2023届九师联盟（安徽省）高三下学期3月联考数学试题含解析

2023届九师联盟（安徽省）高三下学期3月联考数学试题

一、单选题

1．若复数满足，则在复平面内的共阨复数所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数除法计算出，再根据共轭复数定义得出，最后确定对应点在复数平面的位置即可．

【详解】由，得，

所以，则其在复平面内其所对应的点为，位于第一象限．

故选：A．

2．已知全集，集合，则集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】计算出，从而根据交集，并集和补集概念计算出四个选项，得到正确答案.

【详解】由题意知，

，

A选项，，A错误；

B选项，，B错误；

C选项，，故，C错误；

所以.

故选：D.

3．在平面直角坐标系中，角的顶点为，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆相交于点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据三角函数的定义求出，再由二倍角公式和诱导公式求出答案.

【详解】因为的终边与圆相交于点，所以，

所以.

故选：B.

4．将半径为6的半圆卷成一个无底圆锥（钢接处不重合），则该无底圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出无底圆锥的半径和高，从而得到圆锥的体积.

【详解】由题意知，所卷成的无底圆锥母线长为6，

设该无底圆锥的底面半径为，高为，则，所以，

所以，所以.

故选：C.

5．计算机是20世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于工作和生活之中，在进行计算和信息处理时，使用的是二进制.已知一个十进制数可以表示成二进制数，且，其中.记中1的个数为，若，则满足的的个数为（    ）

A．126 B．84 C．56 D．36

【答案】A

【分析】根据题意，由条件结合组合的定义即可得到结果.

【详解】由题意得中1的个数为6，因为，所以中1的个数为5，所以满足的的个数为.

故选:A.

6．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（    ）（参考数据：，）

A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15

【答案】D

【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．

【详解】由题意知，

所以，两边取以10为底的对数，得，

所以．

故选：D．

7．已知是抛物线的焦点，过点且斜率为2的直线与交于两点，若，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】法一：设出的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦半径得到，从而列出方程，求出答案；

法二：写成直线的参数方程，代入抛物线方程，利用参数的几何意义得到方程，求出答案.

【详解】法一：由题意知，故的方程为，与的方程联立，

得，显然，设，则，

所以，

又，

所以，

所以.

法二：直线的斜率为2，设其倾斜角为，则，故，

故直线的参数方程为（为参数），代入，

整理得，，显然，

设该方程的两根为，则，

，所以.

故选：.

8．已知函数的定义域关于原点对称，且满足：

（1）当时，；

（2）、且，，

则下列关于的判断错误的是（    ）

A．为奇函数 B．

C．是的一个周期 D．在上单调递减

【答案】D

【分析】利用奇偶性的定义解结合（2）可判断A选项；由奇函数的性质结合（2）可判断B选项；根据（2）以及B选项推导出，可得出，再结合函数周期性的定义可判断C选项；利用（2）结合函数单调性的定义可判断D选项.

【详解】因为、，，

所以为上的奇函数，A对；

因为，所以，

所以，B对；

因为，

所以，

所以是的一个周期，C对；

、，且，则，

因为当时，，所以、、均小于，

又，所以，所以，

所以在上单调递增，D错．

故选：D．

二、多选题

9．甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中，下列判断正确的是（    ）

A．甲城市日均气温的中位数与平均数相等

B．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定

C．乙城市日均气温的极差为

D．乙城市日均气温的众数为

【答案】AD

【分析】根据图表中的数据，计算平均值、极差、众数结合图形即得.

【详解】甲城市的气温分别为，，，，，，；

乙城市的气温分别为，，，，，，．

对于A，甲城市气温的中位数为；平均数为，故A正确；

对于B，根据折线图知乙城市的日均气温更稳定，故B错误；

对于C，乙城市日均气温的极差为，故C错误；

对于D，乙城市日均气温众数为，故D正确．

故选：AD．

10．已知函数，则（    ）

A．为的一个周期 B．的图像关于直线对称

C．在上单调递增 D．的值域为

【答案】ABD

【分析】利用验证法选项AB，在定义区间内化简函数解析式，判断单调性并求值域.

