（北京卷）（参考答案）2023年中考数学第一模拟考试卷

这是一份（北京卷）（参考答案）2023年中考数学第一模拟考试卷，共16页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学第一次模拟考试卷（北京卷）数学·参考答案 第Ⅰ卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．12345678BBBCBDBB第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．x≥5．  10. x＝   11．m（x+1）2．  12．＜13． 1360． 14.  12      15．    16． 1，4.5．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．【详解 】＝1+4×﹣2+﹣1＝1+2﹣2+﹣1＝．18．（5分）先化简，再求值：（2x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+5x（2﹣x），其中x＝﹣．【详解 】原式＝4x2﹣12x+9+x2﹣16+10x﹣5x2＝﹣2x﹣7，当时，原式＝﹣2x﹣7＝﹣2×（﹣）﹣7＝1﹣7＝﹣6．19．（5分）已知：线段AB．求作：Rt△ABC，使得∠BAC＝90°，∠C＝30°．作法：①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；②连接BD，在BD的延长线上截取DC＝BD；③连接AC．则△ABC为所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AD．∵AB＝AD＝BD，∴△ABD为等边三角形（ 　三边相等的三角形是等边三角形　）．（填推理的依据）∴∠B＝∠ADB＝60°．∵CD＝BD，∴AD＝CD∴∠DAC＝　∠DCA　（ 　等边对等角　）．（填推理的依据）∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°．∴∠C＝30°．在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°．【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：连接AD．∵AB＝AD＝BD，∴△ABD为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）．（填推理的依据）》∴∠B＝∠ADB＝60°．∵CD＝BD，∴AD＝CD∴∠DAC＝∠DCA（等边对等角）．（填推理的依据）∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°．∴∠C＝30°．在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°．故答案为：三边相等的三角形是等边三角形，∠DCA，等边对等角．20．（5分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×（m2﹣9）＝4m2﹣4m2+36＝36＞0，∴此方程有两个不相等的实数根．（2）解：x2﹣2mx+m2﹣9＝0，即（x﹣m+3）（x﹣m﹣3）＝0，解得：x1＝m+3，x2＝m﹣3．∵x1+x2＝6，∴2m＝6，解得：m＝3．21．（6分）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）若∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，当AF为 　　时，四边形BCEF是菱形．【解答】（1）证明：∵AF＝DC，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形；（2）解：如图，连接BE，交CF于点G，∵四边形BCEF是平行四边形，∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，∵∠DEF＝90°，DE＝8，EF＝6，∴DF＝＝＝10，∴FG＝CG＝BC•cos∠BCA＝6×＝，∴AF＝CD＝DF﹣2FG＝10﹣＝．故答案为：．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，0）．（1）求k，b的值；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣2x+n的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出n的取值范围．【详解 】（1）将A（0，﹣1），B（1，0）代入解y＝kx+b得，，解得，（2）由（1）得y＝x﹣1，解不等式﹣2x+n≤x﹣1得x≥，由题意得≤1，即n≤2．故答案为：n≤2．23．（6分）2022年是中国共产主义青年团建团100周年．某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，七、八年级各有300名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析．下面给出了部分信息：a．七年级学生的成绩整理如下（单位：分）：57  67  69  75  75  75  77  77  78  78  80  80  80  80  86  86  88  88  89  96b．八年级学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：其中成绩在80≤x＜90的数据如下（单位：分）：80  80  81  82  83  84  85  86  87  89c．两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：年级平均数中位数众数七年级79.0579m八年级79.2n74根据所给信息，解答下列问题：（1）m＝　80　，n＝　80　；（2）估计 　八　年级学生的成绩高于平均分的人数更多；（3）若成绩达到80分及以上为优秀，估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数．【详解 】（1）根据七年级的成绩可知，m＝80，由题意知，八年级学生的成绩中第10、第11位分别是80，80，∴n＝＝80．故答案为：80；80．（2）由题意知，七年级成绩在平均分以上的有10人，占总数的，∴估计七年级学生的成绩高于平均分的人数为300×＝150（人），八年级成绩在平均分以上的有11人，占总数的，∴估计八年级学生的成绩高于平均分的人数为300×＝165（人），∵150＜165，∴估计八年级学生的成绩高于平均分的人数更多．