2023届湘豫名校联考高三第一次模拟考试数学（文）试题含解析

这是一份2023届湘豫名校联考高三第一次模拟考试数学（文）试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湘豫名校联考高三第一次模拟考试数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，将集合分别化简，然后由集合的交集运算即可得到结果.【详解】因为集合，所以.故选:D.2．已知复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的四则运算和复数求模的公式即可求解.【详解】因为，所以.故选：.3．如图所示的程序框图中，若输出的函数值，则输入的实数（    ）A． B． C． D．或【答案】D【分析】输出的函数值，分别代入函数解析式求，结合定义域得出答案．【详解】由程序框图可知，该程序是运算分段函数的值，因为输出的函数值，所以当时，由，解得；当时，由，解得.故选：D.4．已知定义在上的函数满足，函数的图象关于直线对称，且，则（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】利用函数的周期性及函数的对称性进行计算求解.【详解】由，得  ①又函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于轴对称，即  ②联立①②两式，可得，所以，所以函数的一个周期为8，又，所以，故A，B，D错误.故选：C.5．为庆祝党的二十大的胜利召开，某高校党委从所有的学生党员中随机抽取100名，举行“二十大”相关知识的竞赛活动，根据竞赛成绩，得到如下2×2列联表.则下列说法正确的是（    ） 优秀非优秀合计男203050女351550合计5545100 参考公式及数据：，其中. A．有的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”B．有的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别无关”C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“竞赛成绩是否优秀与性别无关”D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”【答案】A【分析】求得的观测值，再与临界值表对照下结论.【详解】解：因为的观测值，由临界值表知，有的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”.故选：.6．已知实数x，y满足约束条件则的最大值是（    ）A．5 B．6 C．7 D．9【答案】D【分析】利用线性规划，画出可行域和目标函数即可.【详解】由题，画出满足题意的可行域如图所示， 令，可化为，相当于直线在y轴上的截距．平移直线，当直线过点A时，截距最大，z最小；当直线过点C时，截距最小，z最大，联立得所以．联立得所以．所以，．所以．故选：D．7．已知函数在区间上的极值点有且仅有2个，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函数的图象与性质以及整体代换的技巧进行处理.【详解】因为，所以当时，有，因为在区间上的极值点有且仅有2个，结合函数图象得，解得，所以的取值范围为，故A，B，D错误；故选：C.8．已知变量y与x之间具有线性相关关系，根据变量x与y的相关数据，计算得则y关于x的线性回归方程为（    ）附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知数据求，代入回归直线方程即可求解.【详解】由题中的数据可知，所以.所以.所以y关于x的线性回归方程为.故选：B.9．高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解；【详解】方法一：函数，因为，所以，所以.所以.所以，即.当时，；当时，.故的值域为.故选：B.方法二：由，得.因为，所以，解得.当时，；当时，.所以的值域为.故选：B.10．在中，内角的对边分别为，已知，若点为边的中点，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：作出图形，设，则.利用余弦定理和基本不等式即可求解. 方法二：根据平面向量的运算可得，，两式联立，结合基本不等式即可求解.【详解】方法一：如图，设，则.在中，由余弦定理得①.在中，由余弦定理得②.由①②可得：.在中，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，解得，即的最大值为. 方法二：由题可得，，所以①.又因为，所以②，由①②得，由①得，则，所以，当且仅当时，等号成立.所以.故选：.11．已知过椭圆的上焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点.若为锐角，则直线的斜率的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用直线的斜截式方程设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理及两直线相交联立方程组求出交点坐标，结合已知条件、点在直线上及向量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】由题意可知，所以所以椭圆的上焦点为，设直线的方程为，联立消去，得，所以.由题设知，所在的直线方程为.因为直线与直线相交于点，所以；同理可得.