2023届山东省济宁市高考一模数学试题含解析

2023届山东省济宁市高考一模数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接根据交集的定义即可得解.

【详解】因为，

所以.

故选：C.

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算，再计算得到答案.

【详解】，则，.

故选：B

3．已知等差数列的前5项和，且满足，则等差数列{an}的公差为（    ）

A．-3 B．-1 C．1 D．3

【答案】D

【分析】根据题意得到，，解得答案.

【详解】；，解得，.

故选：D

4．从1至6的6个整数中随机取3个不同的整数，其中恰有两个是偶数的概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意概率，计算得到答案.

【详解】从1至6的6个整数中随机取3个不同的整数，其中恰有两个是偶数的概率

.

故选：C

5．若过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的最大值（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直线的倾斜角最大时，直线与圆相切，设直线方程，根据圆心到直线的距离等于半径得到或，解得答案.

【详解】直线的倾斜角最大时，直线与圆相切，此时斜率存在，

圆的圆心为，半径，

设直线方程，即，直线到圆心的距离为，

解得或，当时，倾斜角最大为.

故选：C

6．已知，则（    ）

A．  B． C．  D．

【答案】D

【分析】，代入数据计算得到答案.

【详解】

.

故选：D

7．若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令，利用导数求出函数的单调区间，再分和两种情况讨论，结合复合函数的单调性即可得解.

【详解】令，则，

当或时，，当时，，

所以在和上递减，在上递增，

当时，为增函数，且函数在区间内单调递增，

所以，解得，

此时在上递增，则恒成立，

当时，为减函数，且函数在区间内单调递增，

所以，无解，

综上所述，的取值范围是.

故选：A.

8．已知直三棱柱，为线段的中点，为线段的中点，过的内切圆圆心，且，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ）

A． B．π C． D．

【答案】B

【分析】计算，，过分别作平面，平面的垂线， 两垂线交于点，点为三棱取的外接球球心，计算，，再利用勾股定理得到，计算表面积得到答案.

【详解】如图，为线段的中点，，平面，平面，

故，，平面，故平面，

平面，故，

故，

因为为线段的中点且过的内切圆圆心，

故，即.

所以.

取的中点，连接、，

分别在、上取 、的外接圆圆心、.

过分别作平面，平面的垂线， 两垂线交于点，

则点为三棱取的外接球球心.

在中由余弦定理得：，

所以.

设、的外接圆半径分别为、， 三棱锥的外接球半径为.

，解得，同理，

所以，，

所以三㥄锥的外接球表面积为.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题考查了线面垂直，三棱锥的外接球表面积，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和转化能力，其中，确定过圆心的垂线交点是球心再利用勾股定理求解是解题的关键，此方法是常考方法，需要熟练掌握.

二、多选题

9．某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表：

经计算，则可以推断出（    ）

A．该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为

B．该学校男生比女生更经常锻炼

C．有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异

D．有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异

【答案】BC

【分析】利用频率估计概率得到A错误B正确，确定，得到C正确D错误，得到答案.

【详解】对选项A：该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为，错误；

对选项B：经常体育锻炼的概率的估计值男生为，女生为，正确；

对选项C：，故有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，正确；

对选项D：，故没有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，错误.

故选：BC

10．已知函数，且，则下列说法中正确的是（    ）

A． B．在上单调递增

C．为偶函数 D．

【答案】AC

【分析】利用待定系数法求出，即可判断A；再根据正弦函数的单调性即可判断B；判断的关系即可判断C；求导，再根据辅助角公式即可判断D.

【详解】由，得，

又因，所以，故A正确；

，

由，得，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，

当时，，

所以在上不单调，故B错误；

，是偶函数，故C正确；

，

则，

其中，当且仅当时，取等号，故D错误.

故选：AC.

11．已知函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则下列结论中一定正确的是（    ）

A． B．  C． D．

【答案】ABD

【分析】根据为奇函数可得，根据的图象关于y轴对称可得，两个等式两边同时取导数，可得、，对x赋值，结合选项即可求解.

【详解】因为为奇函数，定义域为R，所以，

故，

等式两边同时取导数，得，即①，

因为的图象关于y轴对称，则，故

，

等式两边同时取导数，得②.

由，令，得，解得，

由，令，得，

由②，令，得，

令，得，解得，

故选：ABD.

12．已知，是椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，，分别是与的离心率，且是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（    ）

A．  B．

C．的最大值为 D．的最大值为

【答案】BD

【分析】根据共焦点得到，A错误，计算，，得到，B正确，设，，代入计算得到C错误，D正确，得到答案.

【详解】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故，错误；

对选项B：，即，，，

故，，故，即，

即，正确；

对选项C：设，，

，若最大值为，则，，

，即，不成立，错误；

对选项D：设，，，

，若最大值为，则，，

，即，，，成立，正确；

故选：BD

【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的离心率相关问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三角换元求最值可以简化运算，是解题的关键.

三、填空题

13．已知平面向量，，若与共线，则______ .

