2023届广西南宁市高三二模数学（理）试题含解析

这是一份2023届广西南宁市高三二模数学（理）试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广西南宁市高三二模数学（理）试题一、单选题1．已知复数，则z的虚部为（    ）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】计算得到，得到答案.【详解】，虚部为.故选：C2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据根号下大于等于0求出集合，再利用交集和补集的含义即可得到答案.【详解】由题意得，解得，故，因为，故.故选：B.3．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，则下列说法中不正确的是（    ）A．支出最高值与支出最低值的比是6：1B．利润最高的月份是2月份C．第三季度平均收入为50万元D．1~2月份的支出的变化率与10~11月份的支出的变化率相同【答案】B【分析】由统计图中数据，对选项中的统计结论进行判断.【详解】支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，支出最高值与支出最低值的比是，A选项正确；2月份利润为20万元，3月份和10月份利润为30万元，利润最高的月份是3月份和10月份，B选项错误；7，8，9月份收入分别为40万元，50万元，60万元，则第三季度平均收入为50万元，C选项正确；1~2月份的支出变化率为 ，10~11月份的支出变化率为 ，故变化率相同，故选项D正确.故选：B4．已知，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据倍角公式，把题中等式转化为，解得后，再由二倍角公式计算.【详解】由得，化简得：，解得或，因为，所以...故选：B.5．一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据正视图，想象它可能是什么组合体，然后再确定俯视图的可能形状．【详解】由正视图，如果原几何体上面是一个球，下面是一个圆柱，则俯视图是A；如果原几何体上面是一个球，下面是一个正方体或底面是正方形的长方体，则俯视图是B，如果原几何体上面是一个圆柱，下面是一个长方体，则俯视图是D，只有C不可能，（如果俯视图是C，则正视图不能仅仅是长方形（或正方形），中间还应有其它虚线）．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查三视图，考查空间想象能力，解题关键是掌握基本几何体的三视图．方法：由正视图想象可能是什么组合体，再想象其俯视图的可能形状，判断各选项得出结论．6．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．.【答案】C【分析】确定函数为奇函数排除BD，计算，排除A，得到答案.【详解】，函数定义域为，，函数为奇函数，排除BD；，，故，排除A.故选：C7．现从3个男生2个女生共5人中任意选出3人参加某校高三年级的百日誓师大会，若选出的3人中，在有1人是女生的条件下，另2人是男生的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】合理设出事件，利用条件概率公式进行求解.【详解】设选出的3人中，至少有1个女生为事件，则，设选出的3人中，有1人是女生，2人是男生为事件，则，则在有1人是女生的条件下，另2人是男生的概率为故选：A8．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（   ）A．10m B．30m C． D．【答案】B【分析】先根据正弦定理求出，再根据直角三角形三角函数关系即可求解.【详解】如图，由题可知：在中，，，所以．根据正弦定理得，，所以，在中，．故选：B9．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则椭圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合椭圆双曲线的定义及焦点三角形的相关知识可得.【详解】由题意知椭圆与双曲线的共焦点，，所以，因为双曲线的离心率，所以，，所以双曲线的方程为.如图：根据双曲线的定义知由余弦定理，得，又因，得，.根据椭圆的定义知：，所以，，所以椭圆的方程为.故选：A.10．已知函数的极值点为1，且，则的极小值为（    ）A． B． C．b D．4【答案】D【分析】首先求函数的导数，根据条件，列方程组求解，再求函数的极小值.【详解】，，，所以，解得：，，所以，得，时，，，，所以是函数的极小值点，.故选：D11．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（　　）A． B． C． D．大小关系不能确定【答案】B【分析】先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得．【详解】根据题意，阴影部分的面积的一半为：，于是此点取自阴影部分的概率为．又，故．故选B．【点睛】本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题．12．设，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角函数的定义判断大小，构造函数，由导数确定单调性后比较与的大小，同理构造函数比较与的大小后可得结论．【详解】因为，所以，所以，，可得.构造函数，则，所以在R上单调递减，当时，，所以，可知，即，又，，又，所以，设函数，则，当时，，在上单调递减，则，可知，所以.综上，.故选：D．【点睛】方法点睛：比较幂、对数、三角函数值等大小的方法：（1）直接利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性比较；（2）借助中间值如0，1等等，利用函数的单调性比较；（3）构造函数，利用导数确定函数的单调性比较大小． 二、填空题13．已知向量，，且满足，则_______.【答案】4【分析】由向量垂直的坐标表示求解.【详解】由已知，又，所以，．故答案为：4.14．已知圆和直线，则与直线l平行且与圆C相切的直线方程为_______.【答案】或【分析】根据给定条件，设出所求直线方程，利用圆的切线性质结合点到直线的距离公式求解作答.【详解】圆的圆心，半径，依题意，设所求直线的方程为：，由于该直线与圆C相切，因此，解得或，所以与直线l平行且与圆C相切的直线方程为或.故答案为：或 15．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点满足，，则该“鞠”的表面积为_______.【答案】【分析】作出辅助线，找到球心的位置，利用余弦定理和勾股定理求出球的半径，得到表面积.【详解】取的中点，连接，因为，所以且，故，因为，所以，故，在上取点，使得，则点为等边的中心，则，设点为三棱锥的外接球球心，则平面，连接，设外接球半径为，则，过点作⊥，交延长线于点，则，由于在平面中，故，故平面，过点作⊥于点，则，，，，故，设，则，由勾股定理得，，故，解得，故， 故该“鞠”的表面积为.故答案为：16．已知当时，有，若对任意的都有，则______.