中考数学二轮专题过关练习第1关 以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题（教师版）

这是一份中考数学二轮专题过关练习第1关 以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题（教师版），共24页。
第1关 以几何图形中的动点最值问题为背景的选择填空题
【考查知识点】 “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
【解题思路】找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.求线段和的最小值需要用到三个基本知识：两点之间，线段最短；轴对称的性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.常见情况有三种：“两点一线”型、“一点两线”型和“两点连线” 型.
平面上最短路径问题：
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”。凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
（3）平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。

【典型例题】
【例1】如图，是等边三角形，，点、分别为边、上的动点，当的周长最小时，的度数是______________.

【答案】
【解析】先作点D关于AC和BC的对称点G、H，连接GH交AC和BC于点E、F，此时△DEF的周长最小，再根据三角形内角和与等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，作点D关于AC的对称点G，点D关于BC的对称点H，连接GH交AC、BC于E、F，

∵D、G关于AC对称，D、H关于BC对称，
∴DE=EG，DF=FH，
∴的周长=DE+DF+EF=EG+EF+FH,
∴当G、E、F、H四个点在同一直线上时，的周长最小，
∵是等边三角形，
∴∠A=∠B = ，
∵D、G关于AC对称，D、H关于BC对称，
∴∠ADG= ，∠BDH= ，∠EDG=∠DGE，∠FDH=∠DHF，
∴∠GDH=，
∴∠DGE+∠DHF=，
∴∠EDG+∠FDH=，
∴∠EDF=.
故答案是：.
【名师点睛】关于最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点（注：本题C，D位于OB的同侧）．如下图，解决本题的关键：一是找出最短路线，二是根据一次函数与方程组的关系，将两直线的解析式联立方程组，求出交点坐标.

【例2】如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___．

【答案】
【解析】作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=，CD=CE，再判断出△BCD∽△ECA得出CD•CE=BC•AC，易得CD=，当CH最小时，CD最大，C点运动到H点时，CH最小，所以CD的最大值为．
【详解】解：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，

∴AH=BH=AB=，
∵CD⊥OC，
∴CD=CE，
∵∠ABD=∠DEA，∠BCD=∠ECA，
∴△BCD∽△ECA，
∴，
∴CD•CE=BC•AC，
∴CD2=（BH-CH）（AH+CH）=（-CH）（+CH）=-CH2，
∴CD=，
∴当CH最小时，CD最大，
而C点运动到H点时，CH最小，
此时CD=，即CD的最大值为．
故答案为．
【名师点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
【方法归纳】
在平面几何的动态问题中，求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识：
① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点之间线段最短；
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④定圆中的所有弦中，直径最长；
⑤利用对称的性质求两条线段之和最小的问题，解决此类问题的方法为：如图，要求线段l上的一动点P到点A、B距离和的最小值，先作点A关于直线L的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线L的交点即为P点，根据对称性可知A′B的长即为PA+PB的最小值，求出A′B的值即可.

【针对练习】
1．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）

A． B． C．6 D．3
【答案】D
【详解】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此时△PMN周长最小，
作OH⊥CD于H，则CH=DH，
∵∠OCH=30°，
∴OH=OC=，
CH=OH=,
∴CD=2CH=3．
故选D．

2．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ）

A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B
【详解】如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，

则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH．
∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°．
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°．
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°．
故选B．
3．如图，四边形ABCD中，∠C=，∠B=∠D=，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°，即∠1+∠2+∠3=130°①，由作图可知，∠1=∠G，∠3=∠H，△AGH的内角和为180°，则2（∠1+∠3）+ ∠2=180°②，又①②联立方程组，解得∠2=80°．
故选D．

4．如图,已知直线与x轴、y轴分别交于A, B两点，将△AOB沿直线AB翻折，使点O落在点C处, 点P，Q分别在AB , AC上,当PC+PQ取最小值时,直线OP的解析式为（ ）

A．y=- B．y=- C．y=- D．
【答案】A
【详解】连接CO．∵AC=AO，BC=OB，∴AB是线段OC的垂直平分线．∵直线AB的解析式为，∴直线OC的解析式为y=－2x，∴设C（a，－2a）．∵CB=OB=4，∴，解得：a=0（舍去）或a=，∴C（，）．设直线BC为，把C（，）代入得：，解得：k=，∴直线BC为．过O作OQ⊥AC于Q交AB于点P，连接PC，则PC+PQ=OQ最短．∵直线OQ∥直线BC，∴直线OQ的解析式为：．故选A．

5．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【详解】连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABCBC•AD6×AD＝18，解得：AD＝6．
∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝ADBC＝66＝6+3＝9．
故选C．

6．如图，在△ABC中，，动点P，Q在边BC上（P在Q的左边），且，则的最小值为（ ）

A．8 B． C．9 D．
【答案】D
【详解】过点A作AE⊥BC，作AD∥BC，P’是点P关于AD的对称点，
当P’,A,Q共线时AP+AQ=AP’+AQ=P’Q最短，
∵
∴BE=3，
∴AE=4，
∴PP’=8,又∵PQ=2，
∴ ,
则的最小值为，
故选D

7．如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，使四边形周长最小的点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4，4），
∴AB=OB=4，∠AOB=45°，
∵，点D为OB的中点，
∴BC=3，OD=BD=2，
∴D（0，2），C（4，3），
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），
∵直线OA 的解析式为y=x，
设直线EC的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线EC的解析式为y=x+2，
解得，，
∴P（，），
故选C．
8．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积为12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AB于点E，交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一点，则△BDM的周长最小值为( )

