2023年江苏省连云港市中考数学一模试卷

这是一份2023年江苏省连云港市中考数学一模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题​等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省连云港市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
2．（3分）如图，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算中正确的是（　　）
A．x2y+2yx2＝3x2y B．3y2+4y3＝7y5
C．a+a＝a2 D．2x﹣x＝2
4．（3分）将不等式x﹣3＞0的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（　　）
A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变
6．（3分）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ABC的面积比是（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：
7．（3分）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）

A．当I＜0.25时，R＜880
B．I与R的函数关系式是
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
8．（3分）如图1和图2，已知点P是⊙O上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与⊙O相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交⊙O于点A，连接并延长OA，再在OA上截取AB＝OP，直线PB即为所求；
乙：如图2，作直径PA，在⊙O上取一点B（异于点P，A），连接AB和BP，过点P作∠BPC＝∠A，则直线PC即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　）


A．甲、乙两人的作法都正确
B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．甲的作法错误，乙的作法正确
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是　 　．
10．（3分）因式分解：x2y﹣2xy+y＝　 　．
11．（3分）粮食是人类赖以生存的重要物质基础.2022年我国粮食总产量再创新高，达68653万吨．该数据可用科学记数法表示为 　 　万吨．
12．（3分）代数式与代数式的值相等，则x＝　 　．
13．（3分）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝130°，则∠2的度数为 　 　．

14．（3分）∅如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地地底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A、B、P在同一条直线上），且BP＞AP，那么底部B到球体P之间的距离是 　 　米（结果保留根号）．

15．（3分）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝4，则阴影部分的面积为 　 　．
​

16．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转a（0°＜a＜120°），得到线段AD，连接CD，点E为CD上一点，且DE＝2CE．连接BE，则BE的最小值为 　 　．

​

三、解答题（本题共11小题，共102分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）​
17．（6分）计算：
0﹣1．
18．（6分）先化简，再求值：a+，其中a＝5．
19．（6分）解不等式组
20．（8分）为了解学生对校园安全知识的掌握情况，现从九年级随机选取甲、乙两组各20名同学组织一次测试，并对本次测试成绩（满分为100分）进行统计学处理：
【收集数据】甲组20名同学的成绩统计数据：（单位：分）
87 90 60 77 92 83 56 76 85 71
95 95 90 68 78 80 68 95 85 81
乙组20名同学中成绩在70≤x＜80分之间数据：（满分为100分，得分用x表示，单位：分）
70 72 75 76 76 78 78 78 79
【整理数据】（得分用x表示）
（1）完成下表
分数/班级
0≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲班（人数）
1
3
4
6
6
乙班（人数）
1
1
　 　
　 　
4
​【分析数据】请回答下列问题：
（2）填空：

平均分
中位数
众数
甲班
80.6
82
a＝　 　
乙班
80.35
b＝　 　
78
​（3）若成绩不低于80分为优秀，请以甲组、乙组共40人为样本估计全年级1600人中优秀人数为多少？​​
21．（10分）如图，A转盘被等分成三份，并分别标有数字1，2，3；B转盘被分成如图所示的三份，分别标有数字1，2，3．

​（1）转动一次A盘，指针指向3的概率是　 　；
（2）转动一次A盘，记录下指针指向的数字，再转动一次B盘，也记录下指针指向的数字．请用列表或画树状图的方法求两个转盘的指针指向的数字都是3的概率．
22．（10分）如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，BF与EC相交于点M．AB＝CD，EC＝FB，∠MBC＝∠MCB．
（1）求证：ME＝MF；
（2）求证：∠E＝∠F．

23．（10分）某餐饮公司推出甲、乙两种外卖菜品，已知售出2份甲菜品和1份乙菜品可获利40元，售出3份甲菜品和2份乙菜品可获利65元．
（1）求每份甲、乙菜品的利润各是多少元？
（2）根据营销情况，该餐饮公司每日都可以销售完甲、乙两种外卖菜品600份，且甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，应该如何设计两种菜品的数量才能使获得的利润最高？最高利润是多少？
24．（10分）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0），B（6，0），C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
（1）求圆形区域的面积；
（2）某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东29°，求观测点B到A船的距离（结果精确到0.1，参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）．

