2023届陕西省西安市周至县高三下学期二模数学（理）试题含解析

这是一份2023届陕西省西安市周至县高三下学期二模数学（理）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省西安市周至县高三下学期二模数学（理）试题 一、单选题1．已知全集，，，则集合（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据补集、交集的定义计算可得.【详解】解：因为全集，，，所以，；故选：C2．设复数满足，则复数的虚部是（    ）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】根据复数模的计算以及复数的除法运算，求得复数，即可得答案.【详解】复数满足,即，所以，故复数的虚部是，故选：C3．若非零向量满足，则必有（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】非零向量满足，应用特殊值法可以判断A，C，D选项；根据垂直向量的数量积为0判断B选项即可。【详解】,故B选项正确;且满足上式则,故A错误；,故C错误；, 故D错误；故选:B.4．已知数据是某市个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入，组成个数据，则下列说法正确的是（    ）A．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大C．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变小D．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变【答案】B【分析】根据题意，由平均数，中位数以及方差的定义，即可得到结果.【详解】因为数据是某市个普通职工的年收入，而是世界首富的年收入，则会远远大于，故这个数据中，年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，也可能稍微变大，由于数据的集中程度也受到比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选:B5．“双碳”战略倡导绿色、环保、低碳的生活方式.2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，为了实现这一目标，中国持续推进产业结构和能源结构调整，大力发展可再生能源，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位:A·h），放电时间t（单位:h）与放电电流I（单位:A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流I=15A时，放电时间t=28h，则当放电电流I=10A时，放电时间为（    ）A．14h B．28.5h C．29h D．56h【答案】D【分析】根据给定的条件，列出方程，结合指数、对数运算计算作答.【详解】，因为电池容量不变，则有，即有，所以当放电电流I=10A时，放电时间为56h.故选：D6．是的（    ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】解得或，故选：.7．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定函数的图象，利用“五点法”作图求出函数的解析式，再代入求值作答.【详解】观察函数图象得，函数的周期，则，而，即，则有，因此，即有，所以.故选：C8．折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则､d和所满足的恒等关系为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先用表示出d和，进而求得的值.【详解】过点O作于D，则，则，则故选：A9．如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（    ）A．平面B．存在点，使平面C．存在点，使D．【答案】D【分析】当与重合时，平面，即可判断A；设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，可得坐标，由可知与不垂直，即可判断B；若，则，列方程组求解可判断C；由可判断D.【详解】当与重合时，又平面，则平面，故A错误；设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，又，∴，，则，∴，∵，，∴与不垂直，而平面，则与平面不垂直，故B错误；，若，则，则，此方程无解，故不存在点，使，故C错误；∵，，，∴，故D正确．故选：D．10．某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形，经测量，其长度分别为、、，则（    ）A．能作出一个锐角三角形 B．能作出一个直角三角形C．能作出一个钝角三角形 D．不能作出这样的三角形【答案】C【分析】计算出三角形三边的比值，并计算出三角形中最大角的余弦值，可得出结论.【详解】设高分别为、、对应的底边长分别为、、（单位：），则，设，则，，由三角形三边关系可知，这样的三角形存在，设该三角形的最大内角为，则，则为钝角，故能作出一个钝角三角形.故选：C.11．已知是抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为6.若过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则（    ）A．18 B．17 C．16 D．15【答案】B【分析】由抛物线的定义得出，再由导数的几何意义得出这两条切线的方程，再联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理以及抛物线的定义求解.【详解】由抛物线的定义得，， 易知点不在抛物线上，设切点、,抛物线的方程为：，抛物线在处的切线方程为，将代入可得， ，同理：抛物线在处的切线方程为，直线的方程为，，故选：B12．已知，，，则（    ）A．   B．   C．   D．  【答案】A【分析】根据，的特征，要比较二者大小，可作差，由此构造函数，利用其单调性比较大小，同理，和比较，构造函数，利用单调性比较 ，的大小.【详解】设，则，故单调递减，故，由， 设函数，则，当时，，递减，当时，，递增，故，即，当时取等号，由于 ，故，即，故，故选：A.【点睛】本题考查了数的大小比较问题，考查了构造函数，利用导数判断函数的单调性，解答的关键是明确解答思路，能根据数的特点构造恰当的函数，从而利用导数判断函数单调性，比较大小. 二、填空题13．双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为__________.【答案】【分析】根据实轴长为4求出，再根据焦点在轴上的双曲线渐近线方程，即可求解.【详解】根据实轴长为4，知，解得，又因为双曲线的焦点在轴上，因此该双曲线的渐近线方程为，即.故答案为：14．若 满足约束条件，则的最小值为__________.【答案】【分析】作出线性约束条件表示的可行域，根据线性规划的几何意义即可求得答案.【详解】由题意作出约束条件表示的可行域（如图阴影部分），平移直线，当移动后的直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取最小值；联立，解得，将代入可得，即的最小值为，故答案为：15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“现在有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为______平方尺．