所以.因为为锐角，所以，所以，即，解得：或，所以，或，或.故直线的斜率的取值范围是.故选:D.12．已知，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性进行函数值的大小比较.【详解】方法一：比较的大小时，（法一）设函数，则，令，得，当时，，函数单调递增；当，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，因为，所以，即.（法二）因为，设为坐标原点，结合函数的图象知，所以；比较的大小时，设函数，则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增，因为，，又，所以，即，综上可得，，故B，C，D错误.故选：A.方法二（估值法）：因为0.43.所以，故B，C，D错误.故选：A. 二、填空题13．已知平面向量，则向量与的夹角为__________.【答案】【分析】根据结合数量积的坐标运算即可得解.【详解】因为，所以，因为，所以.故答案为：.14．已知三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为__________.【答案】【分析】根据题意，将三棱锥补成直三棱柱，然后得到其外接球的半径，再结合球的表面积公式，即可得到结果.【详解】由题意，将三棱锥补成直三棱柱，则该直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上､下底面外接圆圆心连线的中点上.设外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为，因为平面，，由正弦定理得，，所以.所以三棱锥外接球的表面积为.故答案为:15．已知双曲线的左､右焦点分别为的离心率为，点在上，点是双曲线与圆的一个交点，则的面积__________.【答案】1【分析】根据题意，由离心率可得的关系，再将点的坐标代入双曲线方程即可得到，然后联立双曲线与圆的方程即可得到点的坐标，从而得到结果.【详解】由题意得，所以，所以.因为点在上，所以，所以，解得.所以，所以双曲线的方程为.由，解得，所以.故答案为:16．党的二十大报告将“完成脱贫攻坚､全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，.每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为__________万元.【答案】1000【分析】依题意求得利润，借助导数和基本不等式可求得最大值.【详解】由题意得，销售收入为万元，当产量不足50万件时，利润；当产量不小于50万件时，利润.所以利润因为当时，，当时，单调递增；当时，单调递减；所以在上单调递增，在上单调递减，则；当时，，当且仅当时取等号.又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元.故答案为：1000 三、解答题17．为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动，为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，得到如图所示的频率分布直方图：(1)估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；(2)若采用分层抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人竞赛成绩在内的概率【答案】(1)中位数为72(2) 【分析】（1）先判断中位数所在区间，然后由中位数的定义求解；（2）先由分层抽样得到竞赛成绩在内的有4人，成绩在内的有2人，再利用古典概型的概率求解.【详解】（1）解：因为，所以竞赛成绩的中位数在内.设竞赛成绩的中位数为，则，解得.所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72.（2）由频率分布直方图可知，竞赛成绩在和内的频率分别是和，则采用分层抽样的方法抽取的6人中，竞赛成绩在内的有4人，记为，竞赛成绩在内的有2人，记为.从这6人中随机抽取2人的情况有：，共15种.其中符合条件的情况有，共8种，故所求概率.18．已知数列的前项和满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，由与的关系即可得到数列是等比数列，从而得到结果；（2）根据题意，由错位相减法即可得到结果.【详解】（1）①因为①，当时，，得.当时，②，①-②得：，即，所以.所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以.所以.（2）由（1）知，，令，则③.所以④.③-④得：，整理得：所以.19．如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面，且是正三角形，分别是的中点.(1)证明：平面；(2)若，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2 【分析】（1）取的中点，连接，易证平面，平面，再利用面面平行的判定定理证明；（2）取的中点，连接，根据是正三角形，得到，再由平面平面，得到平面，在Rt中，由，求得，方法一：由，求得点到的距离，由平面，得到点到平面的距离，再由体积公式求解；方法二：连接，由，得到点到的距离，再根据为的中点得到三棱锥的高为三棱锥高的，然后由体积公式求解.【详解】（1）证明：如图所示：取的中点，连接.因为底面是等腰梯形，，又分别是的中点，所以.