2023届河北省张家口市逐鹿中学高三4月第二次模拟考试数学试题含答案

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张家口市2023年高三年级第二次模拟考试

数学试题

注意事项：

班级姓名

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知复数在复平面上对应的点为，则（    ）

A.1    B.-1    C.    D.

3.已知点为圆上的动点，则直线与圆的位置关系为（    ）

A.相交    B.相离    C.相切    D.相切或相交

4.已知向量，若，则实数的值为（    ）

A.0    B.1    C.-1    D.

5.2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周期之比约为，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：.数列满足，其前项和为，则（    ）

A.1024    B.2048    C.1023    D.2047

8.已知函数，若曲线上存在点使得，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.中央广播电视总台《2023年春节联欢晩会》以温暖人心的精品节目､亮点满满的技术创新､美轮美奂的舞美效果为全球华人送上了一道红红火火的文化大䝳.某机构随机调查了18位观众对2023年春晩节目的满意度评分情况，得到如下数据：，.若恰好是这组数据的上四分位数，则的值可能为（    ）

A.83    B.84    C.85    D.87

10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若恒成立，则（    ）

A.函数的最小正周期为

B.函数的图象的对称中心为

C.函数在上的最小值为1，最大值为

D.函数的极小值点为

11.已知在棱长为1的正方体中，点为下底面上的动点，则（    ）

A.当在对角线上运动时，三棱锥的体积为定值

B.当在对角线上运动时，异面直线与所成角可以取到

C.当在对角线上运动时，直线与平面所成角可以取到

D.若点到棱的距离是到平面的距离的两倍，则点的轨迹为椭圆的一部分

12.设函数在区间上有定义，若，使得对于在区间上的任意，当时，恒有，则称函数在区间上一致连续.也就是说，若函数在区间上一致连续，对于区间内任意，只要充分接近，那么与也能够充分接近，则下列结论正确的是（    ）

A.函数在区间上一致连续

B.函数在区间上一致连续

C.函数在区间上一致连续

D.函数在区间上一致连续

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知的展开式的各二项式系数的和为64，则常数项为__________.（用数字作答）

14.函数的最小值为__________.

15.已知抛物线与轴的交点分别为，点的坐标为，若过三点的圆与轴的另一个交点为，则__________.

16.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知数列的首项为其前项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求证：.

18.（本小题满分12分）

在锐角中，角所对的边分别为，若.

（1）求；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，分别为的中点，平面与底面的交线为.

（1）证明：平面.

（2）若三棱锥的体积为，试问在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角为，异面直线所成角为，且满足？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.

20.（本小题满分12分）

已知甲盒中装有大小质地完全相同的3个白球､2个红球，乙盒中装有大小质地完全相同的4个白球､1个红球.

（1）从甲､乙两盒中各任取两个球，记取出的球中红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望；

（2）先从甲盒中任取两个球放入乙盒，再从乙盒中任取两个球，求从乙盒中取出两个白球的概率.

21.（本小题满分12分）

已知双曲线的一条渐近线为，右焦点为.

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点作直线交双曲线的右支于两点，点满足，求证：存在两个定点，使得为定值，并求出这个定值.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若函数为其定义域上的单调函数，求实数的取值范围；

（2）若函数的极值点为，求证：.

张家口市2023年高三年级第二次模拟考试

数学参考答案

13.-160 

14.1 

15.1 

16. 

17.解：（1）由题意，当时，.

当时，.又，

所以，当时，有，即.

这表明从第二项起，数列是以为首项的常数列，即.

所以，数列的通项公式为

（2）由（1）可得，.

当时，，

所以，.

综上所述，对，都有.

[命题意图]本题考查利用递推关系确定数列的通项公式以及数列求和方法，考查学生的逻辑推理能力和数学运算素养.

18.解：（1）由，得，

即，

又，所以.

因为，所以，.

（2）由题意可得恒成立.

由余弦定理可得，于是，.

所以，则，

由正弦定理得.

在锐角中，，则，且，故，

所以，所以

因此，，

于是，.所以，实数的取值范围是.

[命题意图]本题考查利用正弦定理､余弦定理解三角形问题，考查边元结构的取值范围，考查学生的逻辑推理和数学运算素养.

19.解：（1）由题意可得，，又平面平面，所以，平面.

又平面，平面与底面的交线为，所以，.

从而，，而平面平面，所以，平面.

（2）由（1）可知，在底面内过点作的平行线，即平面与底面的交线.

由题意可得，即.

故的面积.

设，点到平面的距离为，则，于是.

注意到侧面是边长为2的正三角形，取的中点记为，连接，则，

从而平面.

取的中点记为，连接，则.

于是，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，

则，设.

于是，.设平面的法向量为，则，

，即取，，则，即.

又直线与平面所成角为，于是，

而异面直线所成角为，于是，

假设存在点满足题设，则，整理得.

所以，这样的点存在，且有.

[命题意图]本题考查立体几何中的面与面的交线､线面平行､线面垂直､线面角与异面直线所成角的计算，考查学生的逻辑推理能力和数学表达能力.

20.解：（1）由题意可得，随机变量的所有可能取值为.

表示从甲､乙两盒中取出的都是白球，故；

表示甲盒中取出1个白球1个红球､乙盒中取出2个白球或甲盒中取出2个白球､乙盒中取出1个白球1个红球，故；

表示从甲盒中取出2个红球､乙盒中取出1个白球1个红球，故.

于是，.

所以，随机变量的分布列为

数学期望为.

（2）设事件：从甲盒中取出两个红球，事件：从甲盒中取出两个白球，事件：从甲盒中取出一个红球一个白球，事件：从乙盒中取出两个白球.

则两两互斥，且.

且

于是

所以，从甲盒中任取两个球放入乙盒后，从乙盒中取出两个白球的概率为.

[命题意图]本题考查概率与统计的综合应用，考查随机变量的分布列和期望的计算以及复杂事件的全概率公式，考查学生的逻辑推理和数学运算素养.

21.解：（1）由题意可得，即.

又，即，所以，.

因此，双曲线的方程为.

（2）设点，设直线的方程为，

与双曲线的方程联立，整理得，

则，整理得.

由根与系数的关系得，于是，

注意到，于是，解得.

又点满足，即整理得

于是消去得.

因此，点的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，

由双曲线的定义可知，存在两个定点，使得.

[命题意图]本题考查双曲线的定义､几何性质､直线与双曲线的位置关系以及动点轨迹，考查学生的逻辑推理､数学抽象和数学运算素养.

22.解：（1）函数的定义域为.

由题意，.

若函数为上的单调函数，则在上恒非正或恒非负.又为开口向上的抛物线，从而知在上恒非正，

即在上恒成立，于是，，解得，.

所以，函数为上的单调递减函数时，实数的取值范围是.

（2）若函数的极值点为，则是方程的两个不等正实根，从而，解得

不妨设，则，且在上单调递减，在上单调递增，从而为极大值点，为极小值点.

因此，.

所以，原不等式等价于，

整理得其中.

设，则，且，

则不等式等价于，其中，

整理得，其中，

即，其中，

设，由，得，

即函数在上单调递增，在上单调递减，

于是，当时，取得最大值0，从而，，当且仅当时取等号.

而，所以，其中.

所以，原不等式成立，即.

[命题意图]本题考查函数与导数的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性，证明函数极值满足的含参不等式问题，考查学生的逻辑推理､数学建模和数学运算素养.