2023届天津市十二区重点学校高三下学期联考（二）数学试题含解析

2023届天津市十二区重点学校高三下学期联考（二）考前模拟数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别求出集合、 、，再求交集可得答案.

【详解】因为，所以，

又因为，

所以.

故选：D.

2．设，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据对数函数定义域可知充分性不成立；由对数函数单调性可确定必要性成立.

【详解】当时，若，则无意义，充分性不成立；

当时，，成立，必要性成立；

综上所述：，则“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

3．的图像大致是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的取值以及单调性即可由排除法判断得出．

【详解】当时，，当，，所以可排除A B；

当时，，其导函数为，当时，，当时，，当时，，所以函数先增后减，排除D，故正确答案为C．

故选：C.

4．已知，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将化为同底的对数形式，根据对数函数单调性可知；利用可得，由此可得结论.

【详解】，，

又，；

，，又，；

综上所述：.

故选：C.

5．党的二十大报告提出全面推进乡村振兴．为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场．该特色产品的热卖黄金时段为2023年2月1至4月1日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年2月1日至2月5日时段的相关数据，这5天的第天到该电商平台专营店购物人数（单位：万人）的数据如下表：

依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数与到该电商平台专营店购物的人数（单位：万人）具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数与直播天数的线性回归方程为．请预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（    ）

A．312 B．313 C．314 D．315

【答案】C

【分析】根据回归直线过样本中心，建立方程，可得参数，即可得答案.

【详解】由题意，，，

将代入，可得，解得，

线性回归直线方程为，将代入上式，.

故选：C.

6．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的定义域，判断出函数在定义域上为单调递增函数，求出函数的零点，即可得答案.

【详解】解：由题意可得函数的定义域为，

因为与在均为单调递增函数，

所以在为单调递增函数，

因为，

所以的解集为.

故选：C.

7．粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（    ）

(参考数据：)

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】易知，当球体与正四面体内切时，球体（蛋黄）的体积最大，用等体积法即可求得.

【详解】如图，正四面体ABCD，其内切球O与底面ABC切于O1，设正四面体棱长为a，内切球半径为r，连接BO1交AC于F，易知O1为的中心，点F为边AC的中点.

易得：，则，，

∴，∴，

∵，

∴，

∴球O的体积.

故选：C.

8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点，，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角形面积得到，将各个线段按比例表示出来，以此表示出，两点坐标，最后根据双曲线焦半径公式列式计算即可.

【详解】因为，解得

设，，，

根据题意可知，

设双曲线方程为，设，

若P点在双曲线的左支上，则双曲线的焦半径为：，，

由题意可得，，所以，

根据变形得，

所以

故，同理可得，

同理可得，若P点在双曲线的右支上，则双曲线的焦半径为：，，

根据双曲线焦半径公式可得：，；

，，

，解得.

故选：C

9．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的个数是（    ）

①函数的最小正周期为；

②是函数图象的一个对称中心；

③函数图象的一个对称轴方程为；

④函数在区间上单调递增

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】先根据三角函数图象变换求得，然后由三角函数的最小正周期、对称中心、对称轴、单调性等知识确定正确选项.

【详解】，

，

.

①，的最小正周期为，①错误.

②，， ②正确.

③，，③错误.

④，，所以函数在区间上单调递增，④正确.

所以正确的一共有个.

故选：B

二、填空题

10．若复数为纯虚数，则=___________.

【答案】

【分析】由复数除法法则化简后求得，再由复数模的定义求解．

【详解】为纯虚数，则且，∴，

，

故答案为：．

11．二项式的展开式中，常数项为______（用数值表示）.

【答案】1120

【分析】先求出二项式的展开式通项，然后令得，即可求出常数项.

【详解】因为二项式的展开式通项为，

令，得，故常数项为.

故答案为：1120.

12．圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______.

【答案】

【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程.