又因为平面平面，所以平面.因为是的中点，所以.又因为平面平面，所以平面.因为平面平面，所以平面平面.因为平面，所以平面.（2）如图所示：取的中点，连接.由已知得且，所以四边形是平行四边形，所以，且.因为是正三角形，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以.设，则.在Rt中，由，即，解得，即.方法一：由题意可得，点到的距离，，即点到平面的距离为.又平面，所以点到平面的距离为.所以.方法二：连接，由题意得，，所以点到的距离为.因为为的中点，所以三棱锥的高为三棱锥高的，所以.所以.20．已知点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离为2.(1)求抛物线的标准方程；(2)过点向抛物线作两条切线，切点分别为，若直线与直线交于点，且点到直线､直线的距离分别为.求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，求出，即可得解；（2）方法一：设，求导，再根据导数的几何意义分别求出抛物线在点处和在点处的切线方程，再根据两条切线均过点，从而可求得切点坐标，在证明平分，即可得出结论.方法二：设切点为，求导，再根据导数的几何意义求出切线方程，联立方程，根据求出切点坐标，从而可得直线､直线的方程，再结合点到直线的距离公式即可得证.【详解】（1）因为，由题意可得，解得，所以抛物线的标准方程为；（2）方法一：设，由，得，所以抛物线在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，因为两条切线均过点，所以，所以点的坐标均满足，所以，即，解得或，不妨设，则，易知，所以，所以，，所以，所以，所以平分，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，所以，为定值，得证.方法二：设切点为，由，得，所以过点的抛物线的切线方程为，联立方程，消去并整理得，则，解得或，不妨设，则，所以直线的方程为，易知，所以直线的方程为，由，得，即，易得直线的方程为，直线的方程为，所以点到直线的距离，点到直线的距离，所以，则，为定值，得证.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据两切线过同一点求出切点，再证明平分，或者分别求出直线､直线的方程，结合点到直线的距离公式计算.21．已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数有两个不同的零点，求证：.【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求导得，然后即可得到其单调区间；（2）根据题意可得，得，则直线与函数的图像在上有两个不同的交点，然后求导得到，得到其极值从而得到；方法一: 设，将不等式转化为，然后换元，构造即可证明；方法二:由换元法十构造差函数，令，则，即证.【详解】（1）当时，.则.当时，解得，又，所以；当时，解得，或，又，所以.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）函数，令，得.令，则直线与函数的图像在上有两个不同的交点.因为，由，得；由，得.所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以.又，且当时，且，由于是方程的两实根，所以.方法一：不妨设，由，得，两式相减得：，两式相加得：.欲证：，只需证：，即证：，即证.设，则，代入上式得：.故只需证：.设，则，所以在上单调递增，所以，所以.故，得证.方法二（换元法十构造差函数）：不妨设，令，则，即证.设，则.因为，所以在上单调递增，在上单调递减.当时，易得；当时，要证，即证，即证.因为，所以.构造函数，易得.则，所以.又，所以，即.所以在上单调递增，.所以，即.故，得证.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；(2)若直线与轴交于点A，点在曲线上运动，求直线斜率的最大值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据消参法求出曲线的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的转化公式即可求得曲线的极坐标方程，由l的极坐标方程，根据转化公式即可求得直角坐标方程；（2）设直线的斜率为，，则，然后利用直线和圆的位置关系列出不等式，即可求得答案.【详解】（1）因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的普通方程为，整理得，因为，所以曲线的极坐标方程为.因为直线的极坐标方程为，所以，即直线的直角坐标方程为.（2）因为直线，所以直线与轴交于点.因为曲线的方程为，所以曲线表示圆心为，半径为1的圆，设直线的斜率为，，则，整理得，由于过定点，点在圆C：上运动，故，解得，故直线斜率的最大值为.23．若函数的最大值为5．(1)求t的值；(2)已知a>0，b>0，且a+2b=t，求的最小值．【答案】(1)(2)4 【分析】（1）将含有两个绝对值的函数写成分段函数形式，研究各段函数的单调性可得，进而求得t的值.（2）运用“1”的代换及基本不等式可求得结果.【详解】（1）因为t>0，所以，因为在上单调递增，在，上单调递减，且是连续函数，所以，所以.（2）由（1）知，则．因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立．又，所以当，时，取得最小值4．