2023届江苏省常州市戚墅堰高级中学高三下学期3月一模模拟数学试题含解析

这是一份2023届江苏省常州市戚墅堰高级中学高三下学期3月一模模拟数学试题含解析，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届江苏省常州市戚墅堰高级中学高三下学期3月一模模拟数学试题

一、单选题
1．已知集合，，则集合的元素个数为（    ）
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】B
【分析】解指数不等式求得集合，解分式不等式求得集合，由此求得集合的元素个数.
【详解】由得，，解得，所以.由解得，所以.所以，共有个元素.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查指数不等式、分式不等式的解法，考查集合元素的判断，属于基础题.
2．设为复数，为虚数单位，关于的方程有实数根，则复数的模的范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设是方程的实数根，易知，则，根据复数的几何意义可得，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】由题意知，设是方程的实数根，
则，若，则，等式不成立，
所以，有，
所以，
当且仅当即时等号成立.
所以的取值范围为.
故选：B.
3．若，，则（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据确定得到，根据得到，得到答案.
【详解】，即，，故，
，故，故，故，
，，故．
故选：D
4．甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ）
A．甲更合算 B．乙更合算
C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算
【答案】A
【分析】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解.
【详解】设两次的单价分别是元/升，
甲加两次油的平均单价为，单位：元/升，
乙每次加油升，加两次油的平均单价为，单位：元/升，
因为，，，
所以，即，
即甲的平均单价低，甲更合算.
故选：A
5．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线关于直线的对称性求出直线AB关于对称的直线方程，结合直线与圆的位置关系计算即可求解.
【详解】由题意知，直线AB的斜率为，
所以直线AB关于对称的直线的斜率为，
故对称直线的方程为，即，
由知，圆心为，半径为1，
因为对称直线与圆有公共点，
所以，整理，得，
解得，即实数a的取值范围为.
故选：A.
6．已知、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则
A． B．4 C．3 D．1
【答案】C
【分析】利用向量的数量积运算可得，利用，进一步利用椭圆的定义可转化为，进而得解.
【详解】连接,设椭圆的基本量为，
,

故答案为：3.

【点睛】本题考查椭圆的定义与平面向量的数量积的运算，属中档题，关键是利用向量的数量积运算进行转化，并结合椭圆的定义计算.
7．意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为，则，，.如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算（    ）

A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】根据图示规律和数列递推关系即可求解.
【详解】从图（2）可得到正三角形的面积等于三个等腰梯形的面积加上小正三角形的面积，
所以，
整理可得，

由此可推断出也可构成以下正三角形，

所以，
整理可得，
所以
故选：B
8．已知不等式的解集为，若中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”，若关于的不等式在区间上存在“和谐解集”，则实数的可能取值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知可得.令，.根据函数的单调性，可得.结合“和谐解集”的定义可知，唯一整数解只能是.进而得到实数的取值范围，即可得出答案.
【详解】当时，原不等式可化为，整理可得；
当时，原不等式可化为，整理可得.
所以不等式可化为.
令，，
则.
所以在上单调递增，在上单调递，所以.
因为，所以.
又.
所以要使只有一个整数解，则唯一整数解只能是.
又因为点，是图象上的点，
所以.
因为， ，，，所以实数的可能取值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：去绝对值后，根据的单调性，即可得到，进而得到，即可得到唯一整数解为.
9．在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似的模拟某种信号的波形，则下列判断中不正确的是（    ）
A．函数为周期函数，且为其一个周期
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的导函数的最大值为4.
【答案】A
【分析】结合函数的周期性、对称性、导数与最值、诱导公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】依题意，
A选项，
，
所以不是的周期，A选项错误.
B选项，
，

，
所以，所以的图象关于点对称，B选项正确.
C选项，
.

.
所以，所以的图象关于直线对称，C选项正确.
D选项，，
由于，
所以，且，
所以的最大值是，D选项正确.
故选：A
【点睛】判断的对称中心、对称轴，可利用代入验证法，即若要判断是函数的对称中心，则有；若要判断直线是函数的对称轴，则有.

二、多选题
10．已知，分别为双曲线的左、右焦点，圆是以双曲线的实轴为直径的圆，过作圆的切线与交于、两点若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据在双曲线的两支或双曲线的一支进行分类讨论，结合圆的几何性质以及双曲线的定义，先求得，然后求得.
【详解】双曲线，则，
圆是以双曲线的实轴为直径的圆，则圆方程为，
当直线与双曲线交于两支时，
设过的切线与圆相切于点，
则，，
因为，所以，
过点作于点，
所以，
因为为的中点，
所以，，
因为为锐角，
所以，
所以，
所以．