【详解】因为，所以为的一个周期，故A正确；

因为，所以的图像关于直线对称，故B正确；

因为当时，，

，

故在上单调递减，故C错误；

因为在上单调递减，所以在上的取值范围为，

因为关于直线对称，所以在上的取值范围为，

又的周期为，所以在整个定义域上的值域为，故D正确．

故选：ABD．

11．设双曲线的焦距为，离心率为e，且a，c，成等比数列，A是E的一个顶点，F是与A不在y轴同侧的焦点，B是E的虚轴的一个端点，PQ为E的任意一条不过原点且斜率为的弦，M为PQ中点，O为坐标原点，则（    ）

A．E的一条渐近线的斜率为

B．

C．（，分别为直线OM，PQ的斜率）

D．若，则恒成立

【答案】ABC

【分析】由a，c，成等比数列，得且可求得离心率为e，求渐近线的斜率验证选项A；求和的斜率，验证选项B；利用点差法求验证选项C，通过联立方程组计算和的值，验证选项D.

【详解】因为a，c，成等比数列，所以，所以且，解得（负根舍），又，所以，所以，即E的一条渐近线的斜率为，故A正确；

不妨设F为左焦点，B为虚轴的上端点，则A为右顶点，则BF的斜率，AB的斜率，所以，所以，故B正确；

设，，，则，作差后整理得，即，

所以，故C正确；

设直线，则直线，将代入双曲线方程，得，则，

，将k换成得，

则与b的值有关，故D错误．

故选：ABC．

三、单选题

12．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】A选项，构造且，求导得到其单调性，求出，A错误；B选项，构造且，求导得到其单调性，求出；C选项，构造且，求导得到其单调性，证明出；D选项，举出反例即可.

【详解】对于A，令且，则，

故在上单调递增，则，即，

所以，即，故A错误；

对于，令且，则，

故在上单调递增，则，即，所以，故B错误；

对于，令且，则，

故在上单调递增，则，即，

所以，则，故C正确；

对于D，当时，，故D错误.

故选：C.

【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.

四、填空题

13．已知平面向量满足，则夹角的大小为__________.

【答案】

【分析】将两边平方，代入已知条件可得，再根据向量的夹角公式求解即可.

【详解】解：因为，

所以，

因为，

所以，

所以，

又，

所以.

故答案为：

14．已知直线与圆相切，则满足条件的直线的条数为__________.

【答案】2

【分析】由题意可知，直线既与圆相切，又与圆相切，只需判断出两圆的位置关系即可得答案.

【详解】因为原点到的距离到的距离为4，

所以满足条件的既与圆相切，又与圆相切，

故是圆和圆的公切线.

因为，

所以两圆相交，故公切线的条数为2，

即符合条件的直线有2条.

故答案为：2.

15．已知函数且，若曲线在点处的切线与直线垂直，则在上的最大值为__________.

【答案】

【分析】求导，根据两直线垂直得到切线在的斜率为2，得到方程，求出，由是增函数求出，得到的单调性，得到最大值.

【详解】由题意得，所以，

因为切线与直线垂直，而的斜率为，

所以切线斜率为2，即，解得，

所以，且，

显然是增函数，

当时，，

所以在上单调递增，故.

故答案为：

五、双空题

16．在数列中，，，，对，恒成立，则的通项公式为________；若，则数列的前n项和________．

【答案】         

【分析】先运用等差数列公式法求出的通项公式，再求出 的通项公式，用裂项相消法求和.

【详解】由于，，所以成等差数列，又，，

所以的公差， ，

，又，所以，

，

；

故答案为：①，② .

六、解答题

17．已知数列满足，．

(1)求的通项公式；

(2)若，设数列的前n项和，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由数列的递推公式，利用累乘法求数列通项；

（2）利用错位相减法求数列的前n项和，可得结论.

