2023年中考复习存在性问题系列矩形的存在性问题专题探究试卷

这是一份2023年中考复习存在性问题系列矩形的存在性问题专题探究试卷，共15页。
2023年中考复习存在性问题系列                矩形的存在性问题专题探究二次函数为载体的矩形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．解题攻略矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：（AC为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．题型如下：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；（2）1个定点+3个半动点．解题方法思路1：先直角，再矩形(两定两动）在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．要善于利用直角三角形的性质：①两个锐角互余；②三边平方的等量关系（勾股定理）；③斜边上的中线等于斜边的一半.转化为直角三角形问题，以定线段为边和对角线来确定分类标准，利用一线三直角相似来确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标。①找点：两线一圆②求点:一线三直角相似 ③平移思路2：先平行，再矩形分析定点、定角及不变特征，结合图形形成因素（判定等），考虑分类，通常需要转化为一定两动夹角固定直角三角形存在性问题，按照顶角分类。先平行四边形再加一组邻边相等列方程组典例剖析题型一：先直角，再矩形例1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）存在，N点的横坐标分别为：2，-1，或．【解析】解：（1）∵将（1,0），（0,3）代入y=-x2+bx+c，得：解得：b=-2，c=3即抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3.（2）在OE上取一点D，使得OD=OE，连接AE’，BD∵OD=OE=OE’，抛物线对称轴为：x=-1∴E（-1,0），OE=1=OE’，OA=3∴, ∠DOE’=∠E’OA∴△DOE’∽△E’OA∴DE’=AE’∴BE’+AE’=BE’+DE’当B、E’、D三点在同一点直线上时，BE’+DE’最小值为BD．在Rt△BOD中，OD=，OB=3∴BD=即BE’+AE’最小值为．（3）由y=-x2-2x+3，得A（-3,0）①当∠ABN=90°时，过N作NQ⊥y轴于Q，则tan∠ABO=tan∠BNQ∴∴BQ=NQ，设N（m，-m2-2m+3），∴-m2-2m=-m，解得：m=0（舍）或m=-1即N点横坐标为-1.②当∠ANP=90°时，同理，AP=PN，即m+3=-（-m2-2m+3）解得：m=-3（舍）或m=2即N点横坐标为2.③当∠ANB=90°时，同理，即解得：m=或m=综上所述，N点的横坐标分别为：2，-1，或.变式训练如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线与轴负半轴交于点C，与抛物线另一个交点为D，且.（1）直接写出点A的坐标，并求出直线的函数表达式（其中，k、b用含的式子表示）；（2）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以A、D、P、Q为顶点的四边形能否成矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.【解答】，；（2），.【解析】（1），令，解得，，直线经过点A，，即，，令，整理得，，点D的横坐标为4，直线的函数表达式为；（2）令，即，解得，，，抛物线的对称轴为，设，①若AD是矩形的一条边，则，则，四边形ADPQ是矩形，，，即，即，；②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为，，，四边形APDQ是矩形，，即，综上，当点P的坐标为或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形能成为一个矩形.题型二：先平行，再矩形例2（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）当m＝﹣时，S的值最大，最大值为，此时P（﹣，）；（3）P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．  【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，抛物线交x轴于点A，B（1，0），∴A（﹣3，0），∴OA＝OC＝3，∴C（0，3），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把（0，3）代入抛物线的解析式，得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图（2）中，连接OP．设P（m，﹣m2﹣2m+3），S＝S△PAO+S△POC+S△OBC，＝×3×（﹣m2﹣2m+3）××3×（﹣m）+×1×3＝（﹣m2﹣3m+4）＝﹣（m+）2+，∵﹣＜0，∴当m＝﹣时，S的值最大，最大值为，此时P（﹣，）； （3）存在，理由如下：如图3﹣1中，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P（﹣1，4），N（0，4）；如图3﹣2中，当四边形PMCN是矩形时，设M（﹣1，n），P（t，﹣t2﹣2t+3），则N（t+1，0），由题意，，解得，消去n得，3t2+5t﹣10＝0，解得t＝，∴P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．综上所述，满足条件的点P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．变式训练：2如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）．【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4），设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4），设直线PB的表达式为y＝kx+t，则，解得，∵CQ∥BP，故设直线CQ的表达式为y＝（m+1）x+p，该直线过点C（0，﹣4），即p＝﹣4，故直线CQ的表达式为y＝（m+1）x﹣4，令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝，即点Q的坐标为（，0），则BQ＝4﹣＝，设△PBQ面积为S，则S＝×BQ×（﹣yP）＝﹣××（m2﹣3m﹣4）＝﹣2m2+8m，∵﹣2＜0，故S有最大值，当m＝2时，△PBQ面积为8，此时点P的坐标为（2，﹣6）； （3）存在，理由：将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，即点A过该点，即抛物线向右平移了+1＝个单位，则函数的对称轴也平移了个单位，即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝+＝3，故设点E的坐标为（3，m），设点F（s，t），①当AP是边时，则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P，同样点F（E）向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E（F）且AE＝PF（AF＝PE），则或，解得或，故点F的坐标为（0，）或（6，﹣4）；②当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP＝EF得：，解得或，故点F的坐标为（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）；综上，点F的坐标为（0，）或（6，﹣4）或（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）．3.如图：在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，经过点的抛物线的对称轴是．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线经过原点，得到直线，点是直线上任意一点，轴于点，轴于点，若点在线段上，点在线段的延长线上，连接，，且．求证：；（3）若（2）中的点坐标为，点是轴上的点，点是轴上的点，当时，抛物线上是否存在点，使四边形是矩形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）先求得点的坐标，然后依据抛物线过点，对称轴是列出关于、的方程组求解即可；（2）设，则，，然后再证明，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设，然后用含的式子表示的长，从而可得到的长，于是可得到点的坐标，然后依据中点坐标公式可得到，，从而可求得点的坐标（用含的式子表示），最后，将点的坐标代入抛物线的解析式求得的值即可．【解答】解：（1）当时，，解得，即，抛物线过点，对称轴是，得，解得，抛物线的解析式为；（2）平移直线经过原点，得到直线，直线的解析式为．点是直线上任意一点，设，则，．又，设，，，，则，，，，，．，，．（3）如图所示，点在点的左侧时，设，则．，．．为矩形，，，，，，．将点的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：或（舍去）．．如下图所示：当点在点的右侧时，设，则．，．．为矩形，，，，，，．将点的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：或（舍去）．．综上所述，点的坐标为或．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含的式子表示点的坐标是解题的关键．