2023届中学生标准学术能力诊断性测试高三下学期3月测试数学试题含解析

这是一份2023届中学生标准学术能力诊断性测试高三下学期3月测试数学试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届中学生标准学术能力诊断性测试高三下学期3月测试数学试题

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合指数函数的单调性、集合交集的定义进行求解即可.
【详解】，则，
，则，
因此，
故选：A
2．设是纯虚数，若是实数，则的虚部为（    ）
A． B． C．1 D．3
【答案】D
【分析】设，代入并化简，再结合是实数求解即可.
【详解】设，
则，
因为是实数，
所以，即，
所以，故的虚部为3.
故选：D.
3．已知函数，则“函数是偶函数”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用必要不充分条件的概念，结合三角函数知识可得答案.
【详解】因为，
若函数是偶函数，则，即 ，又，故或，
若，则为偶函数，
所以“是偶函数“是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．若圆上有四个点到直线的距离为，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将圆上有四个点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离，从而利用点到直线的距离公式求出结果.
【详解】因为圆的方程为，所以圆心为，半径为，
又圆上有四个点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离，
所以，即，得到
故选：D.
5．若是9的倍数，则自然数n为（    ）
A．4的倍数 B．3的倍数 C．奇数 D．偶数
【答案】C
【分析】将化简为，由此可得选项.
【详解】因为
，
又是9的倍数，
∴为偶数，即为奇数．
故选：C.
6．现将0－9十个数字填入下方的金字塔中，要求每个数字都使用一次，第一行的数字中最大的数字为a，第二行的数字中最大的数字为b，第三行的数字中最大的数字为c，第四行的数字中最大的数字为d，则满足的填法的概率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：先填第四行：取这10个数中最大数作为，剩余位置任取3个数填入；填第三行：取剩余6个数中最大数作为，剩余位置任取2个数填入；填第二行：取剩下3个数中最大数作为，剩余位置任取1个数，最后剩下的1个数作为，即可求出所有满足要求的情况，根据古典概型公式计算即可．
方法二：分别讨论最大的数在第4行，前3行中最大的数在第3行，前2行中最大的数在第2行的概率，然后由相互独立事件的概率乘法公式可得．
【详解】方法一：
由题可知，
第四行：，可选位置有4个，其余位置任取3个数，共有种情况；
第三行：取剩下6个数中最大的数为，可选位置有3个，其余位置任取2个数，共有种情况；
第二行：取剩下3个数中最大的数为，可选位置有2个，其余位置任取1个数，共有种情况；
第一行：最后1个数作为，
所有满足的填法共有种情况，位置不限的情况共有种，
故满足填法的概率为：，
方法二：
最大的数在第4行的概率，
在前3行中，最大的数在第3行的概率，
在前2行中，最大的数在第2行的概率，
则的概率，
故选：C．
7．在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接，当二面角的平面角的大小为时，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中点为，证明，取的中点为，证明，根据二面角的定义证明，根据球的截面性质确定三棱锥外接球的球心位置，解三角形求球的半径，由此可得三棱锥外接球的表面积
【详解】由已知，E是AB的中点，
所以，又，，
所以为等腰直角三角形，故为等腰直角三角形，
取的中点为，则，
因为，又，，所以
同理可得，又，
所以，取的中点为，连接，
则，所以，
所以为二面角的平面角，
所以，
因为，，，
所以为等边三角形，取的中点为，则，
因为，，，平面，
所以平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，
因为为直角三角形，为斜边，
所以，所以为的外接圆的圆心，
设为三棱锥外接球的球心，则平面，
设，三棱锥外接球的半径为，
则，
若球心和点位于平面的两侧，
延长到点，使得，
因为平面，平面，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，，
所以，
所以，
所以，，
所以三棱锥外接球的表面积，

若球心和点位于平面的同侧，
因为平面，平面，所以，
过点作，则四边形为平行四边形，
所以，，
所以，
所以，
所以，舍去 ，

故选：A.
【点睛】关键点点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，作出合适的截面图，解三角形确定球的半径.
8．已知且，若集合，，且Ü，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出集合B，再由给定条件，对a分类讨论，利用数形结合及构造函数的方法，利用导数探讨函数最小值求解作答.
【详解】依题意，，，且Ü，
当时，作出函数与的大致图象，

则，即，
所以，即；
当时，设，
若，，则恒成立，，满足Ü，
于是当时，Ü，当且仅当，即不等式对成立，
，由得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
于是得，即，变形得，解得，
从而得当时，恒成立，，满足Ü；
综上，实数a的取值范围是或.
故选：B.
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.

