浙江省杭州市之江高级中学2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

杭州之江高级中学2022学年第二学期

高二年级数学期中考试试题卷

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号等；

3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分（共60分）

一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项正确）

1. 假设，，且与相互独立，则（    ）

A. 0.12 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.08

【答案】D

【解析】

【分析】代入相互独立事件的概率计算公式即可求解.

【详解】由题意知，与相互独立，

则，

故选：D.

2. 若，则（    ）

A. 30 B. 20 C. 12 D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】先由组合的运算公式计算出的值，再代入中，由排列公式即可计算出结果.

【详解】若

故选：A.

3. 展开式中含项的系数为（    ）

A. 30 B. 24 C. 20 D. 15

【答案】D

【解析】

【分析】利用二项式通项求解即可.

【详解】，令，解得，

所以含项的系数为.

故选：D

4. 某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则的值（    ）

A. 0.1 B. 0.9 C. 0.45 D. 0.05

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得，根据正态分布的对称性可推得，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，所以.

又，根据正态分布的对称性可得，

所以.

故选：D.

5. 已知e为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】对函数求导，然后把代入导函数，求出曲线在点处的斜率，代点斜式求切线方程.

【详解】，当时，切线方程的斜率为，过点，故切线方程为，

故选：C

6. 若，则（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用赋值法构造关于的方程，解之即可取得的值.

【详解】令，由

可得

即

故选：C

7. 在一次抗洪救灾中，甲、乙、丙、丁4名党员被安排到A，B，C三个村，参与抗洪救灾任务，每个村至少安排1名党员，则不同的分配方案种数为（    ）

A. 12 B. 14 C. 36 D. 28

【答案】C

【解析】

【分析】先将4名党员分成2人，1人，1人三组，再分配到三个村.

【详解】4名党员分成2人，1人，1人三组的方法数为，

所以不同的分配方案种数为种.

故选：C.

8. 已知函数，且恒成立，若恰好有1个零点，则实数的范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由恒成立，可得.

注意到，则的零点为.函数零点为.后分四种情况讨论即可.

【详解】因恒成立，则，

则，又，

则的零点为，1.又函数零点为.

①当时，在上无零点，在上有零点，则符合题意；

②当时，在上有零点，在上有零点，则不合题意；

③当时，在上有零点，在上无零点，则符合题意；

④当时，在上有零点，1，在上无零点，则不合题意.

综上：.

故选：C

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 下列各式正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】根据常函数，三角函数和幂函数的导数运算，逐一排除即可．

【详解】解：对于，，选项错误；

对于，，选项错误；

对于，，选项正确；

对于，，选项正确；

故选：．

【点睛】本题考查导数的运算及基本初等函数的导数公式的应用，属于基础题．

10. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（       ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果．

【详解】随机变量服从两点分布，其中，，

，

，

在A中，，故A正确；

在B中，，故B正确；

在C中，，故C错误；

在D中，，故D错误．

故选：AB．

11. （多选）甲罐中有个红球、个白球和个黑球，乙罐中有个红球、个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件、、表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球，以事件表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是（    ）

A. 事件与事件不相互独立 B. 、、是两两互斥的事件

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用事件独立性的定义可判断A选项的正误；利用互斥事件的定义可判断B选项的正误；利用全概率公式可判断C选项的正误；利用条件概率公式可判断D选项的正误.

【详解】对于A，由题意可知，事件发生与否影响事件的发生，故事件与事件不相互独立，故A正确;

对于B，、、两两不可能同时发生，故B正确；

对于C，，故C不正确；

对于D，已知从甲罐中取出一个红球放入乙罐，这时乙罐中有个球，其中红球有个，

因此，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，故D正确.

故选：ABD.

12. 对于函数，下列说法正确的有（    ）

A. 的单调递减区间为 B. 在处取得极大值

C 有两个零点 D.

【答案】BD

【解析】

【分析】求得，得到的单调性和极值，可判定A错误，B正确；根据当时，，当时，，得到函数只有一个零点，可判定C错误；结合，利用在上单调递减，可判定D错误.

【详解】由函数的定义域为，且，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以的递增区间为，递减区间为，所以A错误；

又由当时，函数取得极大值，所以B正确；

因为当时，；当时，恒成立，

所以函数只有一个零点，所以C错误；

因为，

因为函数在上单调递减，且，所以，所以D正确.

故选：BD

非选择题部分（共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，可以组成________个四位数.

【答案】

【解析】

【分析】在已知的5个数字中任选4个作全排列即可得答案.

【详解】用1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，即任选4个数字作全排列即可，

所以个.

故答案为：

14. 函数在上的最小值是________.

【答案】

【解析】

【分析】利用导数得出单调区间计算即可.

【详解】由，令得，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，则在上的最小值是.

故答案为：.

15. 2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的概率为____．

【答案】

【解析】

【分析】根据分组分配利用排列组合计算个数，结合条件概率的计算公式即可求解.

