中考数学压轴题满分突破训练 专题01 二次函数的图像与性质

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中考数学二轮复习策略（供参考）
第二轮复习是为了将第一轮复习的知识点、线结合，交织成知识网络，是第一轮复习的延伸和提高，所以要注重与实际问题的联系，以实现数学能力的培养和提高。本轮复习应该侧重培养数学能力，在第一轮复习的基础上，适当增加难度，要有针对性，围绕热点、难点、创新点、重点，特别是近几年的中考常考内容选定专题。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。

第一讲 二次函数的图像与性质
目录
必备知识点 1
考点一 y=ax2（a≠0）图像与性质 3
考点二 y=a(x-h)2+k（a≠0）的图像与性质 4
考点三 y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与性质 7

知识导航


必备知识点
1.
函数



大致
图像



开口
方向
向上
向下
向上
对称轴
（y轴）
（y轴）
（y轴）
增减性
当x＜0时，y随x的增大而减小
当x＞0时，y随x的增大而增大
当x＜0时，y随x的增大而增大
当x＞0时，y随x的增大而减小
当x＜0时，y随x的增大而减小
当x＞0时，y随x的增大而增大
顶点
（0，0）
（0，0）
（0，0）
最值
最小值y=0
最大值y=0
最小值y=0

【总结】：①a＞0，开口方向向上，有最小值；a＜0，开口方向向下，有最大值
②|a|越大，开口越小，函数值变化越快

2.
函数



大致
图像



开口
方向
向上
向上
向下
对称轴



增减性
当x＜2时，y随x的增大而减小
当x＞2时，y随x的增大而增大
当x＜-2时，y随x的增大而减小
当x＞-2时，y随x的增大而增大
当x＜-2时，y随x的增大而减大
当x＞-2时，y随x的增大而增小
顶点
（2，0）
（-2，0）
（-2，0）
最值
最小值y=0
最大值y=0
最小值y=0

【总结】：①函数的对称轴为x=h
②仍满足函数的平移规则：左加右减
3.
函数



大致
图像



开口
方向
向上
向上
向上
对称轴



顶点
（1，2）
（-1，-4）
（-1，4）
最值
最小值y=2
最小值y=-4
最大值y=4
【总结】：①函数的对称轴为x=h，最大值为k，顶点为（h，k）
②仍满足函数的平移规则：左加右减，上加下减
4.
函数



大致
图像



开口
方向
向上
向上
向下
对称轴



与y轴
交点
（0，3）
（0，-3）
（0，3）
顶点
（1，2）
（-1，-4）
（-1，4）
最值
最小值y=2
最小值y=-4
最大值y=4
将转化为的形式为：，那么将转化为的形式为：即
【总结】：①a决定抛物线开口方向及大小
②c决定抛物线与y轴交点
③抛物线的对称轴：
④抛物线的顶点



考点一 y=ax2（a≠0）图像与性质

1．关于函数y＝3x2的性质表述，正确的一项是（　　）
A．无论x为何实数，y的值总为正
B．当x值增大时，y的值也增大
C．它的图象关于y轴对称
D．它的图象在第一、三象限内
【解答】解：∵y＝3x2，
∴函数图象的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，
∴函数图象在第一、二象限内，当x＞0时，y随x的增大而增大，
故C正确，A、B、D错误．
故选：C．
2．抛物线y＝﹣2x2不具有的性质是（　　）
A．对称轴是y轴
B．开口向下
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．顶点是抛物线的最低点
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2，
∴该函数的对称轴是直线x＝0，也就是y轴，故选项A不符合题意，
a＝﹣2，该函数图象开口向下，故选项B不符合题意，
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意，
顶点式抛物线的最高点，故选项D符合题意，
故选：D．
3．抛物线y＝x2，y＝﹣2x2，y＝x2共有的性质是（　　）
A．开口向下
B．顶点是坐标原点
C．都有最低点
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【解答】解：抛物线y＝x2，开口向上，对称轴y轴，有最低点，在对称轴左侧y随着x的增大而减小，右侧y随着x的增大而增大；
抛物线y＝﹣2x2，开口向下，对称轴y轴，有最高点，在对称轴左侧y随着x的增大而增大，右侧y随着x的增大而减小；
抛物线y＝x2，开口向上，对称轴y轴，有最低点，在对称轴左侧y随着x的增大而减小，右侧y随着x的增大而增大．
故选：B．
4．如图为图像，那么可能是如下（　　）图