25．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数第一象限交于M（1，6）、N（6，m）两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接PM，PN．
​（1）求一次函数的表达式；
（2）若△PMN的面积为，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点E为直线PM上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得四边形EFNM是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（12分）如图，已知抛物线经过点A（﹣6，0），B（2，0），与y轴交于点C．
​
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为该抛物线上一动点．
①当点P在直线AC下方时，过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E，作PF∥y轴．交直线AC于点F，求EF的最大值；
②若∠PCB＝3∠OCB，求点P的横坐标．
27．（14分）问题提出：（1）“弦图”是中国古代数学成就的一个重要标志．小明用边长为5的正方形ABCD制作了一个“弦图”：如图①，在正方形ABCD内取一点E，使得∠BEC＝90°，作DF⊥CE，AG⊥DF，垂足分别为F、G，延长BE交AG于点H．若EH＝1，求BE的长；

变式应用：（2）如图②，分别以正方形ABCD的边长AB和CD为斜边向内作Rt△ABE和Rt△CDF，连接EF，若已知∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF，Rt△ABE的面积为8，EF＝3，则正方形ABCD的面积为 　 　．

拓展应用：（3）如图③，公园中有一块四边形空地ABCD，AB＝BC＝60米，CD＝120米，AD＝60米，∠ABC＝90°，空地中有一段半径为60米的弧形道路（即），现准备在上找一点P将弧形道路改造为三条直路（即PA、PB、PC），并要求∠BPC＝90°，三条直路将空地分割为△ABP、△BCP和四边形APCD三个区域，用来种植不同的花草．
①则∠APC的度数为 　 　；
②求四边形APCD的面积．


2023年江苏省连云港市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：B．
2．（3分）如图，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其俯视图左边是一个圆、右边是一个正方形，
故选：D．
3．（3分）下列运算中正确的是（　　）
A．x2y+2yx2＝3x2y B．3y2+4y3＝7y5
C．a+a＝a2 D．2x﹣x＝2
【解答】解：A、x2y+2yx2＝3x2y，故此选项正确；
B、3y2+4y3无法计算，故此选项错误；
C、a+a＝2a，故此选项错误；
D、2x﹣x＝x，故此选项错误；
故选：A．
4．（3分）将不等式x﹣3＞0的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：不等式x﹣3＞0，
解得：x＞3，
解集表示在数轴上，如图所示：
．
故选：C．

5．（3分）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（　　）
A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变
【解答】解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，
∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，
故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ABC的面积比是（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：
【解答】解：∵∠B＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
故选：C．
7．（3分）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）

A．当I＜0.25时，R＜880
B．I与R的函数关系式是
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
【解答】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点P（880，0.25），
∴，
∴U＝220，
∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意；
当R＝1000时，，
∵220＞0，
∴I随R增大而减小，
∴当I＜0.25时，R＞880，当R＞1000时，I＜0.22，当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故A、C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
8．（3分）如图1和图2，已知点P是⊙O上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与⊙O相切于点P．以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图1，连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧交⊙O于点A，连接并延长OA，再在OA上截取AB＝OP，直线PB即为所求；
乙：如图2，作直径PA，在⊙O上取一点B（异于点P，A），连接AB和BP，过点P作∠BPC＝∠A，则直线PC即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　）


A．甲、乙两人的作法都正确
B．甲、乙两人的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．甲的作法错误，乙的作法正确
【解答】解：甲正确．
理由：如图1中，连接PA．
∵AP＝PO＝AO，
∴△AOP是等边三角形，
∴∠OPA＝∠OAP＝60°，
∵AB＝OP＝AP，
∴∠APB＝∠ABP，
∵∠OAP＝∠APB+∠ABP，
∴∠APB＝∠ABP＝30°，
∴∠OPB＝90°，
∴OP⊥PB，
∴PB是⊙O的切线，
乙正确．
理由：∵AP是直径，
∴∠ABP＝90°，
∴∠APB+∠PAB＝90°，
∵∠BPC＝∠BAP，
∴∠APB+∠BPC＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴OP⊥PC，
∴PC是⊙O的切线，
故选：A．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是　x≤2　．
【解答】解：根据题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
10．（3分）因式分解：x2y﹣2xy+y＝　y（x﹣1）2　．
【解答】解：原式＝y（x2﹣2x+1）
＝y（x﹣1）2．
故答案为：y（x﹣1）2．
11．（3分）粮食是人类赖以生存的重要物质基础.2022年我国粮食总产量再创新高，达68653万吨．该数据可用科学记数法表示为 　6.8653×104　万吨．
【解答】解：68653＝6.8653×104．
故答案为：6.8653×104．
12．（3分）代数式与代数式的值相等，则x＝　7　．
【解答】解：由题意得，
＝，
去分母得，3（x﹣1）＝2（x+2），
去括号得，3x﹣3＝2x+4，
移项得，3x﹣2x＝4+3，
解得x＝7，
经检验x＝7是原方程的解，
所以原方程的解为x＝7，
故答案为：7．
13．（3分）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝130°，则∠2的度数为 　40°　．

