陕西省西安市高新一中2022_2023学年七年级下学期期中考试数学试题

陕西省西安市高新一中2022~2023学年七年级下学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知，则的余角等于（   ）

A． B． C． D．

2．在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝粗细的超高强度纳米丝“飞刃”．已知正常的头发丝直径为0.0009dm，则“飞刃”的直径（dm）用科学记数法表示为（   ）

A． B． C． D．

3．如图，直线、相交于点O，．若，则的度数为（   ）

A． B． C． D．

4．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（   ）

A． B．

C． D．

5．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（　　）

A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离

C．两点确定一条直线 D．垂线段最短

6．小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠CFB的度数是（    ）

A．95° B．115° C．105° D．125°

7．一个等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则这个等腰三角形的底边长是（   ）

A．4 B．6 C．8 D．4或8

8．某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度下滑的时间．他们得到的数据如下表：

根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（   ）

A．支撑物的高度为，小车下滑的时间为

B．支撑物的高度h越大，小车下滑时间t越小

C．若小车下滑的时间为，则支撑物的高度在至之间

D．若支撑物的高度每增加，则对应的小车下滑的时间每次至少减少

9．一个长方形的面积为，它的一条边长为，则它的周长为（    ）

A． B． C． D．

10．如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（　　）

A．7 B．6 C． D．

二、填空题

11．计算：若，，则__________．

12．如图，四边形为一长条形纸带，，将纸带沿折叠，、两点分别与、对应，若，则的度数为__________°．

13．若，则的值为_________．

14．某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按8.5折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件，则应付货款y（元）与商品件数x的关系式是_________．

15．如果“”可以写成一个多项式的平方的形式，那么m的值是________．

16．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90º，并画出了两锐角的角平分线AD， BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为________．

17．如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F，若，，则的面积为___________．

三、解答题

18．计算

(1)；

(2)；

(3)．

19．如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上找一点D并连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）

20．先化简，再求值：，其中，．

21．如图，，，，试说明．

证明：，，（已知）

，（__________________）

，（__________________）

，（已知）

，（__________________）

，（__________________）

．（两直线平行，同位角相等）

22．某天，小鹿和小明约好去小明家，小鹿骑车从家出发，小明担心小鹿走错路，于是从家骑车出发去接小鹿，骑行一段时间后，小鹿自行车发生故障，只得在原地等待，没过多久，碰到小明，于是小明载着小鹿一起回家，之后两人骑行速度变为小鹿之前骑行速度的一半．在这过程中，小鹿，小明两人离小鹿家的距离与所用时间之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题：

(1)点A的实际意义是：___________；

(2)相遇后，两人还要多少分钟到达小明家？

23．在中，，平分，P为线段上的任意一点，交直线于点E．

(1)若，，则 ；

(2)当点P在线段上运动时，求证：．

24．如图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个完全相同的小长方形，然后用这四块小长方形拼成如图2所示的正方形．

(1)观察图2，直接写出，，三者的等量关系式：__________；

(2)根据（1）的结论解答问题：如图3，正方形与边长分别为x、y．若，，求图3中阴影部分的面积和．

25．汉江是长江的最大支流，在历史上占居重要地位，常与长江、淮河、 黄河并列，舍称“江海河汉”．每年汛期来临之时，汉江防汛指挥部都会在一危险地带两岸各安置一组探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，已知灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，假定这一带汉江两岸河堤是平行的，即，且，转动时间是t秒．

(1)当 秒时，灯A射线第一次平分，此时灯A射线记为射线，当 秒时，灯A射线第一次与射线垂直；

(2)若两灯同时转动，秒时，两束光线所在直线的位置关系是______；（填“平行”或“垂直”）

(3)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行．

参考答案：

1．A

【分析】根据余角的定义即可求解．

【详解】解：，

的余角．

故选：．

【点睛】本题考查了余角的知识，掌握互余两角之和等于是解题的关键．

2．B

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】解：则“飞刃”的直径用科学记数法表示为：，故B正确．

故选：B．

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．B

【分析】由垂直的意义及互余关系、对顶角相等可求得的度数，从而求得结果．

【详解】解：∵，

∴，

即，

∵，，

∴，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】本题注意考查了互余关系、垂直的意义、对顶角相等，由互余关系求得是解题的关键．

4．A

【分析】根据平方差公式的定义，分别进行判断，即可得到答案．

【详解】解：A．，满足平方差公式，故A符合题意；

B．，不满足平方差公式，故B不符合题意；

C．，不满足平方差公式，故C不符合题意；

D．，不满足平方差公式，故D不符合题意．

故选：A．

【点睛】本题考查了平方差公式的定义，解题的关键是掌握平方差公式．

5．D

【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．

【详解】解：要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，

故选：D.