【详解】记事件为“甲派往小区”，事件为“乙派往小区”，则

若A小区分配甲一个人，则有，若A小区分配甲以及另一个人一起，则有,故事件包含的基本事件个数为，

在甲派往小区的条件下，乙派往小区的情况为：①只有甲派往小区，只有乙派往小区，另外两个人去C小区，则有1种情况，②从丙丁中选一个人连同甲一起派往小区，只有乙派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况，③从丙丁中选一个人连同乙一起派往小区，只有甲派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况，

,

故答案为：

16 研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论：

①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；

②用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好；

③若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间的负相关很强；

④残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适．

以上正确说法的序号是______________．

【答案】①③④

【解析】

【分析】根据残差的概念可判断①④，根据相关指数的概念可判断②，根据相关系数概念可判断③.

【详解】对①，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确；

对②，相关指数越接近1拟合效果越好，错误；

对③，若变量y和x之间的相关系数非常接近1，说明负相关性很强，正确；

对④，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，正确；

综上所述说法正确的序号是①③④．

故答案为：①③④．

四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.）

17. 已知二项式展开式中共有10项．

（1）求展开式的第5项的二项式系数；

（2）求展开式中含的项．

【答案】（1）126    （2）

【解析】

【分析】（1）根据项数可求得，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可；

（2）由（1）中的，求出通项，使的幂次为4，求出含的项即可.

【小问1详解】

解：因为二项式的展开式中共有10项，所以，

所以第5项的二项式系数为；

【小问2详解】

由（1）知，记含的项为第项，

所以，

取，解得，所以，

故展开式中含的项为.

18. 已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）求函数在上的最大值和最小值.

【答案】（1）   

（2），.

【解析】

【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；

（2）求导，求出时的极值，比较极值和，之间的大小关系，最后求出函数的最大值和最小值.

【小问1详解】

，

∵函数在处取得极值，

∴，

即（经检验符合题意），

∴.

【小问2详解】

由（1）知，

则，

令，解得或；

令，解得；

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

则极大值，而，.

故函数在上的最大值和最小值分别为，

，.

19. 某中学选派20名学生观看当地举行的三场（同时进行）比赛，名额分配如下：

（1）从观看比赛的学生中任选2人，求他们恰好观看的是同一场比赛的概率；

（2）如果该中学可以再安排4名教师选择观看上述3场比赛（假设每名教师选择观看各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记观看足球比赛的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望.

【答案】（1）   

（2）分布列见详解；期望

【解析】

【分析】（1）根据题意，利用古典概型的概率计算公式即可求解；

（2）求出的可能取值，得到，然后求出每一个值对应的概率，进而计算期望即可求解.

【小问1详解】

设从观看比赛的学生种任选2人，他们恰好观看同一场比赛的事件为，

则.

【小问2详解】

的可能取值为.

由题意可知，每位老师观看足球比赛的概率均为，

则随机变量，则；

；；

；，

则随机变量的分布列为

所以.

20. 为了了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对名六年级学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

已知从这名学生中随机抽取人，抽到肥胖学生的概率为.

（1）请将上面的列联表补充完整；

（2）通过计算判断是否有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?

附：，其中.

【答案】（1）列联表答案见解析   

（2）有

【解析】

【分析】（1）计算出这名学生中，肥胖学生的人数，即可完善列联表；

（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.

【小问1详解】

解：因为从这名学生中随机抽取人，抽到肥胖学生的概率为，

所以，这名学生中，肥胖学生的人数为，完善列联表如下表所示：

小问2详解】解：，

因此，有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.

21. 我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：

并计算得

（1）求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；

（2）规定：数组（xi ，yi）满足| xi yi | < 0.1为“Ⅰ类误差”；满足0.1≤| xi yi | < 0.3为“Ⅱ类误差”；满足| xi yi |≥0.3为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望．

附：相关系数

【答案】（1）0.98，汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）根据公式求出样本相关系数，由数据判断线性相关关系的强弱；

（2）由的所有可能取值，计算相应的概率，得到分布列，再求数学期望.

【小问1详解】

因为，…

代入已知数据，

得．

所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系.

【小问2详解】

依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组．

若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，抽到“I类误差”的组数

的所有可能取值为.      

则，

，

，

.             

所以的概率分布为

所以X的数学期望.    

另解：因为，所以.

22. 已知函数.

（1）当时，求函数的图像在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.   

（3）

【解析】

【分析】（1）代入，求出，根据导数的几何意义得到切线的斜率，即可得到切线方程；

（2），对以及进行讨论，根据导函数的符号即可得到的单调区间；

（3）根据（2）的结论，可知，根据题意，应有，即.令，根据导函数即可求得实数的取值集合.

【小问1详解】

当时，，则.

根据导数的几何意义，可得函数的图像在点处的切线斜率，

又.

所以，切线方程为，整理可得.

【小问2详解】

定义域为R，.

当时，在R上恒成立，所以在R上单调递增；

当时，解，即，解得，

解，得，则在上单调递增，

解，得，则在上单调递减.

综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.

【小问3详解】

由（2）知，当时，在R上单调递增，又，所以当时，，不满足要求，所以.

则由（2）知，在时，取得最小值.

要使恒成立，则只需满足即可，即.

令，即.

.令，则.

当时，，当时，，

所以，在处取得极大值，也是最大值，所以.

又，所以，所以有.

即当时，，有成立.

所以，实数取值范围为.