【详解】记圆心为点，点为点，

因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为，

因为圆与直线相切于点，

所以直线与直线垂直，

直线的斜率为，直线的斜率为，

所以，

所以，

所以圆心为，

圆的半径为，

所以圆的方程为.

故答案为：.

13．接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法．我国自年月日起实施全民免费接种新冠疫苗．截止到年月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者任选其中一种．若人去接种新冠疫苗，恰有人接种同一种疫苗的概率为______．

【答案】

【分析】计算出人去接种新冠疫苗的不同结果数，以及恰有人接种同一种疫苗的不同结果数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】由题意，每位接种者等可能地从种任选一种接种，

由分步乘法计算原理知，共有不同的结果，

恰有人接种同一种疫苗，可先从5人中任选3人并成一组，有种结果，

这个小团体有种疫苗可选，另外两人各有种疫苗可选，故共有种，

故恰有三人接种同一种疫苗共有种不同结果，

由古典概型概率计算公式得：．

故答案为：.

三、双空题

14．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为________ ；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的最小值为______.

【答案】         

【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由，列出方程组，求得，从而得到；设，则，由即可求得的最小值.

【详解】

，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

正八边形内角和为，则，

所以，,

,

因为，则，

所以，解得，

所以；

设，则，

，则，

所以，当点在线段上时，取最小值.

故答案为：，.

15．已知，函数,当时，函数的最大值是_____；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是______．

【答案】     /    

【分析】第一空，根据分段函数解析式，对于 时的解析式，利用均值不等式结合正弦函数性质即可求得最小值；第二空，把函数的图象上有且只有两对点关于轴对称转化为 的图象关于y轴对称的函数图象与仅有两个交点的问题，数形结合，求得答案.

【详解】当 时，，

令，当 ，即时取等号，

即当时， ，

令，

又因为,

则;

因为图象仅有两对点关于y轴对称，

即 的图象关于y轴对称的函数图象与图象仅有两个交点，

当 时， ，

设其关于y轴对称的函数为 ，

∴，

∵，

由（1）可知近似图象如图所示：

时，，

当与仅有两个交点时，，

综上，a的取值范围是 ，

故答案为：；．

【点睛】本题考查了分段函数最值的求解以及参数的范围求解，涉及到三角函数以及均值不等式的知识，综合性较强，解答时要注意数形结合的思想方法,解答的关键是把函数的图象上有且只有两对点关于轴对称转化为 的图象关于y轴对称的函数图象与仅有两个交点的问题.

四、解答题

16．在非等腰中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，.

(1)求的值；

(2)求b的值；

(3)求的值.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】(1)由正弦定理得，根据，解得．

(2)由余弦定理，建立方程 ，根据互不相等，求得．

(3)由，得，应用二倍角的三角函数求得，应用两角和差的三角函数求.

【详解】（1）在中，由正弦定理，，，

可得，

因为，所以，即，

解得．

（2）在中，由余弦定理，

得，解得或．

由已知互不相等，所以 ．

（3）因为，所以，

所以，，

所以

17．已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点.

(1)证明：；

(2)求二面角的大小；

(3)求直线CA与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)

(3)

【分析】（1）由正三棱柱的性质可得平面，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面，即可得；（2）以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量与二面角的几何关系即可求得二面角的大小为；（3）根据（2）中结论，利用线面角与空间向量的关系即可得直线CA与平面所成角的正弦值为.

【详解】（1）由为正三棱柱可知，平面，

又平面，所以，

由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以；

又，平面，所以平面；

又平面，所以；

（2）取线段的中点分别为，连接，

易知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示;

由侧棱长为，底面边长为2可得，

，

由D为AB的中点可得，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，令，可得；

即；

易得即为平面的一个法向量，

所以，

设二面角的平面角为，由图可知为锐角，

所以，即；

即二面角的大小为.

（3）由（2）可知，平面的一个法向量为，

设直线CA与平面所成的角为，

所以，

即直线CA与平面所成角的正弦值为.