【答案】228【分析】由得到，则可把化为，由为展开式中的系数即可求出.【详解】当时，有，所以，则，则为展开式中的系数，因为，所以.故答案为：228 三、解答题17．记为各项均为正数的等比数列的前n项和，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据条件列出等比数列基本量的方程组，即可求解；（2）由（1）可知，利用错位相减法求和.【详解】（1）设数列的首项为，公比为q，则①，因为，，成等差数列，则，即②，因为，所以由②式可得，解得或（舍），代入①式可得，（2）由得，则③，所以④③④得18．如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，面面，，，，C为的中点.(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点F，使二面角的余弦值为，若存在，求.若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【分析】（l）由线线平行或面面平行证明线面平行；（2）通过建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值，或利用几何法解决.【详解】（1）.解法一证明：取中点E，连接和.C为中点，且，且，且，四边形为平行四边形，则，面，面，面.解法二：如图所示，取的中点Q，连接，，在，C为中点，Q为中点，，平面， 平面，平面，在四边形中，，，Q为中点，，，四边形为平行四边形，，平面， 平面，平面又，平面，平面平面，由平面，平面（2）解法一：取中点O，连接，则等边中.面面，面面，面，面，面，可得.又，，面，面， 以N为坐标原点，，为x，y轴，过点垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系，，，，，，设，则，，依题意可得平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令，则，即，二面角为，则，，（舍），，则.解法二：取中点O，连接，则等边中.面面，面面，面，面，面，可得.又，，面，面取的中点E，以O为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，，，由已知是平面的一个法向量，记为，假设线段上存在点F满足已知条件，则有，且，设，有，，，，，即，，设平面的一个法向量为，则， 取，由已知得，整理得，即化简得，解得，（舍去），线段上存在点F，当时，已知条件成立，则有， ，.求平面的一个法向量的另一种解法：，平面的一个法向量可取解法三：几何法作，，，，平面，平面，平面，，为二面角的平面角,设，在中，，，在中，由得，由已知得，在直角三角形中，，，在直角三角形中，，所以在中，由,得.19．随着科技的不断发展，“智能手机”已成为人们生活中不可缺少的必需品，下表是年广西某地市手机总体出货量（单位：万部）统计表.年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x12345手机总体出货量y/万部4.94.13.93.23.5并计算求得(1)已知该市手机总体出货量y与年份代码x之间可用线性回归模型拟合，求y关于x的线性回归方程；(2)预测2023年该市手机总体出货量.附：线性回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】(1)(2)2.81万部 【分析】（1）根据公式求出，，得到线性回归方程；（2）代入，估计2023年该市手机总体出货量.【详解】（1）由题中统计表得，，，由题意得，，所以y关于x的线性回归方程为（2）由题意得2023年对应的年份代码，代入，得，所以预测2023年该市手机总体出货量为2.81万部.20．已知抛物线经过点，过点的直线l与抛物线C有两个不同交点A，B，且直线交y轴于M，直线变y轴于N.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)证明：存在定点T，使得，且.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）先求出抛物线方程，然后和直线l联立，得到关于斜率满足的条件，从而求出斜率的取值范围；（2）设出点的坐标，根据题意表示出和，最后求出定点T.【详解】（1）解法1：将代入抛物线得，.依题意可设，，直线，联立直线l与抛物线得：，则，由得且，又直线交y轴于M，直线交y轴于N，所以直线不能过及，且，综上.解法2：将代入抛物线得，.依题意可设，，直线，由得：，则解得且又直线交y轴于M，直线交y轴于N，所以直线不能过及，且，综上.（2）设点，，由，，，则可设，，，，故同理：，，直线，令得，同理，，，，又，.所以存在点满足题意.21．已知函数，其中a为常数，e为自然对数底数，…，若函数有两个极值点，.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）二次求导后，根据函数有两个极值点，即可求解；（2）设，先确定，根据，可得，即，令，，则.令，求导后根据单调性可得，从而得到化简后即可证明.【详解】（1）解法一：，令，则.因有两个极值点，，故有两个零点，若，则，单调递增，不可能有两个零点，所以，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以因为有两个零点，所以，则.又，，故实数a的取值范围为.解法二：由题意知，有两个根，即 ，设，即函数与有两个不同交点，设过点的直线与相切的切点为 ，，则有 ，解得：，此时切线斜率为：，当斜率大于时，与有两个交点，则, 故有，故实数a的取值范围为.解法三：，因力有两个极侑点 ，则有两个零点.即，转化为与有2个交点，时，.，当时，，当时，，当时，，在递减，在递增，要使与有2个交点，即故实数a的取值范围为.（2）设，因为，，则，因为，所以，，则，取对数得.令，，则.令则，在上单调递增.则，则两边约去后化简整理得，即.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22．在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C和直线l的极坐标方程；(2)点P在直线l上，射线交曲线C于点R，点Q在射线上，且满足，求点Q的轨迹的直角坐标方程.【答案】(1)曲线C的极坐标方程，直线l的极坐标方程.(2) 【分析】（1）把曲线C和直线l的参数方程化为普通方程，再利用，化为极坐标方程.（2）设点Q的极坐标为，代入，点Q的轨迹方程，化为直角坐标方程即可.【详解】（1）因为曲线（为参数），消参得曲线C的普通方程为，因为，，所以曲线C的极坐标方程为，即；因为直线（t为参数），消参得普通方程为，直线l的极坐标方程为.（2）设点Q的极坐标为，则，，代入得，即，则，所以点Q轨迹直角坐标方程为.23．已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)若，则；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）由基本不等式证明；（2）用柯西不等式证明．【详解】（1），，，，当且仅当，时取等号，，即；（2）∵a，b，c均为正数，且，由柯西不等式得，，，，当且仅当时取等号．