当直线与双曲线交于一支时，记切点为，
连接，则，，
过作于，则，
所以，
因为，
所以为锐角，
所以，
所以，
，
所以，
所以，解得，
所以．

综上，或．
故选：AD．
11．已知点是圆锥的顶点，四边形内接于的底面圆，，，，，均在球的表面上，若，，，，球的表面积是，则（    ）
A． B．平面
C．与的夹角的余弦值是 D．四棱锥的体积是
【答案】ACD
【分析】根据球的表面积公式，易得球的半径对于，因为，所以，结合余弦定理及已知条件可求得；对于，利用反证法即可判定；对于，由正弦定理可求得底面圆的直径，进而可求棱锥的高，从而可求，，再利用余弦定理求出与的夹角的余弦值；利用棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积，从而判断．
【详解】设底面圆的半径为，球的半径为，
已知球的表面积是，则，则，
四边形内接于的底面圆，
设，则，
在中，由余弦定理可得，
  ，
在中，由余弦定理可得，
  ，
由可得，即，
所以，代入可得，所以A正确；
，
在中，由正弦定理可得，则，
设棱锥的高为，则，
所以，即与重合，
则，所以，
则中，，，
由余弦定理，，
所以与的夹角的余弦值是，所以C正确；
，所以D正确；
对于选项B，假设平面，
又有平面，平面平面，
则，而四边形中，，，，
显然不成立，故矛盾，
所以平面不成立，
所以B错误．
故选：ACD．
12．已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则满足条件的实数的可能值有（    ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】BCD
【分析】根据题意可得函数无最小值，利用导数分类讨论、时，函数在内最值情况，结合图形判断作答即可.
【详解】函数定义域为，
因为，使得，
则函数在上没有最小值.
对求导得：，
若，当时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，函数值域为，则在内无最小值，因此，.
若，令，，，当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
所以，显然，即，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

当时，有两个根，不妨令，
当或时，，当或时，，
即函数在，上都单调递减，在，都单调递增，
函数在与处都取得极小值，所以，不符合题意.
当时，，当且仅当时取“=”，则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意.
综上得：实数的取值范围是：，所以满足条件的实数的可能值有-1，0，.
故选：BCD.
【点睛】图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数；
将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.

三、填空题
13．过氧化氢（）是一种重要的化学品，工业用途广泛，通过催化和直接合成目前被认为是一种最有潜力替代现有生产方法的绿色环保生产途径.在自然界中，已知氧的同位素有17种，氢的同位素有3种，现有由，及，，五种原子中的几种构成的过氧化氢分子，则分子种数最多为______________.
【答案】18
【分析】由分步乘法计数，再分类加法计数即可求.
【详解】过氧化氢分子中有2个氧原子和2个氢原子，共4个原子.
构成过氧化氢分子的氧原子可以从2种不同的氧原子中选出1种或2种，取法共有（种）；
构成过氧化氢分子的氢原子可以从3种不同的氢原子中选出1种或2种，取法共有（种）.
因此构成的过氧化氢分子的种数最多为.
故答案为：18.
14．过抛物线：焦点的直线交该抛物线于，，若，为坐标原点，则________．
【答案】
【分析】根据给定条件，设，利用抛物线的定义结合图形求解作答.
【详解】解：抛物线的焦点，准线，，
依题意，不妨令点在第一象限，过作于，过作于，过作于，交轴于，如图，

令，则，，
所以，，
因，则有，即，解得，因此，
所以.
故答案为：
15．设，，且，则当取最小值时，______.
【答案】12
【分析】当取最小值时，取最小值，变形可得，由基本不等式和等号成立的条件可得答案．
【详解】解析：∵，，∴当取最小值时，取得最小值，
∵，又，
∴，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴当取最小值时，，，
∴，∴.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．

四、双空题
16．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体外接球表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为______；点N轨迹的长度为______．

【答案】         
【分析】分别算出每一部分的面积，即可求出该多面体的表面积；首先根据题干中找出点N的轨迹，然后代入公式即可求出长度.
【详解】根据题意该正四面体的棱长为，点A，B，M分别是正四面体的棱三等分点.
该正四面体的表面积为
该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，
每个角上小正四面体的侧面积为
每个角上小正四面体的底面积为
所以该多面体的表面积为；

如图，设点为该多面体的一个顶点，
则，.
在中，
则，所以，
，即，同理，
又，平面.
点N是该多面体外接球表面上的动点，由题可知，正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，且总满足，
点N的轨迹是的外接圆.
，，
在中，由余弦定理得，
，
设的外接圆的半径为，由正弦定理得

.
点N的轨迹长度为.
故答案为：；.
【点睛】本题的第一小空利用表面积公式即可求解，第二小空分析出正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，才可以找出点N的轨迹.