【详解】（1）由及，得，

所以，

当时，有

．

当时，，符合上式，所以．

（2）由（1）得，所以，

所以，

所以，

两式相减，得

，

所以．

因为，所以。

18．在中，角的对边分别为.

(1)求；

(2)若，延长到，使得，当取得最大值时，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化，结合三角恒等变换化简即可得到结果；

（2）根据题意，由余弦定理分别表示出，再结合基本不等式即可得到结果.

【详解】（1）

因为，所以，

所以，

所以，所以，

所以，即，

因为，所以，所以，

又，所以.

（2）在中，；

在中，，

所以.

因为，所以，所以，

当且仅当，即时等号成立.

故当取得最大值时，.

19．2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成绩．某平台为了解观众对该影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取400人进行调查，数据如下表所示（单位：人）：

(1)把列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验分析对该部影片的评价是否与性别有关；

(2)若将频率视为概率，从抽取的400人中所有给出“好评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到的女性观众的人数，求X的分布列和数学期望．

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】(1)表格见解析，认为对该影片的评价与性别有关

(2)分布列见解析，

【分析】(1)首先完成列联表，根据表中的数据做卡方计算；

(2)显然从中随机抽取3人符合n次独立重复试验，运用二项分布公式计算分布列和数学期望.

【详解】（1）列联表补充完整如下：

临界值设为：对该影片的评价与性别无关．

根据列联表中数据，经计算得，

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为对该影片的评价与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005；

（2）从抽取的400人中所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为女性的概率，且各次抽取之间互相独立，故，

所以 ， ，

， ，

故X的分布列为：

所以 ；

综上，（1）与性别有关，（2） .

20．在直四棱柱中，四边形为平行四边形，平面平面.

(1)求证：；

(2)若，探索在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，证明出结论；

（2）建立空间直角坐标系，设出，求出两平面的法向量，根据二面角列出方程，求出的值，得到答案.

【详解】（1）证明：由题意知平面平面，所以.

过在平面内作直线交于点，

因为平面平面，平面平面平面，

所以平面.

又平面，所以.

因为平面，所以平面，

又平面，所以.

（2）由（1）知，因为，所以，

又平面，且平面，所以，

故以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

设，则，故.

平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量，则，

令，则，所以，

所以，解得（负根舍），

所以在棱存在点，使得二面角的大小为，且.

21．已知为椭圆的右焦点，为右顶点，为上顶点，离心率为，直线与相切于点，与轴相交于点（异于点），（为坐标原点），且的面积为.

(1)求；

(2)求的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由离心率得到，表达出；

（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，得到切点坐标，结合与的面积，列出方程组，求出，，得到椭圆方程.

【详解】（1）因为的离心率为，所以，所以，

所以.

（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设其方程为，

由（1）知的方程为，

联立得，，

由题意知，

所以.①

设，则.

因为，所以，化简得.②

又的面积为，所以.③

由①②③得，从而，

所以的方程为.

【点睛】结论点睛：

过圆上一点的切线方程为：，

过圆外一点的切点弦方程为：.

过椭圆上一点的切线方程为，

过双曲线上一点的切线方程为

22．已知.

(1)证明：当时，在上单调递增；

(2)当时，关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）求导，得到导函数大于0恒成立，证明出结论；

（2）变形得到在上恒成立，令，二次求导，求出导函数单调递增，结合，分与两种情况，讨论得到的取值范围.

【详解】（1）证明：因为，

所以，

因为，所以，又，所以，

所以在上单调递增.

（2）当时，，

即

所以，即在上恒成立.

令，则，

令，

则.

因为，所以，所以，

所以在上单调递增，所以.

①当，即时，在上，，即，所以在上单调递增，

所以对，即在上恒成立，符合题意；

②当，即时，，

又，若，则在上，，即，所以在上单调递减，所以，不合题意；

若，则存在，使得，

所以在上，，即，

所以在上，单调递减，所以对不合题意.

综上所述，关于的不等式在上恒成立，实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.