18．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线、的斜率分别为、，且．

①求证：直线经过定点．

②设和的面积分别为、，求的最大值．

【答案】(1)

(2)①证明见解析；②

【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；

（2）①分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，可知，设点、.将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求出的值，即可得出直线所过定点的坐标；

②写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值.

【详解】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，

且最大值为，

由题意可得，解得，

所以，椭圆的标准方程为.

（2）解：①设点、.

若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意.

设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，

联立可得，

，可得，

由韦达定理可得，，则，

所以，

，解得，

即直线的方程为，故直线过定点.

②由韦达定理可得，，

所以，

，

，则，

因为函数在上单调递增，故，

所以，，当且仅当时，等号成立，

因此，的最大值为.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

19．已知数列的前项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项．

(1)求数列与数列的通项公式；

(2)若数列，求数列的前项和；

(3)求证：．

【答案】(1)；.

(2)

(3)证明见解析.

【分析】（1）根据题意，由与的关系，即可得到数列的通项公式，然后再由等比数列的通项公式得到数列的通项公式；

（2）根据题意，设的前项和为，的前项和为，分别求得即可得到结果.

（3）由题意可得，，然后再结合等比数列的求和公式，即可得到结果.

【详解】（1）因为数列的前项和为，且，

当时，；

当时，，当时也满足；

所以；

又因为数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项，

所以，则，则.

（2）由（1）可得，，

令①

所以②

②可得，

所以

令，

即，

令，

则

则

（3）设，则，

则

20．已知函数，，

（1）求函数的单调区间；

（2）若，，使成立，求m的取值范围.

（3）当时，若关于x的方程有两个实数根，，且，求实数k的取值范围，并且证明：.

【答案】（1）f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；（2）（0，）；（3）k＞1﹣ln2，证明见解析.

【分析】（1）求导得，分析的正负，进而可得f（x）的单调性，即可得出答案．

（2）求出f（x）min，令h（x）＝，求出h（x）min，只需f（x）min＞g（x）min，即可得出答案．

（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+，分析f（x）的单调性，进而可得f（x）min，若f（x）＝k有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，则k＞1﹣ln2，且lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，推出lnx1＝lnx2+﹣，f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣，令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，求导分析F（x）的单调性，进而可得f（x1）＜f（1﹣x2），再结合f（x）在（0，）上单调递减，即可得出答案．

【详解】解：（1），

令f′（x）＞0，得x＞，

令f′（x）＜0，得0＜x＜，

所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．

（2）由（1）知，f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣lnm，

令h（x）＝＝＝，x∈（0，3），

h′（x）＝＝，

在x∈（2，3）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，

在x∈（0，2）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，

所以h（x）min＝h（2）＝＝，

所以1﹣lnm＞，

所以0＜m＜，

所以m的取值范围是（0，）．

（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+，

由（1）可知f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣ln2＞0，

若f（x）＝k有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，

则k＞1﹣ln2，

所以lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，

得lnx1+＝lnx2+，

所以lnx1＝lnx2+﹣，

f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx1+﹣ln（1﹣x2）﹣

＝（lnx2+﹣）+﹣ln（1﹣x2）﹣

＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣

令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，

＝，

因为x＞，

所以﹣4x2+4x﹣1＜0，即F′（x）＜0，

所以F（x）在（，+∞）单调递减，

所以F（x）＜F（）＝

所以f（x1）＜f（1﹣x2），

因为0＜x1＜＜x2，

所以﹣＞﹣x2，即1﹣＞1﹣x2，

所以0＜1﹣x2＜，

因为f（x）在（0，）上单调递减，

所以x1＞1﹣x2，

所以x1+x2＞1，得证．

【点睛】关键点点睛：

1.对于若，，使成立，转化为是关键；

2.对于双变量问题，我们要想办法找到两变量之间的关系，进而利用关系消元，达到转化为单变量问题；

3.对于不等式的证明，可构造函数，利用用导数求函数最值来研究证明.