山东省滨州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题

高二数学试题  2023.2

注意事项

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．在考试结束后将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．直线的倾斜角为（    ）

A．        B．        C．        D．

2．已知向量，，若，则（    ）

A．        B．        C．1        D．2

3．已知函数，则（    ）

A．        B．0        C．1        D．2

4．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（    ）

A．        B．        C．        D．

5．已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）

A．30        B．36        C．42        D．54

6．如图，二面角的大小为，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是（    ）

A．        B．        C．        D．

7．已知在平面直角坐标系中，点，，若点P满足，则点P到直线距离的最小值为（    ）

A．        B．        C．        D．

8．已知抛物线的焦点为F，斜率为的直线l经过点F，且与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），直线l交抛物线的准线于点D，若，则下列结论不正确的是（    ）

A．        B．F为AD的中点        C．        D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9．若，则方程表示的曲线可能为（    ）

A．圆        B．椭圆        C．双曲线        D．两条直线

10．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．是函数的极值点          B．是函数的最小值点

C．在区间上单调递增        D．在处切线的斜率小于0

11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为，AB的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．点B到直线的距离为

B．直线CF到平面的距离为

C．直线与平面所成角的余弦值为

D．直线与直线所成角的余弦值为

12．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（    ）

A．                          B．

C．，        D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知直线与直线垂直，则实数a的值为________．

14．已知数列的前n项和为，若，则________．

15．焦点在y轴上的双曲线C与双曲线有共同的渐近线，且C的一个焦点到它的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的方程为________．

16．如图所示，ABCD是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设，当________cm时，包装盒的容积最大，最大容积为________．（第一空3分，第二空2分．）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知函数（a为常数），曲线在点处的切线与直线平行．

（1）求a的值；

（2）求函数的极值．

18．（12分）已知数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，数列的前n项和为，且，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）令，求数列的前12项和．

19．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且与y轴相切于点．

（1）求圆C的方程；

（2）已知过点的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程．

20．（12分）已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．

21．（12分）如图，在四棱锥中底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，点E在棱PB上．

（1）证明：平面平面PBC；

（2）当时，求二面角的余弦值．

22．（12分）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围．

高二数学试题参考答案  2023.2

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．A  2．B  3．D  4．D  5．B  6．C  7．B  8．C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9．BCD  10．AC  11．ABD  12．ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．0或3    14．    15．    16．10，

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（1）因为，所以．     1分

因为曲线在点处的切线与直线平行，

所以，       2分

所以．        3分

（2）由（1）可得，

令，得，或．        5分

当x变化时，，的变化情况如下表所示．

       8分

因此，当时，函数有极大值，极大值为，    9分

当时，函数有极小值，极小值为．    10分

18．解：（1）设数列的公差为d，数列的公比为，

由题意可得．        2分

即，所以，          3分

因为，所以，        4分

所以，．       6分

（2）由（1）可得，

所以，的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列；

所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列．      8分

所以，

         10分

．         12分

19．解：（1）因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上          1分

又因为圆C的圆心在直线上，        2分

由          3分

解得，即，            4分

圆C的半径，       5分

所以，圆C的方程为．        6分

（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l被圆C截得的弦长为，满足条件． 7分

当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为，

即．          8分

因为圆心为，

所以圆心C到直线l的距离为，        9分

由，解得，        10分

所以，直线l的方程为．    11分

综上所述，直线l的方程为，或．      12分

20．解：（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上．所以设它的标准方程为．

由题意知，，            2分

解得．           3分

所以，椭圆C的标准方程为．        4分

解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为．

根据椭圆定义得，          1分

即．           2分

又因为，所以，        3分

所以，椭圆C的标准方程为．          4分

（2）由，消去y，得，           6分

因为直线与椭圆C相交于A，B两点，

所以，         7分

解得．         8分

设，，

则，，          9分

所以          10分

           11分

当时，取最大值，此时直线l的方程为．     12分

21．解（1）证明，因为底面ABCD，平面ABCD，

所以．      1分

因为，，所以，．

所以，所以．     2分

又因为，平面PBC，平面PBC，

所以平面PBC．       3分

又平面EAC，

所以平面平面PBC．        4分

（2）解法一：

以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．    5分

设点E的坐标为，因为，所以，

即，，，所以．     6分

所以，．          7分

设平面ACE的一个法向量为，则．

所以，取，则，．

所以，平面ACE的一个法向量为．        9分，

又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．        10分

设平面PAC与平面ACE的夹角为，

则．       11分

所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为．          12分

解法二：

取AB的中点G，连接CG，以点C为原点，CG，CD，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，则，，，．        5分

设点E的坐标为，因为，所以，

即，，，所以．         6分

所以，．        7分

设平面ACE的一个法向量为，则．

所以．取，则，．

所以，平面ACE的一个法向量为．            9分

又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．    10分

设平面PAC与平面ACE的夹角为，

则．      11分

所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为．         12分

22．解：（1）因为，

所以．         1分

因为，，

所以，当时，，所以在上单调递增．        2分

当时，令，解得．

由，解得；

由，解得      3分

所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增．       4分

（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点．       5分

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，取得最小值，．    6分

令，，

则，

所以，在上单调递减．      7分

又，所以要使，即，则．        8分

解法一：

又因为，

所以在上有一个零点．       9分

又

令，，则，

所以在上单调递增，      10分

因为，所以，所以，

所以．

所以在上也有一个零点．          11分

综上所述，要使有两个零点，则a的取值范围是．       12分

解法二：

当时，，所以在上有一个零点；

当时，，所以在上也有一个零点．

综上所述，要使有两个零点，则a的取值范围是．

（若使用方法二得到正确结果，扣2分．）