【点睛】本题考查垂线段的性质：垂线段最短，熟练掌握垂线段的定义是解题的关键.

6．C

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再由平行线的性质得出，再由三角形的内角和定理进行求解即可．

【详解】是直角三角形，∠E＝45°，

，

，

，

，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．

7．A

【分析】分4为等腰三角形的底边长与腰长两种情况进行讨论．

【详解】当4为等腰三角形的底边长时，腰长= ，则这个等腰三角形的其余两边长分别为6，6；

当4为等腰三角形的腰长时，底边长=16-4-4=8，4、4、8不能构成三角形．

故选A．

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

8．D

【分析】根据函数的表示方法对各选项进行逐一分析即可．

【详解】解：A、由表可知，当时，，故A正确，不符合题意；

B、支撑物高度h越大，小车下滑时间t越小，故B正确，不符合题意；

C、若小车下滑时间为，则支撑物高度在至之间，故C正确，不符合题意；

D、支撑物的高度大于后，支撑物的高度每增加，对应的小车下滑时间每次减小值都小于，故D错误，符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了函数的表示方法，观察表格获得信息是解题关键．

9．A

【分析】根据长方形的面积公式求出另一条边长，再根据长方形的周长公式即可得．

【详解】解：由题意得：这个长方形的另一条边长为，

则它的周长为，

故选：A．

【点睛】本题考查了多项式除以单项式的应用、整式加法的应用，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．

10．C

【分析】依题意可得当点P在点D时，与当点P在点C时，分别三角形的面积公式求出正方形的边长，EP,EC,BE的长，再根据当x＝7时，P点在CD上，根据y＝S正方形ABCD−（S△ABE＋S△ECP＋S△APD），即可求解．

【详解】解：设正方形的边长为a，

①当点P在点D时，y＝AB×AD＝×a×a＝8，解得：a＝4，

②当点P在点C时，y＝EP×AB＝×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，

③当x＝7时，如下图所示：

此时，PC＝1，PD＝7−4＝3，

当x＝7时，y＝S正方形ABCD−（S△ABE＋S△ECP＋S△APD）＝4×4− （4×1＋1×3＋4×3）＝，

故选：C．

【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

11．8

【分析】直接根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．

【详解】解：∵，，

．

故答案为：8．

【点睛】本题主要考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键．

12．72°

【分析】由题意∠1=2∠2，设∠2=x，易证∠AEF=∠1=∠FEA′=2x，构建方程即可解决问题．

【详解】解：由翻折的性质可知：∠AEF=∠FEA′，

∵AB∥CD，

∴∠AEF=∠1，

设∠2=x，则∠AEF=∠1=∠FEA′=2x，

∵∠AEB=180°，

∴5x=180°，

∴x=36°，

∴∠AEF=2x=72°，

故答案为：72°．

【点睛】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．

13．

【分析】根据多项式乘以多项式，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，然后代入求值即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．

14．

【分析】根据题意可得，所以应付货款超过100的按8.5折优惠后的部分，进行计算即可解答．

【详解】解：，

，

，

应付货款（元与商品件数的函数关系式是：，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是找出题目的等量关系．

15．

【分析】根据完全平方公式进行计算即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．

16．135°

【分析】利用三角形的内角和定理求解即可

【详解】解：在Rt△ABC中，，

由∵AD，BE分别平分，，

∴=，=

∴=，

∴，

故无论怎么变动Rt△ABC，只要∠C＝90º，∠AFB的度数是定值，始终为135°

故答案为：135°

【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

17．20

【分析】根据，点是的中点，求出和的长度，进而求出三角形的面积，根据高相等面积之比等于底之比，即可求出的面积，得出的面积，根据为中线，得出与的面积相等，即可得出答案．

【详解】解：连接，如图所示：

，点是的中点，

，

，且，

，

又，

，

，

．

故答案为：20．

【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，解题的关键是理解并灵活应用高相等，底之比等于面积之比．

18．(1)4

(2)

(3)

【分析】（1）根据乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可；

（2）根据积的乘方，单项式乘单项式运算法则进行计算即可；

（3）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式运算法则进行计算即可．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

；

（3）解：

．

【点睛】本题主要考查了实数混合运算，整式混合运算，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则，积的乘方，整式乘法运算法则，准确计算．