【答案】【解析】由题意可知，此阳马的外接球半径等于以底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺的长方体的外接球半径，即半径为长方体体对角线的一半,求出半径，然后得出表面积.【详解】根据该几何体的特点可知，此阳马的外接球半径等于以底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺的长方体的外接球半径，则外接球半径，所以外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】常见的空间几何体的外接球半径计算方法如下：（1）长方体的外接球半径：(其中分别为长方体的长、宽、高)；（2）直棱柱的外接球半径：(其中为棱柱的高，为直棱柱底面外接圆的半径).16．函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过的最大整数，例如，已知函数，且，若的图像上恰有3对点关于原点对称，则实数的最小值为__________.【答案】##【分析】根据题意，画出函数的图像，转化为两函数图像有3个交点，数形结合，列出不等式，即可求得结果.【详解】根据题意，作出函数，且，的图像，如图所示，要使的图像上恰有3对点关于原点对称，则函数与的图像恰有3个交点，则，解得，所以实数的最小值为，故答案为:【点睛】方法点睛：解答此题要根据函数解析式的特征作出图象，采用数形结合的方法，将原问题转化为函数图象的交点个数问题，即可解决. 三、解答题17．在①；②，；③，.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整后的题目.问题:已知为等差数列的前项和，若__________.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2) 【分析】（1）若选①，利用与关系可推导得到；若选②，利用等差数列通项公式可构造方程求得公差，进而得到；若选③，利用等差数列求和公式可构造方程求得公差，进而利用等差数列通项公式求得；（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得.【详解】（1）若选条件①，当时，；当且时，；经检验：满足；；若选条件②，设等差数列的公差为，则，解得：，；若选条件③，设等差数列的公差为，则，解得：，.（2）由（1）得：，.18．某学校在假期安排了“垃圾分类知识普及实践活动”，为了解学生的学习成果，该校对全校学生进行了测试，并随机抽取50名学生的成绩进行统计，将其分成以下6组：，整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a的值；(2)若将频率视为概率，从全校成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示这3人中成绩在中的人数，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，1 【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形面积之和等于1，即可求得a的值；（2）确定随机变量X服从于二项分布，根据二项分布的概率计算以及期望公式，即可求得答案.【详解】（1）由题意得：，解得.（2）成绩在与的学生比例为，从全校成绩在80分及以上的学生中抽取1人，此人成绩在的概率为，抽取3人，成绩在中的人数为，，则，的分布列如下：0123 .19．在如图所示的多面体中，平面，四边形为矩形.(1)求证：平面平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2). 【分析】（1）由线面平行的判定证平面、平面，再由面面平行的判定证结论；（2）证两两相互垂直，构建空间直角坐标系并求面法向量、，应用向量夹角坐标表示求线面角.【详解】（1）由平面平面，所以平面，四边形为矩形，则，平面平面，所以平面，又平面平面，平面平面.（2）由平面，平面，则，又，所以两两相互垂直，以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，得，，即直线与平面所成角的正弦值为.20．如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，的中点为.设为原点，射线交椭圆于点.当四边形为平行四边形时，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据离心率以及焦距即可求解方程，（2）联立直线与椭圆的方程得到韦达定理，利用向量的坐标匀速即可代入坐标求解.【详解】（1）由题意得椭圆的半焦距，又，则，，椭圆的方程为.（2）由（1）得椭圆的方程为，由题意得直线的方程为，即，联立消去得，设，则.四边形是平行四边形，设，则，即，，又，即，解得21．已知函数.(1)讨论的零点个数；(2)若有两个零点，，求证：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用导数可求出的最小值为，讨论最小值与0的大小结合零点存在性定理可解决问题；（2）由（1）可得，在区间上单调递增，则与2的大小关系，等价于与的大小关系，即与的大小关系，又注意到，故利用导数研究函数的单调性即可.【详解】（1）.因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.当，即时，的零点个数为0.当，即时，的零点个数为1.当，即时，注意到，.下面证明.设，所以，由解得；由解得.则在单调递增，单调递减，所以，即.所以，所以.因此，，，使得，所以此时的零点个数为2.综上，当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.（2）证明：（证法一）由（1）可知，当时，函数有两个零点，且.令，，则.当时，，所以在区间上单调递增，所以.所以.因为，所以.又由（1）可知，在区间上单调递增，所以，故.（证法二）由，得则.由对数平均不等式，得，所以，所以.又，所以.【点睛】关键点点睛：本题涉及讨论函数零点与双变量问题，难度较大.（1）讨论零点常利用导数结合零点存在性定理或数形结合，本题采用第一种方法，难点在于取点；（2）该问为极值点偏移问题，常利用构造差函数或利用消元将双变量变为单变量.22．已知圆C的极坐标方程为，直线l的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C的圆心坐标及半径；（2）直线l与圆C的交点为A，B，求三角形ABC的面积.【答案】（1），2；（2）2.【分析】（1）将圆C的极坐标方程化为圆的标准方程，即可得出圆C的圆心坐标及半径；（2）利用极经的应用和三角形的面积公式即可得出答案.【详解】（1）圆的极坐标方程为，所以，根据得直角坐标方程为.所以圆的圆心坐标为，半径为2.（2）直线的极坐标方程为.所以，整理得，所以，.所以.由于为等腰三角形.所以弦上的高，所以.23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为，且实数满足，求证：.【答案】(1)或(2)证明见解析 【分析】（1）用“零点”分段法去绝对值，转化成不等式组进行求解，即可求出不等式的解；（2）由条件知：，又，利用重要不等式，可证明结论成立.【详解】（1）或或或或，即或，所以不等式的解集为或.（2）证明：由（1）知，则.，，当且仅当时取等号，.