A．5 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
【答案】C
【详解】如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12，解得：AD=6（cm）．
∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）．
故选C．

9．如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝1，AF＝3，P为BD上一动点，则线段EP＋FP的长最短为( )

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．
∵AE=DG，且AE∥DG，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴EG=AD=4．
故选B．

10．在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，OA=3，OB=4．把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC．边OB上的一点M旋转后的对应点为M′，当AM′+DM取得最小值时，点M的坐标为（　　）

A．（0， ） B．（0，） C．（0，） D．（0，3）
【答案】A
【详解】∵把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC，点M是BO边上的一点，
∴AM＝AM′，
∴AM′＋DM的最小值＝AM＋DM的最小值，
作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，

则AD′＝AM′＋DM的最小值，
过D作DE⊥x轴于E，
∵∠OAD＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∵AD＝AO＝3，
∴DE＝×3＝，AE＝，
∴D（，），
∴D′（− ，），
设直线AD′的解析式为y＝kx＋b，
∴，
∴
∴直线AD′的解析式为y＝−x＋，
当x＝0时，y＝，
∴M（0，），
故选A．
11．如图，已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点，点B是弧的中点，点P是半径ON上的点．若⊙O的半径为l，则AP+BP的最小值为（　　）

A．2 B． C． D．1
【答案】C
【详解】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小，
连接OA′，AA′，OB，

∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=1，
∴A′B=．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．
故选C．
12．直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ）.

A．(－3，0) B．(－6，0) C．(－，0) D．(－，0)
【答案】C
【详解】作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．

直线y=x+4与x轴、y轴的交点坐标为A（﹣6，0）和点B（0，4），
因点C、D分别为线段AB、OB的中点，可得点C（﹣3，2），点D（0，2）．
再由点D′和点D关于x轴对称，可知点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y=kx+b，直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），
所以，解得：，
即可得直线CD′的解析式为y=﹣x﹣2．
令y=﹣x﹣2中y=0，则0=﹣x﹣2，解得：x=﹣，
所以点P的坐标为（﹣，0）．故答案选C．
13．如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（　　）

A．30° B．15° C．20° D．35°
【答案】A
【详解】由题意知，当B. P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，
连接BD交MN于P，
∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴PA=PC，
∴
14．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点分别是的中点，则的最大值是_____．

【答案】
【详解】解：点分别是的中点，

，
当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大，
连接并延长交于点，连接，
是的直径，
．
，
，
，
．
故答案为：．
15．如图，∠AOB＝60°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，OP＝8，当△PMN周长取最小值时，△OMN的面积为_____．

【答案】
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PC、PD．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA＝30°；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝8，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝120°，∠COP=∠COP=60°，
∴△COP与△POD是等边三角形，
∴四边形OCPD是菱形，
∴CD垂直平分OP，
∴∠PCD＝∠PDC＝30°，OM＝PM，PN＝ON，∵∠PCM＝∠MPC＝30°，
∴∠PMN＝60°，
同理∠PNM＝60°，
∴PM＝PN，
∴四边形PMON是菱形，
∵OP＝8，
∴MN＝，
∴△OMN的面积＝S菱形PMON＝××8×＝．

16．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________

【答案】120°
【详解】解：如图所示，当三角形三边在同一条直线上周长最短，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN周长的最小值.作DA延长线AH，

∵∠DAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°.
∵A关于BC和CD的对称点A′、A″，
∴∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°.
故答案为120°.
17．如图，在中，，，，是的平分线.若，分别是和上的动点，则的最小值是__________.

【答案】
【详解】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，

∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°，
∴AB==5.
∵ ,
∴=2.4.
故答案为：2.4.
18．如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为 ．

【答案】9．
【详解】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．

∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=5cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=6cm．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=6cm．
∴S△OCD=
在等边三角形OCD中，S△OMN=S△OCD=
S△PMN=S△PCD=
∴S四边形PMON= S△OMN+ S△PMN=+=9．
19．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．

【答案】（，）．
【详解】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=，∴P（，）．故答案为：（，）．

20．如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC=12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为__cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为___cm2．

【答案】； .
【解析】
【详解】如图，作DG⊥AC与G，DH⊥BC与H，

∵∠EDG=90°-∠GDF，∠HDF=90°-∠GDF，
∴∠GDE=∠HDF，
又∵∠DGE=∠DHF，DE=DF，
∴△DGE≌△DHF，
∴DG=DH,
∴点D在∠ACF的平分线上.
∵AC=12，
∴CD=cos45°×AC=6.
当运动到DE⊥AC时，此时四边形CFD，E是正方形，
∴ CD＝EF＝12，
∴DD′=12-6.，
∴点D运动的路径长为2（12-6）=（）cm；

由题意知，当运动到DE⊥AC时，△ABD的面积最大，
BC=tan30°×AC=6.
S△ABD=S△ABC+S梯形ACFD-S△ADF
=
=.

故答案为(1). ； (2). .
21．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为_____．

【答案】
【详解】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，
∴BC==9，
S△ABC=AB•AC=BC•AF，
∴3×6=9AF，
AF=2，
∴AA'=2AF=4，
∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，
∴∠A'=∠C，
∵∠AEA'=∠BAC=90°，
∴△AEA'∽△BAC，
∴，
∴，
∴A'E=，
即AD+DE的最小值是，
故答案为．