2023届山西省忻州市高三下学期百日冲刺数学试题含解析

2023届山西省忻州市高三下学期百日冲刺数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据一元一次不等式可解得集合，再根据函数值域求法可求得集合，由交集运算即可得出结果.

【详解】由题意可得，

由函数值域可得，

所以．

故选：C

2．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，则（    ）

A．4 B． C．8 D．

【答案】A

【分析】将点A的坐标代入抛物线方程求出p，在根据两点距离公式计算.

【详解】将 代入抛物线方程得，解得，则，故 ；

故选：A.

3．已知，则的最小值是（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】D

【分析】利用基本不等式性质求解即可.

【详解】因为，所以

所以，

当且仅当，即时，等号成立．

所以的最小值为.

故选：D

4．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是矩形，，分别是棱 的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作辅助线，作出异面直线与所成角或补角，解直角三角形，即可求得答案.

【详解】如图，取棱的中点H，连接，则，

则是异面直线与所成的角（或补角）．

又因为，故,

平面平面，平面平面，平面，

故平面，平面，故,

由四边形是矩形，，则,

平面,故平面,

平面,故,

设，则EH＝2，．

在 中，则，故,

即异面直线与所成角范围为，故所求角的余弦值是，

故选：B

5．已知直线：与圆C：，则“”是“直线l与圆C一定相交”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先求出直线l所过的定点坐标，只要保证该定点在圆内或圆周上，则必定相交，再根据充分必要条件的定义逐项分析.

【详解】对于直线l：  ，变形和可得： ，

令 解得 ，即直线l过定点 ，

圆C的标准方程为： ，若A在圆内或圆周上，则 ，

所以如果 ，则l与C必定相交，如果l与C相交，不一定能得到 也可能是 ，

所以“ ”是“直线l与圆C一定相交”的充分不必要条件；

故选：A.

6．溶液酸碱度是通过计量的，的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某溶液的值为2.921，则该溶液中氢离子的浓度约为（    ）（取，）

A．摩尔/升 B．摩尔/升

C．摩尔/升 D．摩尔/升

【答案】A

【分析】根据的计算公式，可知，再根据参考数据以及对数运算法则即可求得结果.

【详解】设该溶液中氢离子的浓度约为t摩尔/升，则，

从而，

即该溶液中氢离子的浓度约为摩尔/升．

故选：A

7．春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ）

A．120种 B．240种 C．420种 D．720种

【答案】C

【分析】先对图中不同的区域命名，再运用分步计数和分类计数的方法从中央开始计数即可.

【详解】如图，先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植，

若D与B种植同一种花卉，则E有3种不同的选择，若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择，E有2种不同的选择，

不同的布置方案有种；

故选：C.

8．若函数在内恰有4个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，由条件列出不等式，即可得到结果.

【详解】因为，所以．令，得．当时，，解得；当时，，解得．

综上，的取值范围是．

故选:D

二、多选题

9．下列关于非零复数，的结论正确的是（    ）

A．若，互为共轭复数，则 B．若，则，互为共轭复数

C．若，互为共轭复数，则 D．若，则，互为共轭复数

【答案】AC

【分析】根据题意，设，根据共轭复数的定义，结合复数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】设，由，互为共轭复数，得，则，故A正确．

当，时，，此时，，不是共轭复数，则B错误．

由，互为共轭复数，得，从而，即，则C正确．

当，时，，即，此时，，不是共轭复数，则D错误．

故选:AC

10．已知，，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】设，则在上单调递增，可得可判断A；由不等式的性质可判断B；取可判断C；由指数函数的单调性结合可判断D.

【详解】因为，所以，所以．

设，则在上单调递增．

因为，所以，则A正确．

因为，，且，所以，所以，则B正确，

因为，取，则，所以C不正确.

因为，所以，所以，即，则D正确．

故选：ABD.

11．若的三个内角均小于，点M满足，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内任意一个向量，向量，满足，且，则的取值可以是（    ）

A．9 B． C． D．6

【答案】AB

【分析】根据题意，设，，，由平面向量的坐标运算，结合费马点的定义，求得的最小值，即可得到结果.

【详解】设，，，，此即点到，，三个点的距离之和．△ABC是等腰锐角三角形，由费马点的性质可知当点M满足时，点M到△ABC三个顶点的距离之和最小，因为，，，所以，的最小值是．

故选:AB

12．已知，分别是定义在R上的函数，的导函数，，，且是奇函数，则（    ）

A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据函数的求导法则和函数的对称轴判断选项；结合函数是奇函数，是偶函数判断选项；根据函数是奇函数得出函数的周期判断选项；根据推导出函数的周期，进而判断选项.

【详解】因为，所以（a为常数），

所以．因为，

所以．

令，得，解得，

所以，则的图象关于直线对称，故选项正确．

因为，且，所以．所以，即是偶函数．因为是奇函数，所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为是偶函数，所以的图象关于点对称，则选项正确．

因为是奇函数，所以，所以，

所以，则是周期为4的函数．

因为，所以，所以，，则．因为是奇函数，

所以，所以，

则选项正确．

因为，所以，所以，，，

，所以，所以，

则选项错误．

故选：.

三、填空题

13．某蛋糕店新推出一款蛋糕，连续一周每天的销量分别为18，22，25，29，21，20，19，则这组数据的平均数是_________．

【答案】22

【分析】由平均数定义求解即可.

【详解】由题意可得这组数据的平均数是

故答案为:22.

