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    精品解析:广东省江门市2023届高三一模数学试题
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    精品解析:广东省江门市2023届高三一模数学试题

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    江门市2023年高考模拟考试数学

    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1. 已知集合,则集合B中所有元素之和为(   

    A. 0 B. 1 C. 1 D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】根据题意列式求得的值,即可得出答案.

    【详解】根据条件分别令,解得

    ,所以

    所以集合B中所有元素之和是

    故选:C

    2. 已知i为虚数单位,复数z满足,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】写为化简即可.

    【详解】因为,所以.

    故选:B

    3. 命题“”的否定为(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.

    【详解】原命题为全称量词命题,该命题的否定为“.

    故选:D.

    4. 已知多项式,则   

    A. 960 B. 960 C. 480 D. 480

    【答案】A

    【解析】

    【分析】写为是第8项的系数,计算即可.

    【详解】解:因为,所以第8项为

    所以.

    故选:A

    5. 设非零向量满足,则方向上的投影向量为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据向量模的性质由已知可求得,则按照方向上的投影向量的定义求解即可.

    【详解】因为,所以

    ,解得

    所以方向上的投影向量为.

    故选:B.

    6. 衣柜里有灰色,白色,黑色,蓝色四双不同颜色的袜子,从中随机选4只,已知取出两只是同一双,则取出另外两只不是同一双的概率为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A,记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B,求出,根据条件概率公式求解即可.

    【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只,记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A,记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B

    事件A包含两种情况:“取出的袜子恰好有两只是同一双”,“取出的袜子恰好四只是两双”,则

    ,则

    即随机选4只,已知取出两只是同一双,则取出另外两只不是同一双的概率为

    故选:D

    7. 已知等差数列)的前n项和为,公差,则使得的最大整数n为(   

    A. 9 B. 10 C. 17 D. 18

    【答案】C

    【解析】

    【分析】根据,可得异号,根据可知,且,所以,利用等差数列的前n项和公式即可得出结果.

    【详解】解:因为,所以异号,

    因为,所以

    又有,所以,即

    所以的最大整数n17.

    故选:C

    8. 我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列,那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列)的通项公式为,记的值域,为所有的并集,则E为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】利用导数可得函数上单调递增,进而,然后构造函数,利用导数求函数的最值,进而即得.

    【详解】因为

    所以

    上单调递增,

    所以

    ,令

    ,可得,由,可得

    所以函数上单调递减,在上单调递增,

    所以

    ,则上单调递减,

    所以

    综上,.

    故选:C.

    【点睛】数学中的新定义题目解题策略:①仔细阅读,理解新定义的内涵;②根据新定义,对对应知识进行再迁移.

    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2.

    9. 已知函数,则下列说法正确的是(   

    A. 的值域为 B. 的图像关于点中心对称

    C. 的最小正周期为 D. 的增区间为

    【答案】AD

    【解析】

    【分析】根据正弦函数的性质结合绝对值的定义判断各选项.

    【详解】因为,所以A正确;

    ,但,因此的图象不可能关于点成中心对称,B错;

    的最小正周期是,所以的最小正周期是C错;

    时,,易得时,递增,时,递减,又的最小正周期是

    所以的增区间是),D正确;

    故选:AD

    10. 已知曲线,则下列说法正确的是(   

    A. 若曲线表示两条平行线,则

    B. 若曲线表示双曲线,则

    C. ,则曲线表示椭圆

    D. ,则曲线表示焦点在轴的椭圆

    【答案】BD

    【解析】

    【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围,逐项判断可得出合适的选项.

    【详解】对于A选项,若曲线表示两条平行线,则有,且.

    ,则,此时曲线的方程为,可得,合乎题意,

    ,则,此时曲线的方程为,可得,合乎题意,

    A错;

    对于B选项,若曲线表示双曲线,则

    由于,则,可得,则B对;

    对于C选项,若曲线表示椭圆,则,解得C错;

    对于D选项,若,则,则

    曲线的方程可化为

    此时,曲线表示焦点在轴上的椭圆,D.

    故选:BD.

    11. 已知函数,则下列说法正确的是(   

    A. 的图象是轴对称图形 B. 的极大值为0

    C. 的所有极值点之和为 D. 的极小值之积为

    【答案】BCD

    【解析】

    【分析】代入中化简,若,使得,等式均成立,则是轴对称图形,化简等式,建立方程解出根,即可判断A;对求导,令导函数为0,求出极值点之间关系,进而判断单调性即可判断BC,计算的极小值之积,即可判断D.

    【详解】A,若,使得,成立,

    化简可得:

    等式成立,所以有成立,解得

    故不存在这样的使得,有成立,即不是轴对称图形,

    故选项A错误;

    B,因为

    所以,可得

    因为,所以有两个不等实根记为

    由韦达定理得,所以

    时,,所以单调递减,

    时,,所以单调递增,

    时,,所以单调递减,

    时,,所以单调递增,

    所以的极大值点为,即选项B正确;

    C的所有极值点之和为:,即选项C正确;

    D,由单调性可知的极小值点为,所以

    代入有:

    故选项D正确.

