2023届河北省沧州市高三下学期调研性模拟数学试题含解析

2023届河北省沧州市高三下学期调研性模拟数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简集合A，B，根据交集运算求解.

【详解】因为，

所以，

故选：B.

2．已知复数z满足，若复数z在复平面上对应的点在第二或第四象限，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将复数z化成形式，再由第二或第四象限等价为，求解即可

【详解】由题，，故，解得，

故选：A.

3．在等腰梯形中，，，，分别是，的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据几何关系，找到以AN为对角线的平行四边形，再通过几何关系找出四边形的边与AM和AB的长度关系，最后根据平行四边形法则即可表示出.

【详解】如图，过作交于，

∴是的中点.

分别过，作，，交于，，

因为为平行四边形，所以，

且，，

由此可得.

故选：C.

4．用短语“maths test”中所有的重复字母重新排列，能组成不同排列的个数为（    ）

A．10 B．20 C．30 D．40

【答案】A

【分析】根据排列数运算求解．

【详解】由有2个，有3个，则将这5个字母看成不同时的排列为，故其排列个数为．

故选：A．

5．已知函数的图象关于对称，当的最小正周期取得最大值时，距离原点最近的对称中心为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据余弦型函数的对称轴、最小正周期公式可得到函数的解析式，再根据余弦型函数的对称中心即可求解．

【详解】由已知得，即，

当时，最小，且为，则最大，

此时，其对称中心的横坐标为，

当时，函数的图象上距离原点最近的对称中心为．

故选：D．

6．焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将点的坐标代入抛物线中，解得，从而得到点和点的坐标，要满足，则只需点为的垂直平分线和的垂直平分线的交点，进而求解即可．

【详解】将点的坐标代入抛物线中得，解得，

则，所以的斜率为1，且的中点为，

则的垂直平分线方程为，即，

又的垂直平分线方程为，

又，则点为的垂直平分线和的垂直平分线的交点，

所以点的坐标为．

故选：B．

7．已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】通过条件，利用定义法证明抽象函数的单调性，通过赋值，求得和，再利用奇偶性和单调生即可求出结果.

【详解】令，则，即，

令，，则，又，则，

不妨取任意正数，

，

因为，所以，即，所以在区间上单调递增，

又是定义在上的奇函数，故在区间上单调递增，

令，则，

令，，则，

∴，

又因为，即，由和，结合函数单调性可以得到或，

故选：B.

8．已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】设出点P，M的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得轴，再利用和角的正切公式求出a，b的关系作答.

【详解】如图，设，点共线，点共线，所在直线的斜率分别为，

点在双曲线上，即，有，因此，

点在椭圆上，即，有，直线的斜率，有，

即，于是，即直线与关于轴对称，

又椭圆也关于轴对称，且过焦点，则轴，令，由得，

显然，，

，

解得，所以双曲线的离心率.

故选：D

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；

齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

二、多选题

9．袋中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从袋中一次抓出个球，记事件“两球同色”，事件“两球异色”，事件“至少有一红球”，则（    ）

A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件是相互独立事件

C．若，则 D．若，则

【答案】AD

【分析】由对立事件的定义可判断A选项；利用独立事件的定义可判断B选项；由古典概型的概率公式可得出关于的等式，解出的值，可判断C选项；利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，由对立事件的定义可知，事件、互为对立事件，A对；

对于B选项，，，，显然，故B不正确；

对于C，，，由，可得，

即，整理可得，因为，解得，故C不正确；

对于D，由C知，，，故D正确，

故选：AD.

10．下列关于三棱柱的命题，正确的是（    ）

A．任意直三棱柱均有外接球

B．任意直三棱柱均有内切球

C．若正三棱柱有一个半径为的内切球，则该三棱柱的体积为

D．若直三棱柱的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是直角三角形

【答案】ACD

【分析】根据外接球的特征可知，连接直三棱柱上、下底面三角形外心的线段的中点到直三棱柱各个顶点的距离相等，即为外接球球心，从而判断A；根据内切球的特征可知，直三棱柱底面内切圆半径需为直三棱柱高的一半，即可判断B；根据正三棱柱内切球半径可求得正三棱柱的高和底面正三角形边长，代入棱柱体积公式，即可判断C；由球心在底面的射影为底面三角形一条边的中点，且到三角形各个顶点距离相等，即可判断D.

【详解】对于A，取连接直三棱柱上、下底面三角形外心的线段的中点，

则点到直三棱柱各个顶点的距离均为，其中为底面三角形外接圆半径，为直三棱柱的高，

点即为直三棱柱的外接球球心，A正确；

对于B，若直三棱柱有内切球，则其高等于直径，底面内切圆半径等于内切球半径，

即底面内切圆半径需为直三棱柱高的一半，不是所有直三棱柱都符合，B错误；

对于C，若正三棱柱的内切球半径为，则正三棱柱的高为，底面正三角形的高为，

设正三棱柱底面正三角形的边长为，则，解得：，

该正三棱柱的体积，C正确；

对于D，若外接球球心在直三棱柱的侧面上,则球心为该侧面的中心，其到底面三角形各顶点的距离相等，

球心在底面上的射影到底面三角形三个顶点的距离也相等，

又侧面中心在底面的投影在底面三角形的一条边上，

该投影为底面三角形一条边的中点，且到另一顶点的距离为该边长的一半，

该底面三角形为直角三角形，D正确.