A． B．C．D．
【解答】解：开口方向向下，且||＜，所以开口越大，
故选：C．


考点二 y=a(x-h)2+k（a≠0）的图像与性质

1．抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3，
∴抛物线顶点坐标为（1，3），
故选：B．
2．若二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1），
∴坐标原点可能是点A，
故选：A．
3．关于二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象及性质，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝1
B．当x＝﹣1时，y取得最小值，且最小值为﹣7
C．顶点坐标为（﹣1，7）
D．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大
【解答】解：∵y＝3（x+1）2﹣7，
∴函数的对称轴为直线x＝﹣1，故选项A错误，不符合题意；
顶点坐标为（﹣1，﹣7），故选项C错误，不符合题意；
∵开口向上，
∴当x＝﹣1时，y取得最小值，且最小值为﹣7，故选项B正确，符合题意；
当x＜﹣1时，y的值随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
4．顶点为（﹣2，1），且开口方向、形状与函数y＝﹣2x2的图象相同的抛物线是（　　）
A．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2+1
C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x+2）2+1
【解答】解：根据题意得y＝﹣2（x+2）2+1．
故选：D．
5．对于任何实数h，抛物线y＝﹣x2与抛物线y＝﹣（x﹣h）2的相同点是（　　）
A．顶点相同 B．对称轴相同
C．形状与开口方向相同 D．都有最低点
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2是由抛物线y＝﹣（x﹣h）2向右平移h个单位得到，
∴抛物线y＝﹣x2与抛物线y＝﹣（x﹣h）2的开口方向及形状相同，
故选：C．
6．抛物线y＝（x﹣a）2+a﹣1的顶点一定不在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵y＝（x﹣a）2+a﹣1，
∴该抛物线的顶点坐标为（a，a﹣1），
当a﹣1＞0时，a＞0，此时顶点在第一象限，故选项A不符合题意；
当0＜a＜1时，此时顶点在第四象限，故选项D不符合题意；
当a＜0时，a﹣1＜0，此时顶点在第三象限，故选项C不符合题意；
故选：B．
7．一次函数y＝hx+k的图象过一、三、四象限，则二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵一次函数y＝hx+k的图象过一、三、四象限，
∴h＞0，k＜0，
∵二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点为（h，k），
∴二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点在第四象限，
故选：D．
8．抛物线y＝x2+1的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：抛物线y＝x2+1的图象开口向上，且顶点坐标为（0，1）．故选C．
9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，
故选：D．
10．已知函数y＝a（x﹣h）2+k，其中a＜0，h＞0，k＜0，则下列图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，a＜0，
∴图象开口向下，A、B选项错误；
∵对称轴x＝h＞0，顶点坐标（h，k），k＜0，
∴C选项错误，D选项正确．
故选：D．
11．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象如图所示，直线y＝ax+hk的图象经过第几象限（　　）

A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【解答】解：由函数图象可知，
y＝a（x﹣h）2+k中的a＜0，h＜0，k＞0，
∴直线y＝ax+hk中的a＜0，hk＜0，
∴直线y＝ax+hk经过第二、三、四象限，
故选：D．
12．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k为常数）在坐标平面上的图象通过（0，5）、（15，8）两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何值？（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，
而（0，5）、（15，8）两点在抛物线上，
∴h﹣0＞15﹣h，解得h＞7.5．
故选：D．
13．在平面直角坐标系中，直线y＝ax+h与抛物线y＝a（x﹣h）2的图象不可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、∵直线y＝ax+h经过第一、二、四象限，
∴a＜0，h＞0，
∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向下，对称轴为直线x＝h在y轴的右侧，顶点为（h，0），
∴该选项图象符合题意；

B、直线y＝ax+h经过第一、二、三象限，
∴a＞0，h＞0，
∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向上，称轴为直线x＝h在y轴的右侧，顶点为（h，0），
∴该选项图象符合题意；

C、直线y＝ax+h经过第一、二、三象限，
∴a＞0，h＞0，
∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向上，称轴为直线x＝h在y轴的右侧，顶点为（h，0），
∴该选项图象不符合题意；