【解答】解：如图，

由题意得：∠E＝90°，AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝130°，
∵∠3是△ABE的外角，
∴∠2＝∠3﹣∠E＝40°．
故答案为：40°．
14．（3分）∅如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地地底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A、B、P在同一条直线上），且BP＞AP，那么底部B到球体P之间的距离是 　（234﹣234）　米（结果保留根号）．

【解答】解：由题意可得，底部B到球体P之间的距离是：468×＝（234﹣234）米，
故答案为：（234﹣234）．
15．（3分）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝4，则阴影部分的面积为 　π+2　．
​

【解答】解：连接OM，
∵O′是OB的中点，
∴OO′＝OB＝OM＝2，
∵∠MO′O＝90°，
∴cos∠MOO′＝＝，
∴∠MOO′＝60°，
∴MO′＝OO′＝2，
∴△MOO′的面积＝OO′•MO′＝×2×2＝2，
∵扇形OBM的面积＝＝π，扇形O′A′B′的面积＝＝4π，
∴阴影的面积＝扇形O′A′B′的面积+△MOO′的面积﹣扇形OBM的面积＝4π+2﹣π＝π+2．
故答案为：π+2．

16．（3分）如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转a（0°＜a＜120°），得到线段AD，连接CD，点E为CD上一点，且DE＝2CE．连接BE，则BE的最小值为 　2﹣2　．

​

【解答】解：如图，过E作EH∥AD，交AC于H，

∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝6，
∵将边AB绕点A顺时针旋转a（0°＜a＜120°），得到线段AD，
∴AD＝AC，
∴∠D＝∠ACD，
∵DE＝2CE，
∴＝，∠CEH＝∠D＝∠ACD，
∵AC＝6，
∴CH＝EH＝2，
取AH的中点P，连接EP，则∠CEP＝90°，
∴点E在以H为圆心，CP为直径的圆上运动，
∵EH为定值2，
∴当B、E、H三点共线时，BE的长最小，
过点B作BQ⊥AC于Q，
则BQ＝＝3，
∴BH＝＝＝2，
∴BE＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
三、解答题（本题共11小题，共102分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）​
17．（6分）计算：
0﹣1．
【解答】解：原式＝2﹣1+3
＝4．
18．（6分）先化简，再求值：a+，其中a＝5．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝2a+1，
当a＝5时，原式＝10+1＝11．
19．（6分）解不等式组
【解答】解：由5x+2＞3（x﹣2），得：x＞﹣4，
由x﹣1≤6﹣3x，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤2．
20．（8分）为了解学生对校园安全知识的掌握情况，现从九年级随机选取甲、乙两组各20名同学组织一次测试，并对本次测试成绩（满分为100分）进行统计学处理：
【收集数据】甲组20名同学的成绩统计数据：（单位：分）
87 90 60 77 92 83 56 76 85 71
95 95 90 68 78 80 68 95 85 81
乙组20名同学中成绩在70≤x＜80分之间数据：（满分为100分，得分用x表示，单位：分）
70 72 75 76 76 78 78 78 79
【整理数据】（得分用x表示）
（1）完成下表
分数/班级
0≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲班（人数）
1
3
4
6
6
乙班（人数）
1
1
　9　
　5　
4
​【分析数据】请回答下列问题：
（2）填空：

平均分
中位数
众数
甲班
80.6
82
a＝　95　
乙班
80.35
b＝　78.5　
78
​（3）若成绩不低于80分为优秀，请以甲组、乙组共40人为样本估计全年级1600人中优秀人数为多少？​​
【解答】解：（1）由题意可知，乙班在70≤x＜80的数据有9个，在80≤x＜90的有20﹣1﹣1﹣9﹣4＝5个，
故答案为：9，5；
（2）甲班20人中得分出现次数最多的是95分，共出现3次，因此甲班学生成绩的众数a＝95，
将乙班20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝78.5，因此中位数b＝78.5，
故答案为：95，78.5；
（3）1600×＝840（人），
答：甲班、乙班共40人为样本估计全年级1600人中优秀人数约为840人．
21．（10分）如图，A转盘被等分成三份，并分别标有数字1，2，3；B转盘被分成如图所示的三份，分别标有数字1，2，3．