二、多选题
9．设，，满足，下列说法正确的是（    ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为1
【答案】AC
【分析】根据进行计算可判断A；利用“1”的妙用及基本不等式计算可判断B；将变形为，再根据二次函数的性质求最小值可判断C；利用将变形为，然后结合的范围可判断D.
【详解】因为，，所以，所以，所以，当且仅当即时取等号，则的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当即时取等号，所以的最小值为，故B错误；
因为，所以，
因为，所以，故当时，取最小值为，故C正确；
因为，且，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为，故D错误．
故选：AC.
10．已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（    ）
A． B．
C．的最大值为 D．的前10项和为
【答案】BCD
【分析】先根据题干条件算出等差数列的通项公式，然后逐一分析每个选项即可.
【详解】根据等差中项，，解得，，解得，设等差数列的公差为，则，于是等差数列的通项公式为：，故A选项错误；
根据等差数列前n项和公式，，B选项正确；
根据B选项可知，，最大值在取得，故C选项正确；
，故的前10项和为：，D选项正确.
故选：BCD
11．已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，，的面积S满足，点O为的外心，满足，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】已知，结合余弦定理化简求得，再利用三角形面积公式求出，即可判断A；根据平面向量的混合运算法则，计算的值即可判断B；先利用余弦定理求出a的值，再根据正弦定理即可判断C；根据平面向量的混合运算法则，列方程组求出和的值，即可判断D.
【详解】解：对于A，已知，则，
由余弦定理可知，所以，即，
等号两边同时平方，可得，
则，即，
因为，所以，
则，即，
因为，则，
，A选项正确；
对于B，，
因为点O为的外心，所以，，
则，B选项正确；
对于C，由余弦定理，
由正弦定理，则，C选项错误；
对于D，因为，则，
即，所以①，
同理，
即，所以②，
联立①②，解得，，D选项正确；
故选：ABD.
12．已知，是椭圆上两个不同点，且满足，则下列说法正确的是（    ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】AD
【分析】设，设，可得，,可得两点均在圆的圆上，且，根据点到直线的距离公式及圆的性质可得及的最值，可得答案.
【详解】由，可得，又，是椭圆上两个不同点,
可得，设，则，
设,O为坐标原点，可得，,
可得，且，
所以，，又，
可得两点均在圆的圆上，且，
设的中点为，则,

根据点到直线的距离公式可知：为点两点到直线的距离之和，
设到直线的距离，由题可知圆心到直线的距离为，
则，
可得的最大值为，的最小值为；
可得，可得的最大值为，最小值为，故A正确，B错误；
同理，为点两点到直线的距离之和，
设到直线的距离，由题可知圆心到直线的距离为，
则，，
可得，可得的最大值为，最小值为，故C错误，D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是把问题转化为圆上点到直线的距离问题，结合到直线的距离公式及圆的性质即得.

三、填空题
13．已知点M为抛物线上的动点，点N为圆上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为______..
【答案】##
【分析】利用抛物线的定义可得点到y轴的距离即为点到焦点的距离减去2，进而利用圆的性质即得.
【详解】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
由抛物线的定义可知点M到y轴的距离即为，
圆的圆心坐标为，半径为，
故点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和，
根据圆的性质可知点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为.
故答案为：.
14．已知为上的偶函数，函数在上单调递增，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】由题可得函数为偶函数且在上单调递增，进而可得，解之即得.
【详解】因为为上的偶函数，函数，
所以，即函数为偶函数，
由，可得，
即，又函数为偶函数且在上单调递增，
所以，解得，即原不等式的解集为.
故答案为：.
15．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的六位数，要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字，则符合要求的六位数的个数有______个.
【答案】108
【分析】根据偶数所在位置将满足要求的6位数分为几类，利用排列知识和分步乘法计数原理求出各类的元素个数，
再由分类加法计数原理求满足要求的所有六位数的个数.
【详解】满足要求的六位数按照偶数数字所在的位置可以分宜以下几类：
第一类：0,2,4排在从左至右的第一位，第三位，第五位，
先排第一位有两种排法，再排第三位和第五位有种排法，再将奇数排在第二，四，六位有种排法，
所以第一类包含的六位数的个数为，
第二类：0,2,4排在从左至右的第一位，第三位，第六位，
先排第一位有两种排法，再排第三位和第六位有种排法，再将奇数排在第二，四，五位有种排法，
所以第二类包含的六位数的个数为，
第三类：0,2,4排在从左至右的第一位，第四位，第六位，
先排第一位有两种排法，再排第四位和第六位有种排法，再将奇数排在第二，三，五位有种排法，
所以第三类包含的六位数的个数为，
第四类：0,2,4排在从左至右的第二位，第四位，第六位，
先排偶数数字有种排法，再将奇数排在第一，三，五位有种排法，
所以第四类包含的六位数的个数为，
由分类加法计数原理可得满足条件的六位共有个.
故答案为：108.
16．若关于x的不等式对任意的恒成立，则整数k的最大值为______.
【答案】1
【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得.
【详解】因为对于任意恒成立，等价于对于任意恒成立，
令，，则，
令，，则，
所以在上单调递增，又，
所以在有且仅有一个根，满足，即，
当时，，即，函数单调递减，
时，，即，函数单调递增，
所以，
由对勾函数可知，即，
因为，即，，，
所以.
故答案为：1.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.