故答案为：八．（3）由题意知，七年级成绩优秀的人数占比为，八年级成绩优秀的人数占比为，∴估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为300×+300×＝315（人）．答：估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为315人．24．（6分）如图，A是⊙O上一点，BC是⊙O的直径，BA的延长线与⊙O的切线CD相交于点D，E为CD的中点，AE的延长线与BC的延长线交于点P．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若OC＝CP，AB＝，求CD的长．【解答】（1）证明：连接AO，AC，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝90°，∵E为CD的中点，∴AE＝CD＝CE＝DE，∴∠ECA＝∠EAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，∴∠ECA+∠OCA＝90°，∴∠EAC+∠OAC＝90°，∴OA⊥AP，∵A是⊙O上一点，∴AP是⊙O的切线；（2）解：由（1）知OA⊥AP，在Rt△OAP中，∵∠OAP＝90°，OC＝CP＝AO，即OP＝2OA，∴sinP＝＝，∴∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，在Rt△BAC中，∵∠BAC＝90°，AB＝2，∠ACO＝60°，∴AC＝＝＝2，∵∠CAD＝90°，∠ACD＝90°﹣∠ACO＝30°，∴CD＝＝＝．25．（5分）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣+bx+c．已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m．（1）点A的坐标是 　（0，70）　，点P的坐标是 　（40，30）　；（2）求满足的函数关系y＝﹣+bx+c；（3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．【详解 】（1）根据题意得，A（0，70），P（40，30），故答案为：（0，70），（40，30）；（2）把A（0，70），P（40，30）代入y＝﹣+bx+c得：，解得，所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+70；（3）如图，作MN∥y轴分别交抛物线和BC于M、N两点，∵OC＝60m，∴C（0，60），设线段BC的关系式为y＝kx+m，则，解得：，所以线段BC的关系式为y＝﹣x+60，设M（a，﹣a2+a+70），则N（a，﹣a+60），则MN＝﹣a2+a+70+a﹣60＝﹣a2+a+10＝﹣（a﹣18）2+30.25，∵﹣＜0，∴当x＝18时，MN有最大值，最大值为30.25，答：运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离时水平距离是18m．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．【详解 】（1）y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴抛物线的对称轴为x＝1；（2）∵﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，∴1﹣x1＞1﹣x2，∴A离对称轴越远，若a＞0，开口向上，则y1＞y2，若a＜0，开口向下，则y1＜y2，（3）∵t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，存在y1＝y2，则t+1＜1且t+2＞1，∴t＜0且t＞1，∵y1＝y2，∴存在1﹣x1＝x2﹣1，即存在A到对称轴的距离与B到对称轴的距离相等，∴1﹣t＞t+2﹣1且1﹣（t+1）＜t+3﹣1，∴﹣1＜t＜0．27．（7分）已知：如图，OB＝BA，∠OBA＝150°，线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC．连接BC，OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D．（1）依题意补全图形；（2）求∠DOC的度数．【详解 】（1）如图，（2）过O点作OH⊥AB于H点，如图，∵∠ABO＝150°，BO＝BA，∴∠OBH＝30°，∠BAO＝15°，∴OH＝OB，∠OAD＝75°，∵线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，而BO＝BA，∴OH＝AC，∵OD⊥AC，BA⊥AC，OH⊥AB，∴四边形ADOH为矩形，∴AD＝OH，∴AD＝AC，即OD垂直平分AC，∴OA＝OC，∴∠OCD＝∠OAD＝75°，∴∠DOC＝90°﹣75°＝15°．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．（1）已知点A（1，2），求点A的“关联三角形”的面积；（2）如图，已知点B（m，m），⊙T的圆心为T（2，2），半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；（3）已知⊙O的半径为r，OP＝2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．【详解 】（1）∵点A（1，2）关于x轴对称的对称点（1，﹣2），点A关于yz轴对称的点A2（﹣1，2），∴＝×2×4＝4；（2）∵⊙T的圆心为T（2，2），半径为2，∴四边形OADC是⊙T的外接四边形（如图1中），∴D（4，4），∵点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，且B（m，m），∴2﹣≤m≤4；（3）当PP2与⊙O相切于点E时，如图2中，∵OE＝r，OP＝2r，∴∠OPE＝30°，∴∠OPP1＝∠OP1P＝60°，∴当60°＜∠OP1P＜90°时，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点．当PP1与⊙O相切于点F时，如图3中，∵OF＝r，OP＝2r，∴∠OPF＝∠OP1P＝30°，∴当0°＜∠OP1P＜30°时，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，综上所述，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，∠PP1P2的取值范围为：0°＜∠OP1P＜30°或60°＜∠OP1P＜90°．