2023湖北省高三下学期4月第八届调研模拟考试数学含答案

第八届湖北省高三（4月）调研模拟考试

数学试卷

2023.4

本试卷共4页，22题，全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数与下列复数相等的是

A．      B．

C．          D．

2．已知集合，，且全集，则

A．   B．   C．   D．

3．城市交通信号灯的配时合理与否将直接影响城市交通情况．我国采用的是红绿交通信号灯管理方法，即“红灯停、绿灯行”．不妨设某十字路口交通信号灯的变换具有周期性．在一个周期T内交通信号灯进行着红绿交替变换（东西向红灯的同时，南北向变为绿灯；然后东西向变为绿灯，南北向变红灯）．用H表示一个周期内东西方向到达该路口等待红灯的车辆数，V表示一个周期内南北方向到达该路口等待红灯的车辆数，R表示一个周期内东西方向开红灯的时间，S表示一个周期内所有到达该路口的车辆等待时间的总和（不考虑黄灯时间及其它起步因素），则S的计算公式为

A．   B．  C． D．

4．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则

A．     B．    C．     D．

5．在△ABC中，，且点D满足，则

A．     B．     C．     D．

6．已知，则

A．    B．－1     C．     D．

7．已知动直线l的方程为，，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为

A．    B．    C．    D．

8．已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为，且的图象关于原点对称，则

A．0     B．3     C．4     D．1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．以下说法正确的有

A．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为5.5

B．经验回归直线至少经过样本点数据中的一个点

C．若，，则事件A，B相互独立

D．若随机变量，则取最大值的必要条件是

10．已知函数（其中，，T为图象的最小正周期，满足，且在恰有两个极值点，则有

A．

B．函数为奇函数

C． 

D．若，则直线为图象的一条切线

11．已知在棱长为2的正方体中，过棱BC，CD的中点E，F作正方体的截面多边形，则下列说法正确的有

A．截面多边形可能是五边形

B．若截面与直线垂直，则该截而多边形为正六边形

C．若截面过的中点，则该截面不可能与直线平行

D．若截面过点，则该截面多边形的面积为

12．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点D，F为AD的中点，且，点M是抛物线上间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y轴交于点N，抛物线在A，B两点处的切线交于点T，则下列说法正确的有

A．抛物线焦点F的坐标为

B．过点N作抛物线的切线，则切点坐标为

C．在△FMN中，若，，则t的最小值为

D．若抛物线在点M处的切线分别交BT，AT于H，G两点，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在某项测量中，其测量结果服从正态分布，且，则             ．

14．若的展开式中常数项为160，则的最小值为             ．

15．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为             ．

16．已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个，元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为             ．

四、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

设数列前n项和满足，．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）记，求数列的前n项和．

18．（12分）

如图，在三棱柱中，，，E，F分别为，的中点，且EF⊥平面．

（1）求棱BC的长度；

（2）若，且的面积，求二面角的正弦值．

19．（12分）

在△ABC中，D为边BC上一点，，，．

（1）求；

（2）若，求△ABC内切圆的半径．

20．（12分）

高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为．

（1）求每个AI芯片智能检测不达标的概率；

（2）人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求；

（3）若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良．

21．（12分）

已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．

（1）若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；

（2）若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由

22．（12分）

已知函数，．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

2023年第八届湖北省高三（4月）调研模拟考试

数学参考答案

一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．

1—4 BDBA 5-8 ACBD

二、多选题．本题共4小题，每小题5分，共20分．

9．AC 10．BCD 11．ABD 12．BCD

三、填空题．本题共4小题，每小题5分，共20分．

13． 14．4 15． 16．7

四、解答题

17．（1）∵，且，

∴，

∴，

∴，令，可得，

∴，

所以数列是首项为，公比为的等比数列．

由（1）可得，

∴，

∴

∴

∴

18．（1）取AC中点D，连接ED，BD，

∵为三棱柱，

∴且，

∴四边形DEFB为平行四边形，

∴

又平面．平面，

∴，

又D为AC的中点，

∴△ABC为等腰三角形，

∴

（2）由（1）知，，

∴，

∴，且

且，

∴，

∴，

由（1）知平面，

∴，又三棱柱中，

∴

又，所以，，

∴平面ABC，

∴平面，所以为直三棱柱，

∴为直角三角形，可求得，

又在三棱柱中，，

∴

以为坐标原点，向量，，方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，，，，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为，则

，即，取，

易知平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为θ，

∴，

∴．

19．

（1）设，

∴，，

在△ADC中，由正弦定理可得，

在△ABD中，，又，

所以，

∴，

∴，

∴．

（2）∵，

∴，

又易知为锐角，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴△ABD中，，

又，

在△ABC中，

由余弦定理可得，

∴．

设△ABD的内切圆半径为r，则

，

则

20．（1）记事件A＝“每个AI芯片智能检测不达标”，则

(1)   

(2)    由题意，

∴

令，则，

当，，

当，，

所以的最大值点．

记事件B＝“人工检测达标”，则

，又

所以，

所以需要对生产工序进行改良．

21．（1）由题意得，所以，

设，，，则

作差得

又MN的斜率，，

所以

（2）∵

∴，A（－2，0）

B（3，0）

直线l：，t≠0，

设，，

联立得，

所以，所以

设直线AN：，BM：

所以

所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上．

22．（1），令，则，

当，，当，．

所以．

（2）

记，即恒成立，

①当时，当，，所以在单调递增，且，，

故存在唯一，使得，

当，，所以，此时，不合题意．

②当时，

（ⅰ）若，则，

所以恒成立，即成立，符合题意．

（ⅱ），单调递增，且，，

所以存在唯一使，

当时，，当，

又，，故存在唯一，使

故，，，，

又，， 

所以时，，，即恒成立．

综上，