​（1）转动一次A盘，指针指向3的概率是　　；
（2）转动一次A盘，记录下指针指向的数字，再转动一次B盘，也记录下指针指向的数字．请用列表或画树状图的方法求两个转盘的指针指向的数字都是3的概率．
【解答】解：（1）转动一次A盘，指针指向3的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两个转盘的指针指向的数字都是3的结果有2种，
∴两个转盘的指针指向的数字都是3的概率为＝．
22．（10分）如图，A，B，C，D依次在同一条直线上，BF与EC相交于点M．AB＝CD，EC＝FB，∠MBC＝∠MCB．
（1）求证：ME＝MF；
（2）求证：∠E＝∠F．

【解答】（1）证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴CE＝BF，
又∵∠MBC＝∠MCB，
∴CM＝BM，
∴ME＝MF；
（2）证明：∵△AEC≌△DFB，
∴∠E＝∠F．
23．（10分）某餐饮公司推出甲、乙两种外卖菜品，已知售出2份甲菜品和1份乙菜品可获利40元，售出3份甲菜品和2份乙菜品可获利65元．
（1）求每份甲、乙菜品的利润各是多少元？
（2）根据营销情况，该餐饮公司每日都可以销售完甲、乙两种外卖菜品600份，且甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，应该如何设计两种菜品的数量才能使获得的利润最高？最高利润是多少？
【解答】解：（1）设每份菜品A的利润为x元，每份菜品B的利润为y元，
根据题意得，
解得，
答：每份菜品甲的利润为15元，每份菜品乙的利润为10元；
（2）设购进甲菜品m份，总利润为w元，
根据题意得m≤（600﹣m），
解得m≤200，
w＝15m+10（600﹣m）＝5m+6000，
∵5＞0，
∴w随着m的增大而增大，
当m＝200时，w取得最大值，最大值为7000元，
600﹣200＝400（份），
答：购进甲菜品400份，乙菜品200份，所获利润最大，最大利润为1700元．
24．（10分）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O（0，0），B（6，0），C（6，8），由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．
（1）求圆形区域的面积；
（2）某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东29°，求观测点B到A船的距离（结果精确到0.1，参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）．

【解答】解：（1）连接CB，CO，则CB∥y轴，

∴∠CBO＝90°，
设O'为由O、B、C三点所确定圆的圆心，
则OC为的直径，
由已知得OB＝6，CB＝8，
由勾股定理得，
∴半径OO'＝5，
∴S⊙O＝25π；
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，依题意，
得∠ABD＝61°，
在Rt△ABD中，设AD＝x，
则，
∴，
∴，
由题意得：∠AOD＝45°，AD＝OD＝x，
则，
解得：x≈13.5，
在Rt△ABD中，
，
即0.87≈，
∴AB≈15.5．

25．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数第一象限交于M（1，6）、N（6，m）两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接PM，PN．
​（1）求一次函数的表达式；
（2）若△PMN的面积为，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点E为直线PM上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得四边形EFNM是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点M的坐标代入反比例函数表达式得：k2＝1×6＝6，
则反比例函数的表达式为：y＝，
则点N（6，1），
由题意得：，解得：，
故一次函数的表达式为：y＝﹣x+7；

（2）设直线MN交x轴于点H，则点H（7，0），

设点P（x，0），
则S△PMN＝S△PHM﹣S△PHN＝×PH×（yM﹣yN）＝（7﹣x）×（6﹣1）＝，
解得：x＝﹣2，
即点P的坐标为：（﹣2，0）；

（3）存在，理由：
由点P、M的坐标得，直线PM的表达式为：y＝2x+4，
设点E（m，2m+4），
∵NM是平行四边形的边，且点M向右平移5个单位向下平移5个单位得到点N，
∴点F（E）向右平移5个单位向下平移5个单位得到点E（F），
则0+5＝m或0﹣5＝m，
即m＝5或﹣5，
则E的坐标为：（5，14）或（﹣5，﹣6）．
26．（12分）如图，已知抛物线经过点A（﹣6，0），B（2，0），与y轴交于点C．
​
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为该抛物线上一动点．
①当点P在直线AC下方时，过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E，作PF∥y轴．交直线AC于点F，求EF的最大值；
②若∠PCB＝3∠OCB，求点P的横坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝（x+6）（x﹣2）＝x2+2x﹣6①；

（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣6），
由A、C的表达式知，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣6，
设点F（x，﹣x+6），点P（x，x2+2x﹣6），

则PF＝（﹣x+6）﹣（x2+2x﹣6）＝﹣（x﹣3）2+≤，
即PF的最大值为，
由直线AC的表达式知，其和x轴负半轴的夹角为45°，即∠OAC＝45°＝∠PEF，
则PE＝PF，
则EF＝PF，
则EF的最大值为；