五、解答题
17．已知数列的首项，前项和为，，，（）总是成等差数列.
(1)证明数列为等比数列；
(2)求满足不等式的正整数的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)3

【分析】（1）由已知可得，化简得（），则有，两式相减化简可证得结论，
（2）由（1）将不等式化为，然后分为奇数和偶数两种情况求解即可.
【详解】（1）因为，，（）总是成等差数列，
所以（），
整理得（），
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，
（2）由（1）可得，
因为，
所以，
所以，
当为奇数时，，得，解得，
当为偶数时，，得，解得，此时无解
综上得正整数n的最小值为3.
18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足，D为边上的一个点．
(1)若的面积为，，求的长；
(2)若，，求的最大值及此时角C的大小．
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时

【分析】（1）由正弦定理边角互化，结合三角恒等变换得，进而得，再根据的面积得，再利用余弦定理求解即可；
（2）由题知，进而在中利用正弦定理，再根据三角恒等变换得，最后根据三角函数的性质求最大值即可.
【详解】（1）解：∵，
∴
∵
∴
∵，∴，即，
∵，
∴
∵的面积为，
∴
∴
∵，
∴，，
∴，解得.
（2）解：∵由（1）知，
∴为正三角形，从而
在中，由正弦定理得
∴
∴



∵，∴
所以当，即时，
19．如图，在直棱柱中，底面四边形为边长为的菱形，，E为AB的中点，F为的中点.

(1)证明：平面；
(2)若点P为线段上的动点，求点P到平面的距离.
【答案】(1)证明见详解；
(2).

【分析】（1）取BC的中点G，连接FG，EG，，证明平面平面，原题即得证；
（2）连接BD与AC相交于点O，利用求解.
【详解】（1）证明：如图，取BC的中点G，连接FG，EG，.
∵为的中点，E为AB的中点，∴，
因为平面,平面，所以平面.
∵为的中点，F为的中点，∴.
∵直棱柱，∴，
∴，
因为平面,平面，所以平面.
∵，平面，
∴平面平面.
又∵平面，∴平面.

（2）解：如图，连接BD与AC相交于点O，
在中，，同理，
由菱形可知，，
在中，.
设点P到平面的距离为，由平面，可知点到平面的距离也为，
由，可得的面积为，的面积为.
有，，
由，有，可得，
故点到平面的距离为.

20．在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上的重要标语.

(1)在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检.已知批次I的成品口罩生产中，前三道工序
的次品率分别为，，.求批次I成品口罩的次品率.
(2)已知某批次成品口罩的次品率为，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产线后批次J的口罩的次品率.某医院获得批次I，J的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用.经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求，并判断是否有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？
附：

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)
(2)0.01，有

【分析】（1）由批次Ⅰ成品口罩的次品率为求解；
（2）由100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率，利用导数得到的最大值点， 由条形图建立列联表，求得，再与临界值表对照下结论.
【详解】（1）解：批次Ⅰ成品口罩的次品率为
．
（2）100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率．
因此．
令，得．
当时，；当时，．
所以的最大值点为．
由（1）可知，，，故批次口罩的次品率低于批次Ⅰ，
故批次的口罩质量优于批次Ⅰ．
由条形图可建立列联表如下：
核酸检测结果
口罩批次
合计


呈阳性
12
3
15
呈阴性
28
57
85
合计
40
60
100


．
因此，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关．
21．如图，抛物线：，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，满足，过抛物线准线上一点，作抛物线的切线，，且与抛物线交于点.

(1)求抛物线的方程；
(2)记的面积为，的面积为.求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）设则，联立抛物线方程，应用韦达定理及向量数量积的坐标表示列方程求参数p，即可得方程.
（2）设，联立抛物线有求参数关系，进而确定坐标，再写出直线方程并联立抛物线求坐标，写出直线方程，应用点线距离公式、三角形面积公式得到关于参数的表达式，即可求范围.
【详解】（1）设，，则，
联立，
，

（2）设，
联立，
，
，可得，
，联立，
，
，而，
若分别表示到直线的距离，
则


，故.
22．已知函数.
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)已知在上的最大值为，讨论关于x的方程在内的根个数，并加以证明.
【答案】(1)
(2)关于x的方程在内有两个不相等的实数根，证明见解析

【分析】（1）由函数解析式，求导，并求出该点处的函数值与导数值，根据切线方程的求法，可得答案；
（2）由（1）分三种情况，求最值，建立方程，求得参数，分与，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理，可得答案.
【详解】（1）因为，所以，而
，所以的图象在处的切线方程为，即.
（2）当时，有，则.
当时，，不符合题意；
当时，，则在上单调递减，即，不符合题意；
当时，，则在上单调递增，
即，解得.
令，则在上单调递增.
因为，所以在内存在唯一的零点.
当时，，
令，则，
所以当时，有，则，即在上单调递减，
因为，
所以在内存在唯一零点，即，
所以当时，，即在上单调递增，
所以有，即在内无零点，
当时，，所以在上单调递减.
因为，所以在内有且仅有一个零点.
综上，关于x的方程在内有两个不相等的实数根.
【点睛】利用导数研究函数问题时，对于导数的处理，一般采用分解因式与再次求导研究导函数单调性与最值两种方程，采用再次求导时，往往需要设一个零点，即为导函数极值点，求得导函数最值，可得原函数的单调性.