【答案】##1.5

【分析】确定，根据平行得到，解得答案.

【详解】，，则，

，故，解得

故答案为：

14．的展开式中的系数为______（用数字作答）.

【答案】

【分析】确定，展开式的通项为，取，，计算得到答案.

【详解】，

展开式的通项为，

取得到；

取得到；

取得到；

故的系数为.

故答案为：

15．已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是______.

【答案】

【分析】求出函数所过的定点，则有，则，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可.

【详解】函数且的图象过定点，

则，所以，

由，得，

则

令，则，

则

，

当且仅当，即，即时，取等号，

所以的最小值是.

故答案为：.

16．已知函数，若在上有解，则的最小值___.

【答案】

【分析】确定点在直线上，，设，求导得到导函数，确定单调区间计算最值得到答案.

【详解】设函数在上的零点为，则，

所以点在直线上.

设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方，

所以，

设，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

所以，，所以的最小值为.

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求最值，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将转化为点到直线的距离的平方，再利用导数求最值是解题的关键.

四、解答题

17．在中，内角，，的对边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，，求边上的高.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理,得，再结合余弦定理求解即可；

（2）根据条件求出，再利用等面积法求解即可.

【详解】（1），故，

整理得，故，又，故．

（2），即，解得或（舍去），

由，解得.

18．某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.

(1)求关于的经验回归方程；

(2)该市航空公司预计2024年航班正点率为，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数；

(3)根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望.

附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

【答案】(1)

(2)

(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据题中数据利用最小二乘法求出，即可得解；

（2）将代入回归方程即可得解；

（3）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可.

【详解】（1），

则，

所以，

所以；

（2）当时，，

所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为次；

（3）可取，

，，

，，

，

所以分布列为

所以.

19．已知数列的前项和为，且满足：.

(1)求证：数列为常数列；

(2)设，求.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据证明即可；

（2）先求出数列的通项，再利用错位相减法求解即可.

【详解】（1）由，

当时，，

当时，，

两式相减得，

即，所以，

所以，

当时，，上式也成立，

所以数列为常数列；

（2）由（1）得，

所以，

则

，

则，

两式相减得

，

所以.

20．如图，在四棱台中，底面ABCD为平行四边形，平面平面，.

(1)证明：平面；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接交于点，连接，证明四边形为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）根据面面垂直的性质可得平面，从而可得平面，再证明，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）连接交于点，连接，

在四棱台中，因为，

所以且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又平面，平面，

所以平面；

（2）因为，为的中点，

所以，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

又，所以平面，

又在中，，所以，

则，所以，

如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的法向量为，

则有，取，则，

所以，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

21．已知直线与抛物线相切于点A，动直线与抛物线C交于不同两点M，N（M，N异于点A），且以MN为直径的圆过点A.

(1)求抛物线C的方程及点A的坐标；

(2)当点A到直线的距离最大时，求直线的方程.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）联立，根据求出，从而可求得切点；

（2）可设为，联立方程，利用韦达定理求得，再根据以MN为直径的圆过点A，可得，从而可求得的关系，从而可求得直线所过的定点，再由直线与垂直时，点A到直线的距离最大，进而可得出答案.

【详解】（1）联立，消得，

因为直线与抛物线相切，

所以，解得或（舍去），

当时，，解得，所以，

所以抛物线C的方程为，点A的坐标为；

（2）显然直线的斜率存在，

可设为，

由，消得，

则，

，

，

因为以MN为直径的圆过点A，

所以，

即，

整理可得，

所以，

化简得，

所以，

所以或，

即或，

当时，直线，

即，所以直线过定点（舍去），

当时，直线，满足，

即，所以直线过定点，

当直线与垂直时，点A到直线的距离最大，

又，所以，

所以直线的方程为.

【点睛】关键点点睛：本题证直线过定点没有用一般的韦达定理运算进行求解，解题的关键是通过，得到的关系，从而找到定点，属于难题.

22．已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，讨论函数的零点个数.

【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为

(2)答案见解析

【分析】（1）求导得到，根据导函数的正负得到单调区间.

（2）求导得到，确定函数的单调区间，计算和，得到和，考虑，，，，几种情况，计算零点得到答案.

【详解】（1）当时，，

当时，；当时，；当时，，

所以函数的单调增区间为和，单调减区间为.

（2），

令，得或，由于，

当时，；当时，，当时，.

所以函数的单调增区间为和，单调减区间为.

，

令，得，

当时，，又，

所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点；

当时，，又，

所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和；

令，得，

现说明，即，即显然成立.

因为，故，

当时，，又.

所以存在唯一，唯一，唯一，

使得，此时函数有3个零点，

当时，，又.

所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和2 .

当时，，又.

所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点.

综上所述，当时，函数有1个零点；

当时，函数有2个零点；

当 时，函数有3个零点；

当时，函数有2个零点；

当时，函数有1个零点.

【点睛】关键点睛：本题考查了函数的单调性问题，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定函数的单调区间，根据函数值分类讨论确定零点个数是解题的关键，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.