（3）作点B关于y轴的对称点N，则∠NCB＝2∠OCB，
∵∠PCB＝3∠OCB，
∴∠PCO＝∠NCB，
则ON＝OB＝2，BN＝CB＝＝，
过点B作BM⊥NC于点M，

则S△CBN＝BN×CO＝CN×BM，
即4×6＝×BM，则BM＝，
则sin∠NCB＝＝，则tan∠NCB＝＝tan∠PCO，
故直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣6②，
联立①②得：x2+2x﹣6＝﹣x﹣6，
解得：x＝﹣，
即点P的横坐标为﹣．
27．（14分）问题提出：（1）“弦图”是中国古代数学成就的一个重要标志．小明用边长为5的正方形ABCD制作了一个“弦图”：如图①，在正方形ABCD内取一点E，使得∠BEC＝90°，作DF⊥CE，AG⊥DF，垂足分别为F、G，延长BE交AG于点H．若EH＝1，求BE的长；

变式应用：（2）如图②，分别以正方形ABCD的边长AB和CD为斜边向内作Rt△ABE和Rt△CDF，连接EF，若已知∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF，Rt△ABE的面积为8，EF＝3，则正方形ABCD的面积为 　41　．

拓展应用：（3）如图③，公园中有一块四边形空地ABCD，AB＝BC＝60米，CD＝120米，AD＝60米，∠ABC＝90°，空地中有一段半径为60米的弧形道路（即），现准备在上找一点P将弧形道路改造为三条直路（即PA、PB、PC），并要求∠BPC＝90°，三条直路将空地分割为△ABP、△BCP和四边形APCD三个区域，用来种植不同的花草．
①则∠APC的度数为 　135°　；
②求四边形APCD的面积．

【解答】解：（1）∠BEC＝90°，DF⊥CE，AG⊥DF，
∴∠BEC＝∠AGF＝∠DFE＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG＝∠AHB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠ABH+∠CBE＝∠ABH+∠BAH＝90°，
∴∠BAH＝∠CBE，
∴△ABH≌△BCE（AAS），
∴AH＝BE，
∵AH2+BH2＝AB2，
∴BE2+（BE+1）2＝52，
∴BE＝3（负值舍去），
故BE的长为3；
（2）解：如图②，延长DF交AE于H，延长BE交CF于G，

∵∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF，AB＝CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
∴DF＝BE，∠CDF＝∠ABE，
∵∠CDF+∠ADF＝∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠DCF＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠BAE，
∴∠ADF+∠DAE＝DAE+∠BAE＝90°，
∴∠ADH＝∠BAE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠AHD＝90°，
同理∠BGC＝90°，∠BCG＝∠ABE，
∴△ADH≌△BAE（AAS），△BCG≌△ABE（AAS），
∴DH＝AE＝BG＝CF，DF＝AH＝BE＝CG，
∴FH＝HE＝EG＝FG，
∴四边形FHEG是正方形，
∴正方形FHEG的面积＝EF2＝9，
∵Rt△ABE的面积为8，
∴正方形ABCD的面积＝4×8+9＝41；
故答案为：41；
（3）如图③，连接AC，
∵AB＝BC＝60米，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝60（米），
∵CD＝120米，AD＝60米，
∴AC2+AD2＝（60）2+（60）2＝1202＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
∴CD是所在圆的直径，△ACD是等腰直角三角形，
∴点A，P，C，D四点共圆，∠D＝∠ACD＝45°，
∴∠D+∠APC＝180°，
∴∠APC＝135°；
故答案为：135°；
②∵△ACD是等腰直角三角形，
∴S△ACD＝AD•AC＝（平方米）；
把△BPC绕着点B逆时针旋转90°，得到△ABQ，

∴∠QBP＝90°，BQ＝BP，∠AQB＝∠BPC＝90°，
∴∠AQB+∠PBQ＝180°，
∴PB∥AQ，
延长CP交AQ于M，
∴CP⊥AQ，∠APM＝180°﹣∠APC＝45°，
∴△AMP是等腰直角三角形，
∴AM＝PM，
∴PM＝AQ，
∵∠MQB＝∠QMP＝∠PBQ＝90°，
∴四边形BQMP是正方形，
∴BQ＝PM，
∴AQ＝2BQ，
∵AQ2+BQ2＝AB2，
∴4BQ2+BQ2＝602，
∴BQ2＝720（平方米），
∴S△APC＝S△ABC﹣S△APB﹣S△BPC＝S△ABC﹣四边形AQBP的面积＝﹣（720﹣720）＝720（平方米），
∴四边形APCD的面积＝S△ACD+S△△APC＝3600+720＝4320（平方米）．