故选：ACD.

11．已知点在直线上移动，圆，直线，是圆的切线，切点为，.设，则（    ）

A．存在点，使得

B．存在点，使得

C．当的坐标为时，的方程为

D．点的轨迹长度是

【答案】AD

【分析】A.由的坐标为时判断；B.由时最大判断；C.设，，利用切线方程，得到，，再将代入求解判断；D.设，由，，联立求得，，代入求解判断.

【详解】解：当的坐标为时，，，A正确.

当的坐标为时，，此时最大，B不正确；

对于C，设，，∴，，代入，即为，，∴过，的直线为，即，C不正确；

对于D，设，由C选项知，，解得，，代入中，整理得点的轨迹方程为（去掉原点），其半径为，∴点的轨迹长度是，D正确，

故选：AD.

12．已知函数，，则（    ）

A．有极小值 B．有极大值

C．若，则 D．的零点最多有两个

【答案】BCD

【分析】利用导数有无变号零点可得AB的正误，通过构造函数结合切线可得C的正误，通过对的讨论分析可得D的正误.

【详解】对于A，∵当时，，无极值，故A不正确；

对于B，，当时，，单调递增；

当时，，单调递减，∴有极大值，故B正确；

对于C，由，得，即，

设，∴；

设，则，，

当时，，为减函数，注意到，时，，不合题意；

当时，，时，，为减函数，

时，，为增函数；

∴；

设，则，

当时，，为减函数；当时，，为增函数；

∴，∴只有当时，才能成立，∴，故C正确；

对于D，由C知，，，，为增函数；

当时，，当无限趋近于0时，无限趋近于，且，即此时有两个零点，

∵为增函数，，∴此时有两个零点.

同理可得，当时，有两个零点.

当时，，此时有一个零点1，∴此时有一个零点.

当时，为减函数，，此时有一个零点1，∴此时有一个零点.故D正确.

故选:BCD.

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有三个：一是极值问题通过导数有无变号零点来判断；二是对的转化，通过换元化为简单的函数来求解；三是零点个数通过拆分函数，由复合函数的零点个数来判断.

三、填空题

13．已知等比数列的前项和为，若，，则______.

【答案】510

【分析】利用等比数列的性质：，，，…构成等比数列，再利用条件即可求出结果.

【详解】因为数列为等比数列，由等比数列的性质知，

，，，…，，…构成首项为，公比为的等比数列，且是该等比数列的前8项和，

所以.

故答案为：510.

14．已知，则______.

【答案】

【分析】根据给定条件，利用和角的正弦及齐次式求法求解作答.

【详解】，

因为，所以.

故答案为：

15．在圆台中，是其轴截面，，过与轴截面垂直的平面交下底面于，若点到平面的距离是，则圆台的体积等于______.

【答案】

【分析】点到平面的距离即为与的距离，即点到的距离等于，故可以求得棱台的高，进而求得棱台的体积.

【详解】∵，所以四边形为平行四边形，所以,则为正三角形∴，由题意得，平面平面平面，且平面平面，所以点到平面的距离即为与的距离，在中，过点作的垂线,过点作的垂线，则，

所以，则，则圆台的体积为，所以圆台的体积为.

故答案为：

16．若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质.若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据三角函数辅助角公式和将函数解析式中的，消去，再求出函数导数，根据题意利用导数列式表示出性质，将式子展开后把等式当作一个关于的方程的有解问题，根据一元二次方程有解条件化简等式求解出a值，再根据将，换元为三角函数形式代入求解出实数的取值范围即可.

【详解】由题意可得，.于是，.设切点分别为，，则由函数具有性质，可得，即，整理得，

将上式视为关于的方程，则其判别式：

，

即，注意到，

，则，故，此时或，

代入方程可得，因此，.

另一方面，由，可设，，其中，

则，即.因此，.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：

对于函数新定义，解题第一步都是模仿定义列式求解，此题难度不在于新定义，而在于式子的复杂性，一方面需要根据题意优先化简函数解析式，为求导后的计算打下基础；另一方面，在求导后的计算中，要将a作为主元进行求解，因此展开方程即便系数复杂，也能看出方程本质为关a的一元二次方程，最终按照一元二次方程性质解题即可.