D、∵直线y＝ax+h经过第一、三、四象限，
∴a＞0，h＜0，
∴抛物线y＝a（x﹣h）2开口向上，称轴为直线x＝h在y轴的左侧，顶点为（h，0），
∴该选项图象符合题意；
故选：C．
14．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
15．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与二次函数y＝nx2+m的大致图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由直线过一、二、三象限可知，m＞0，由抛物线可知，图象与y轴交于负半轴，则m＜0，矛盾，故此选项错误；
B、由直线过二、三、四象限可知，n＜0，由抛物线可知，开口向上，n＞0，矛盾，故此选项错误；
C、由直线过一、三、四象限可知，n＜0，由抛物线可知，开口向上，n＞0，矛盾，故此选项错误；
D、由直线过一、三、四象限可知，m＞0，n＜0，由抛物线可知，开口向上，n＞0，图象与y轴交于正半轴，则m＜0，一致，故此选项正确；
故选：D．
16．二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过（　　）象限．

A．一、二、三 B．一、二、四 C．二、三、四 D．一、三、四
【解答】解：∵抛物线的顶点（﹣m，n）在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限，
故选：C．
17．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a、h、k为常数，a≠0）经过图中A（2，2）和B（9，9）两点，则下列判断正确的是（　　）

A．若h＝3，则a＜0 B．若h＝6，则a＞0
C．若h＝4，则k＜2 D．若h＝5，则k＞9
【解答】解：由四个选项中h的取值可知，A、B在抛物线的对称轴的两侧，
当a＞0时，
∵抛物线的对称轴为直线x＝h，
而A（2，2）和B（9，9）两点在抛物线上，
∴h﹣2＜9﹣h，解得h＜5.5，k＜2，
当a＜0时，
∵抛物线的对称轴为直线x＝h，
而A（2，2）和B（9，9）两点在抛物线上，
∴h﹣2＞9﹣h，解得h＞5.5，k＞9，
故选：C．
18．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（　　）
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
【解答】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，
∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，
整理得：a（9﹣2h）＝1，
若h＝4，则a＝1，故A错误；
若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；
若h＝6，则a＝﹣，故C正确；
若h＝7，则a＝﹣，故D错误；
故选：C．


考点三 y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与性质

1．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣4 B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣6
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6，
故选：D．
2．二次函数y＝﹣x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（　　）
A．（2，11），x＝2 B．（2，3），x＝2
C．（﹣2，11），x＝﹣2 D．（﹣2，3），x＝2
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，11）．
故选：A．
3．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（　　）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝﹣4，
∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
故选：D．
4．已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（　　）
A．± B．﹣或 C．﹣或 D．或2
【解答】解：∵二次函数为y＝mx2﹣4mx，
∴对称轴为x＝＝＝2，
①当m＞0时，
∵二次函数开口向上，
∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝2取得最小值﹣2，
将x＝2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，
解得：m＝，
②当m＜0时，
∵二次函数开口向下，
∴当﹣2≤x≤3时，函数在x＝﹣2取得最小值﹣2，
将x＝﹣2，y＝﹣2代入y＝mx2﹣4mx中，
解得：m＝﹣，
综上，m的值为或﹣，
故选：B．
5．已知二次函数y＝﹣x2+2x+1，当a≤x≤0时，y取得最小值为﹣2，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴二次函数图像的对称轴为x＝1，
∵﹣1＜0，开口向下，
∴在对称轴x＝1的左侧，y随x的增大而增大，
∵当a≤x≤0时，即在对称轴左侧，y取得最小值为﹣2，
∴当x＝a时，y＝﹣2，
∴﹣a2+2a+1＝﹣2，
解得：a＝﹣1或a＝3（舍去），
故a的值为﹣1．
故选：A．
6．二次函数y＝ax2+b的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＞0，
故一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限．
故选：C．
7．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项不符合题意．
故选：B．
8．一次函数y＝kx+k与二次函数y＝ax2的图象如图所示，那么二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象可能为（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：由二次函数y＝ax2的图象知：开口向上，a＞0，一次函数y＝kx+k图象可知k＞0，
∴二次函数y＝ax2﹣kx﹣k的图象开口向上，对称轴x＝﹣在y轴的右侧，交y轴的负半轴，
∴B选项正确，
故选：B．
9．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D选项不符合题意；
当a＞0时，
∵b＞0，
∴对称轴x＝＜0，
故B选项不符合题意；
当a＜0时，b＞0，
∴对称轴x＝＞0，
故C选项符合题意，
故选：C．
10．二次函数y＝4ax2+4bx+1与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵二次函数y＝4ax2+4bx+1，
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵一次函数y＝2ax+b，
∴当y＝0，则x＝﹣，
∴直线y＝2ax+b与二次函数y＝4ax2+4bx+1的对称轴交于x轴上同一点，
故A、B、C不合题意，
D、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项正确；
故选：D．