    故选:BCD

    12. 勒洛Franz Reuleaux18291905),德国机械工程专家,机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析,成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的四面体,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持与两平面都接触,因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示,设正四面体的棱长为2,则下列说法正确的是(   

    A. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为

    B. 勒洛四面体被平面截得的截面面积是

    C. 勒洛四面体表面上交线的长度为

    D. 勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2

    【答案】ABD

    【解析】

    【分析】A选项:求出正四面体的外接球半径,进而得到勒洛四面体的内切球半径,得到答案;B选项,作出截面图形,求出截面面积;C选项,根据对称性得到交线所在圆的圆心和半径,求出长度;D选项,作出正四面体对棱中点连线,在C选项的基础上求出长度.

    【详解】A选项,先求解出正四面体的外接球,如图所示:

    的中点,连接,过点于点,则为等边的中心,

    外接球球心为,连接,则为外接球半径,设

    由正四面体的棱长为2,则

    由勾股定理得:,即

    解得:

    此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体,如图所示:

    图中取正四面体中心为,连接交平面于点,交于点,其中共面,其中即为正四面体外接球半径

    设勒洛四面体内切球半径为,则,故A正确;

    B选项,勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面,如图所示:

    面积为B正确;

    C选项,由对称性可知:勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点

    ,又

    由余弦定理得:

    ,且半径为,故交线的长度等于C错误;

    D选项,将正四面体对棱所在的弧中点连接,此时连线长度最大,如图所示:

    连接,交于中点,交于中点,连接,则

    则由C选项的分析知:

    所以

    故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2D正确.

    故选:ABD

    【点睛】勒洛四面体考试中经常考查,下面是一些它的性质:

    ①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大,是对棱弧中点连线,最大长度为

    ②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60°的扇形弧长之和,其圆心角为,半径为.

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20.

    13. 已知,则的值为___________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据二倍角的余弦公式,结合角的范围,即可求得结果.

    【详解】因为,所以,即

    ,所以.

    故答案为:.

    14. 椭圆是特别重要的一类圆锥曲线,是平面解析几何的核心,它集中地体现了解析几何的基本思想.而黄金椭圆是一条优美曲线,生活中许多椭圆形的物品,都是黄金椭圆,它完美绝伦,深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质:①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点,②长轴长,短轴长,焦距依次组成等比数列.根据以上信息,黄金椭圆的离心率为___________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】由①得原点到直线AB的距离,求得,由②得,求得,从而,两边同除以,又,即可解得

    【详解】设左顶点,上顶点,则直线AB的方程为

    以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点,则原点到直线AB的距离

    ,即,即,所以

    长轴长,短轴长,焦距依次组成等比数列,则,所以

    综上,,即,两边同除以,又,解得

    故答案为:

    15. 已知直线l过点,且直线l的一个方向向量为,则坐标原点O到直线l的距离d___________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】根据空间中点到直线距离公式计算即可.

    【详解】由题知,直线过点,且直线的方向向量为,点

    所以

    所以点的距离为

    故答案为:.

    16. 已知是方程两根,且,则的最大值是________

    【答案】

    【解析】

    【分析】由题意得,即,所以,构造函数(),结合函数的单调性及最值求解即可.

    【详解】由题意是方程的两根,且

    ,即

    所以()

    ()

    时,单调递增;当时,单调递减,

    则当时,取最大值

    所以的最大值是

    故答案为:

    四、解答题:共70.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17. 已知数列)满足,且.

    1求数列是通项公式;

    2求数列的前n项和.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)将换为代入中化简,根据定义即可判断为等比数列,由首项公比写出通项公式即可;

    2)由(1)中的通项公式求得,再利用乘公比错位相减得出前n项和即可.

    【小问1详解】

    解:因为,所以

    ,所以 ,所以 ,又

    所以数列是以1为首项,3为公比的等比数列,所以

    【小问2详解】

    由(1)知,,所以

    所以

    两式相减可得:

    所以 ,故.

    18. 在锐角中,角的对边分别为,且依次组成等差数列.

    1的值;

    2,求的取值范围.

    【答案】12    2

    【解析】

    【分析】1)根据成等差数列结合三角恒等变换可得,由正弦定理即可求得的值;

    2)由(1)得,根据锐角三角形结合余弦定理可得的取值范围,将转化为,令,设根据函数单调性确定函数取值范围,即得的取值范围.

    【小问1详解】

    由条件得:

    所以

    由正弦定理得:,所以.

    【小问2详解】

    ,则,角一定为锐角,又为锐角三角形,所以

    由余弦定理得:,所以

    ,解得:

    ,所以.

    ,则

    所以上递增,又

    所以的取值范围是.