19．见解析

【分析】作的垂直平分线交于点D，根据线段垂直平分线的性质得到，推出，利用三角形内角和定理即可得到．

【详解】解：如图，点D为所作．

∵垂直平分，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．同时考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．

20．；

【分析】先利用完全平方公式和平方差公式，结合整式的加减法法则，将中括号化简，再根据除法法则得出化简结果，最后将、的值代入即可求解．

【详解】解：

，

把，代入，

可得：原式．

【点睛】本题考查了整式的化简求值，其中包含完全平方公式、平方差公式、去括号的法则、整式的除法等，灵活运用整式混合运算的法则是解题的关键．

21．垂直定义；；；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行

【分析】根据垂直定义求出，根据平行线的判定得出，，根据平行公理得出，即可得出答案．

【详解】证明：∵（已知），

∴（垂直定义），

∴（同位角相等，两直线平行），

∵（已知），

∴（内错角相等，两直线平行），

∴（平行于同一条直线的两条直线平行），

∴（两直线平行，同位角相等）．

故答案为：垂直定义；；；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．

【点睛】本题考查了平行线的判定的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，④平行于同一直线的两直线平行．

22．(1)小鹿骑车从家出发40分钟，离小鹿家的距离为8千米时，小鹿和小明相遇

(2)相遇后，两人还要30分钟到达小明家．

【分析】（1）根据图象和实际情况可知点A的实际意义；

（2）先求出相遇前小鹿的速度，再根据相遇后两人骑行速度变为小鹿之前骑行速度的一半求出相遇后两人骑行速度，根据路程除以时间即可得到答案．

【详解】（1）解：根据题意可知点A的实际意义是：小鹿骑车从家出发40分钟，离小鹿家的距离为8千米时，小鹿和小明相遇；

故答案为：小鹿骑车从家出发40分钟，离小鹿家的距离为8千米时，小鹿和小明相遇

（2）相遇前，小鹿骑行距离为8千米，用时30分钟，

∴相遇前小鹿的速度为：（千米/分钟），

相遇后两人骑行速度变为小鹿之前骑行速度的一半，即（千米/分钟），

∴（分钟），

∴相遇后，两人还要30分钟到达小明家．

【点睛】此题考查了从函数图像获取信息，读懂题意，数形结合是解题的关键．

23．(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出，从而求出，然后根据三角形外角的性质即可求出，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结论；

（2）根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质和内角和定理可证，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可证出结论．

【详解】（1）解：∵，，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

又∵，

∴与互余，

∴；

故答案为：．

（2）证明：∵平分，

∴，

∴

，

∵，

∴

．

【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质和直角三角形的性质，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质和直角三角形的两个锐角互余是解决此题的关键．

24．(1)

(2)图3中阴影部分的面积和为

【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，可得结论；

（2）利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可．

【详解】（1）解：图2中大正方形的面积为，小正方形的面积为，4个小长方形的面积和为，

∵大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，

∴，

即．

故答案为：．

（2）解：∵，为正方形，边长分别为x，y．，

∴，，

∴，

∵，

∴根据解析（1）可得：，

∵，，

∴，

∴

．

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，，之间的等量关系式是解题的关键．

25．(1)25；55

(2)平行

(3)当A灯转动15秒或82.5秒，两灯的光束互相平行

【分析】（1）先根据题意和角平分线的定义求出，再求出转动时间即可；先求出，再求出转动时间即可；

（2）先算出两个灯旋转90秒后旋转的角度，判断出90秒后A、B两灯发出的射线与、的关系，再利用平行线的判定和性质进行判断即可；

（3）设A灯转动时间为x秒，根据A灯转动时间，分三种情况进行讨论，分别列出方程，求出结果即可．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴此时灯A转动时间为：（秒）；

∵，

∴，

∴，

∴此时灯A转动时间为：（秒）；

故答案为：25；55．

（2）解：两灯同时转动，秒时，A灯转动的角度为：，B灯转动的角度为：，

∵，

∴此时A灯发出的射线，B灯发出的射线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即秒时，两束光线所在直线的位置关系是平行；

故答案为：平行．

（3）解：设A灯转动x秒后，两灯光束互相平行；

①当时，根据题意得：

，

解得：；

②当时，根据题意得：

，

解得：；

③当时，根据题意得：

，

解得：（不合题意）；

综上分析可知，当A灯转动15秒或82.5秒，两灯的光束互相平行．

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，用方程思想解决几何问题．