四、解答题
17．在数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由可得，进而得证数列是首项为，公比为的等比数列，再根据等比数列的通项公式即可求解；
（2）由，可得，设，利用错位相减法求和即可得证.
【详解】（1），
，
即.
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
从而，
则.
（2）证明：，
，
设，
则，
两式相减得：，
即.
从而，
故.
18．已知的内角的对边分别为 ，且.
(1)求角B；
(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求值，可得答案.
（2）根据三角形的面积之间的关系，即，可得，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由已知及正弦定理得：，
又在中，,
∴，
即，
又，∴,
又，∴，即角B的大小为.
（2）∵.
是的角平分线，而，
∴，
即，∴.
∵，∴，
∵，∴，即,
当且仅当时取等号，则，
即的面积的最小值为.
19．如图所示，在三棱锥中，满足，点M在CD上，且，为边长为6的等边三角形，E为BD的中点，F为AE的三等分点，且.

(1)求证：面ABC；
(2)若二面角的平面角的大小为，求直线EM与面ABD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).

【分析】（1）在BE上取一点N，使得，由题可得，，根据线面平行及面面平行的判定定理可得面面ABC，进而即得；
（2）根据面面垂直的判定定理可得面面AEC，过点C作，则面ABD，根据条件可得C到面ABD的距离及M到面ABD的距离，然后利用余弦定理可得EM，进而即得.
【详解】（1）在BE上取一点N，使得，连接FN，NM，

∵，∴，，，
∵，∴，
则，又面ABC，面ABC，
∴面ABC，
∵，∴.
∵面ABC，面ABC，∴面ABC，
∵，面FNM，
∴面面ABC，又面FNM，
∴面ABC；
（2）∵，，
所以二面角的平面角为.
又∵，面AEC，
∴面AEC，∵面ABD，
∴面面AEC，
∵面面，在面AEC内过点C作于H，则面ABD，
则.
∵，
∴，即C到面ABD的距离为，
∵，∴M到面ABD的距离为.
计算EM：，
在中，，，
∴.
∴EM与面ABD所成角的正弦值为.
20．为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.
(1)根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？

感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12


女生

5

合计


30

(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.
附：，其中.

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)表格见解析，没有85%的把握；
(2)分布列见解析，.

【分析】（1）由题可得列联表，根据列联表可得进而即得；
（2）由题可得X的取值，然后利用古典概型概率公式求概率，进而可得分布列，再利用期望公式即得.
【详解】（1）列联表如下：

感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12
4
16
女生
9
5
14
合计
21
9
30

，
所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；
（2）由题意可知X的取值可能为0，1，2，3，
则，
，
，
，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P





.
21．已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)为定值

【分析】（1）根据双曲线渐近线可设双曲线方程为，利用焦点坐标，求得，即得答案.
（2）设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，求得，以及的中点坐标，求出的中垂线方程可得T点坐标，继而求得，化简即可得结论.
【详解】（1）因为双曲线C以为渐近线，
设双曲线方程为，即,
∵，∴，即：，
∴，∴，即.,
所以双曲线C的方程为：.
（2）由题意可知直线l一定有斜率存在，设直线l：，，，
，
化简得：，，
此方程的两根为，则，
∴

.，
中点M坐标为，即，
∴PQ中垂线方程为：，
令，∴，∴，
则，
∴，即为定值，定值为.
【点睛】难点点睛：解答此类直线和双曲线的位置关系类题目，涉及到定值问题，要设出直线方程并联立双曲线方程，结合根与系数的关系式进行化简，解答的难点是计算比较复杂，计算量较大，比如计算弦长或者其他线段长度，计算要十分细心.
22．设.
(1)求的单调性，并求在处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)递增区间为，递减区间为，
(2)

【分析】（1）利用函数单调性间与导数的关系，可直接求出单调增区间和单调减区间；再由导数的几何意义，求出函数在处的导数值，即切线的斜率，从而求出切线方程；
（2）恒（能）成立问题，转化求函数的最值，再利用的函数的单调性，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以，
由得到，由，得到，
所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为.
当时，，
所以切点为，又，
∴在处的切线方程为：
，即.
（2）由，即，
所以，
∵，∴，∴，
由（1）可知在上单调递减，
下证：，
即证：在恒成立，
令，则，
∴在上单调递增，
又∵，∴.
∴，
∵在上单调递减，
∴，即，∴.
∴.