    19. 某高科技公司对其产品研发年投资额x(单位:百万元)与其年销售量y(单位:千件)的数据进行统计,整理后得到如下统计表和散点图.

    x

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    y

    0.5

    1

    1.5

    3

    6

    12

    -0.7

    0

    0.4

    1.1

    1.8

    2.5

    1该公司科研团队通过分析散点图的特征后,计划分别用①和②两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型,请根据统计表的数据,确定方案①和②的经验回归方程;(注:系数badc按四舍五入保留一位小数)

    2根据下表中数据,用相关指数(不必计算,只比较大小)比较两种模型的拟合效果哪个更好,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测当研发年投资额为8百万元时,产品的年销售量是多少?

    经验回归方程

    残差平方和

    18.29

    0.65

    参考公式及数据:

    .

    【答案】1   

    230(千件)

    【解析】

    【分析】1求出,根据公式计算出得线性回归方程;求出,再求得系数,代入得非线性回归方程;

    2根据(1)回归方程分别求得相关指数比较可得,然后估算销售量即可.

    【小问1详解】

    由题可得

    所以

    方案①回归方程

    两边取对数得:,令是一元线性回归方程. 

    方案②回归方程

    【小问2详解】

    方案①相关指数

    方案②相关指数

    (有此结论即给分),

    故模型②的拟合效果更好,精度更高.

    当研发年投资额为8百万元时,产品的年销售量(千件).

    20. 如图,在四棱锥中,底面是菱形,的中点,点上,且平面.

    1的值;

    2平面,求直线与平面所成角的正弦值.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)连接交于点,求出,利用线面平行的性质可得出,由此可得出的值;

    2)以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,设点,由可得出,求出的值,利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

    【小问1详解】

    解:连接交于点

    因为底面是菱形,的中点,

    所以,且,所以.

    因为平面平面,平面平面

    所以 ,所以.

    【小问2详解】

    解:因为底面是菱形,的中点,

    因为,则

    由余弦定理可得

    所以,,所以.

    平面平面平面

    所以

    以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系.

    .

    ,则

    所以.

    因为,所以,解得.

    所以.

    为平面的法向量,则,得

    ,所以为平面的一个法向量.

    因为

    所以直线与平面所成角的正弦值是.

    21. 已知M是平面直角坐标系内的一个动点,直线与直线垂直,A为垂足且位于第一象限,直线与直线垂直,B为垂足且位于第四象限,四边形O为原点)的面积为8,动点M的轨迹为C.

    1求轨迹C的方程;

    2已知是轨迹C上一点,直线l交轨迹CPQ两点,直线的斜率之和为1,求的面积.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)设动点,由题意知,由题意,化简可得轨迹C的方程;

    2)设直线的倾斜角为,斜率为k,直线倾斜角为,则斜率为,由过点T直线与曲线C有两个交点确定的范围,由,解得,从而可得直线的方程,与曲线C的方程联立解得的坐标,求出及点Q到直线的距离,即可求出的面积.

    【小问1详解】

    设动点,由题意知M只能在直线与直线所夹的范围内活动.

    动点右侧,有,同理有

    ∵四边形的面积为8,∴,即

    所以所求轨迹C方程为).

    【小问2详解】

    如图,设直线的倾斜角为,斜率为k,直线倾斜角为,则斜率为

    曲线C上,过点T直线与曲线C有两个交点,

    ,同时,解得. 

    ,解得(舍去).

    时,直线的方程为

    联立,消y得:,则,得.

    直线的方程为

    联立,消y得:,则,得

    Q到直线的距离 

    .

    方法二:

    ,则

    .

    22. 已知函数,其中.

    1的图象在处的切线过点,求a的值;

    2证明:,其中e的值约为2.718,它是自然对数的底数;

    3时,求证:3个零点,且3个零点之积为定值.

    【答案】1   

    2证明见解析    3证明见解析

    【解析】

    【分析】1)求导,根据导数的几何意义求处的切线方程,然后由切线过点求得的值;

    2,构造函数,利用函数的单调性求证即可;

    3)令求得,可得上单调递增,递减 ,则至多有三个零点.又,所以,结合零点存在定理知:使得,又,则,所以恰有三个零点:1,从而得出结论.

    【小问1详解】

    由条件得: 

      处的切线为:

    的图象在处的切线过点

      .

    【小问2详解】

    ,则

    递减

    ,即

    递减,

    ,即

    【小问3详解】

    的定义域为:

    时,由得:

    时,时,时,

    上单调递增,递减

    至多有三个零点.

    ,∴,∴

    递减,

    ,又由(2)知,所以

    结合零点存在定理知:使得

    又∴

    ,又

    恰有三个零点:1

    时,的所有零点之积为(定值).

    【点睛】方法点睛:函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点:令,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;(2)零点存在定理:利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线,且,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)利用图象交点的个数:画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.


     

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