四、解答题

17．近年来，随着科技不断地进步，科技成果逐年呈递增的态势，尤其与物理专业有关的方面——光学、电学、机械力学、电气等方面递增更快.为了保护知识产权，需要将科技成果转化为科技专利，这样就需要大量的专利代理人员从事专利书写工作，而物理方面的研究生更受专利代理公司青睐.因为通过培训物理方面的研究生，他们可以书写化学、生物、医学等方面的专利，而其他科目的研究生只能写本专业方面的专利.某大型专利代理公司为了更好、更多的招收研究生来书写专利，通过随机问卷调查的方式对物理方向的研究生进行了专利代理方向就业意向调查，得到的数据如下表：

(1)根据的独立性检验，能否认为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联？

(2)该专利代理公司从这150人的男研究生中按专利代理方向就业意向分层，用分层随机抽样方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人用问卷的形式调查他们毕业后的年薪资意向，这3人中有人喜欢从事专利代理工作，求的分布列和数学期望.

下面附临界值表及参考公式：

.

【答案】(1)物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据公式计算出值与临界值表进行比较即可判断出关联性，

（2）根据分层抽样性质确定对应人数，写出随机变量并根据超几何分布求出分布列，计算得出期望值.

【详解】（1）零假设为：物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别没有关联，

，

∴根据的独立性检验，可以推断不成立，

∴物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联.

（2）由分层随机抽样可知，抽取的喜欢专利代理的男生有2人，不喜欢专利代理的男生有3人.

可取0，1，2，

，，，

∴的分布列为

数学期望.

18．在各项均为正数的等差数列中，，，成等比数列，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前项和为，，证明：．

【答案】(1)

(2)证明过程见详解

【分析】（1）设等差数列的公差为，结合题意求得，从而即可求得，进而即可求得等差数列的通项公式；

（2）结合（1）可得数列的前项和为，从而即可求得的通项公式，再根据裂项相消即可证明结论．

【详解】（1）设等差数列的公差为，

由已知得，

即，

又，解得（舍负），

则，所以．

（2）结合（1）得，

则，

所以

．

19．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．

(1)若，求面积的最大值；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）根据余弦定理和基本不等式即可求得面积的最大值；

（2）根据题意，正弦定理，两角和与差的正弦公式求解即可．

【详解】（1）由余弦定理得，则，

所以，当且仅当时，等号成立，

所以面积的最大值为．

（2）由，则根据正弦定理得，

又，则，

所以，得．

20．如图，在四棱锥中，是直角梯形，，，，，，点在上，且平面.

(1)求的值；

(2)若，且平面，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行性质得，再根据三角形相似得，即可求解；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求两个平面夹角的余弦值.

【详解】（1）连接交于，连接.

∵平面，平面平面，平面，

∴，∴.

∵，∴，∴，

过点作，垂足为，∵，，∴四边形ABED为矩形，

又，，，∴，

∴，∴.

（2）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

由（1）知，，∴，∴，则，，

设平面的法向量为，则，所以，

令，得，

设平面的法向量为，又，，

则，所以，令，得，

∴，

∴平面与平面夹角的余弦值为.

21．已知函数.

(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；

(2)若方程有两个实根，，且，求证：.

参考数据：，.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求的导数，对a分类讨论，根据函数的单调性求a的取值范围.

（2）由，是方程的两个根，令，将和分别用t表示，构造函数，对函数求导求最值证明不等式.

【详解】（1）函数的定义域为，由题意，.

当时，，函数在上单调递增，不合题意；

当时，由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.

又函数在区间上单调递减，所以，，即.

因此，实数的取值范围是.

（2）由题意，

于是，令，则由可得，.

于是，即.从而.

另一方面，对两端分别取自然对数，则有，

于是，即证，即，其中.

设，.则，

设，.

则在上恒成立，

于是，在上单调递增，从而.

所以，，即函数在上单调递增，于是.

因此，，即原不等式成立.

【点睛】令，结合方程组，可得，.

分析要证，两边取对数，只要证，从而构造出函数，.

22．已知，，动点关于轴的对称点为，直线与的斜率之积为.

(1)求点的轨迹的方程；

(2)设点是直线上的动点，直线，分别与曲线交于不同于，的点，，过点作的垂线，垂足为，求最大时点的纵坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由两直线斜率之积为，得点Q所满足的方程式即可；

（2）设直线的方程，代入曲线的方程，由几何关系得直线恒过点，点的轨迹是以为直径的圆，当与重合时，最大，求出此时，点的纵坐标.

【详解】（1）由题意得，且，

，，所以，

整理得曲线.

（2）

设，，，

若直线平行于轴，根据双曲线的对称性，可知点在轴上，不符合题意，

故设直线：，代入曲线中，得，

则，，则，

由，A，三点共线得，即，

同理，由，B，三点共线得，

消去，得，

即，

得，

得，

即对任意，，都有成立，

故或，

若，由，可得：

所以即，矛盾，故，

所以.

所以直线：恒过点，

则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，

当与重合时，最大，此时轴，：，.

所以当最大时，点的纵坐标为.