14．在等比数列中，若，，则当取得最大值时， _______________．

【答案】6

【分析】利用题意的等式得到数列的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解

【详解】在等比数列中，，，

所以公比，

所以，解得，故，

易得单调递减，且，

因为，，

所以当时，，当时，，

所以当取得最大值时，．

故答案为：6

四、双空题

15．一个正方体的体积为m立方米，表面积为n平方米，则的最小值是_________，此时，该正方体内切球的体积是________立方米．

【答案】          ##

【分析】设该正方体的棱长为x，则，，故．设，对求导，求出的单调性，即可求出的最小值；由题意可知内切球的半径，由球的体积公式即可得出答案.

【详解】设该正方体的棱长为x，则，，故．

设，则．

由，得，由，得，

则在上单调递减，在上单调递增，故，

即的最小值是．此时该正方体的棱长是4，则其内切球的半径，

从而该正方体内切球的体积为．

故答案为：；

五、填空题

16．已知双曲线C：的右焦点为F，直线l：与双曲线C交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率是__________．

【答案】##

【分析】不妨设A在第一象限，则△AFO（O为坐标原点）为直角三角形，利用直角三角形的性质和双曲线的对称性列出方程，计算即可求解.

【详解】不妨设A在第一象限，则△AFO（O为坐标原点）为直角三角形，则，．设双曲线C的左焦点为F＇，由双曲线的对称性可知，则，即，整理得，从而，解得

．因为，所以．

故答案为：.

六、解答题

17．设等差数列的前n项和为，，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前100项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，将条件化为关于与的方程，即可得到的通项公式；

（2）根据题意，得到的通项公式，然后结合等差数列的求和公式即可得到结果.

【详解】（1）由题意可得，

解得，．

故．

（2）由（1）及等差数列前n项和公式可得，

则．

故数列的前100项和

．

18．某校为了解高三年级学生的学习情况，进行了一次高考模拟测试，从参加测试的高三学生中随机抽取200名学生的成绩进行分析，得到如下列联表：

将频率视为概率．

(1)从该校高三男、女学生中各随机抽取1名，求这2名高三学生中恰有1名的成绩在本科分数线以下的概率；

(2)从该校所有高三学生中随机抽取3名，记被抽取到的3名高三学生本次高考模拟成绩在本科分数线以上（包含本科分数线）的男生人数为X，求X的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）首先求出该校高三男生、女生的成绩在本科分数线以下的概率，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；

（2）用样本估计出抽到男生成绩在本科分数线以上（包含本科分数线）的概率，依题意可得的所有可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．

【详解】（1）由题意可知本次高考模拟测试中，该校高三男生的成绩在本科分数线以下的概率是，

高三女生的成绩在本科分数线以下的概率是，

则所求概率．

（2）由题意可知从该校所有高三学生中随机抽取1名学生，抽到男生成绩在本科分数线以上（包含本科分数线）的概率是．

所以所有可能取值为，，，．

所以，，

，，

则的分布列为

故．

19．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，且的面积是，求AD的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角恒等变换化简即可求得；

（2）由三角形的面积可得，然后由向量的运算可得，再结合基本不等式即可求得最小值.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

解得．

因为，所以．

（2）因为△ABC的面积是，

所以，解得．

因为，

所以，

所以，

所以．

因为，

所以，

所以．

因为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，

即当时，AD取得最小值．

20．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，，平面ADE⊥平面ABCD，，．

(1)证明：BD⊥平面ACE．

(2)若平面CEF与平面ABFE夹角的余弦值为，求BF的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)3

【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理可得AE⊥平面ABCD．然后再由线面平行的判定定理即可证明；

（2）由题意，记，以O为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后由空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.

【详解】（1）证明：因为，所以，所以．

因为平面ADE⊥平面ABCD，且平面平面，面ADE，

所以AE⊥平面ABCD，平面ABCD，所以．

因为四边形ABCD是菱形，所以．

因为AE，平面ACE，且，所以BD⊥平面ACE．

（2）

记，以O为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，

则，，，，，

故，，，．

设平面ABFE的法向量为，

则，令，得．

设平面CEF的法向量为，

则，令，得．

设平面CEF与平面ABFE的夹角为θ，

则，

解得，即当平面CEF与平面ABFE夹角的余弦值是时，BF的长为3．

21．已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点的直线l交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据离心率的公式，结合的基本关系，代入求解即可；

（2）直线的方程为，，，，直线与曲线联立，的面积，根据韦达定理，弦长公式将三角形面积表示，

再根据基本不等式求解最大值即可.

【详解】（1）由题意可得，

解得，

故椭圆C的标准方程为．

（2）设直线l的方程为，，，

联立，

整理得，

则，即，

解得，，．

故△OPQ的面积．

设，

因为，所以，

所以，

因为，所以，

当且仅当，即时，等号成立，

则，即△OPQ面积的最大值为．

22．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个零点，求a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）对函数求导，再对进行分类讨论，根据和，即可得函数的单调性；

（2）根据（1）的单调区间，对进行分类讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到的取值范围.

【详解】（1）由题意可得．

当时，由，得，

由，得，

则在上单调递减，在上单调递增．

当时，，则．

由，得或，

由，得，

则在上单调递减，在上单调递增．

当时，在R上恒成立，则在R上单调递增．

当时，，则．

由，得或，

由，得，

则在上单调递减，在上单调递增．

（2）由（1）可知当时，在上单调递减，在上单调递增．

要使有两个零点，需至少满足，即．

当时，，

，

则在与上各有一个零点，即符合题意．

当时，只有一个零点，则不符合题意．

当时，由，当时，，，

则在上恒成立．

由（1）可知在上单调递增或先递减后递增，则不可能有两个零点，即不符合题意．

综上，a的取值范围为．

【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根据题设条件对参数进行分类讨论，构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．