的值，进而求得P点坐标；
（2）分为b＞0和b＜0两种情形．当b＞0时，抛物线对称轴在y轴左侧，此时求得抛物线与y轴交点，只需交点在点C的上方，就满足抛物线与线段CE没有交点，进一步求得结果，当b＜0时，类似的方法求得这种情形b的范围．
【解答】（1）解：（Ⅰ）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（Ⅱ）存在点P，使得点M是线段PH的三等分点，理由如下：
∵B（0，﹣3），A（3，0），
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），
∴PH＝﹣m2+2m+3，HM＝3﹣m，
当PH＝3HM时，
﹣m2+2m+3＝3（3﹣m），
化简得，
m2﹣5m+6＝0，
∴m1＝2，m2＝3，
当m＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴P（2，﹣3），
当m＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，
此时P（3，0）（舍去），
当PH＝HM时，
﹣m2+2m+3＝（3﹣m），
化简得，
2m2﹣7m+3＝0，
∴m3＝3（舍去），m2＝，
当m＝时，y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，
∴P（，﹣），
综上所述：P（2，﹣3）或（，﹣）；
（2）如图1，

∵抛物线y＝x2+bx+c过点D（﹣3，0），
∴（﹣3）2﹣3b+c＝0，
∴c＝3b﹣9，
∴y＝x2+bx+（3b﹣9），
把x＝﹣3，y＝0代入y＝+n得，
0＝+n，
∴n＝4，
∴OC＝4，
∵∠COD＝90°，OD＝3，OC＝4，
∴CD＝5，
∵四边形CDFE是菱形，
∴CE＝CD＝5，
∴E（5，4），
当﹣＜0时，即b＞0时，
当x＝0时，y＝3b﹣9，
∴G（0，3b﹣9），
∵该抛物线与线段CE没有交点，
∴3b﹣9＞4，
∴b＞，
当b＜0时，
当x＝5时，y＝25+5b+3b﹣9＝8b+16，
∴H（5，8b+16），
∵抛物线与CE没有交点，
∴8b+16＜4，
∴b＜﹣，
综上所述：b＞或b＜﹣．
【点评】本题考查了求二次函数的解析式，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键一是正确分类，二是数形结合．