中考数学二轮复习培优专题22解三角形之字母型 (含答案)

22第4章解三角形之字母型

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（      ）．

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】B

【解析】

【分析】

设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．

【详解】

解：设点到直线距离为米，

在中，，

在中，，

由题意得，，

解得，（米，

故选：．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．

2．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（    ）．

A． B．51 C． D．101

【答案】C

【解析】

试题分析：设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH．

解：设AG=x，

在Rt△AEG中，

∵tan∠AEG=，

∴EG==x，

在Rt△ACG中，

∵tan∠ACG=，

∴CG==x，

∴x﹣x=100，

解得：x=50．

则AB=50+1（米）．

故选C．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

3．一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（　　）米．

（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8

【答案】B

【解析】

【分析】

如图，作交的延长线于，延长交的延长线于，作于．设，在中，根据，构造方程解决问题即可．

【详解】

解：如图，作DH⊥FC交FC的延长线于H，延长AB交CF的延长线于T，作DJ⊥AT于J．

由题意四边形EFTB、四边形DHTJ是矩形，

∴BT=EF=1.4米，JT=DH，

在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，=，

∴DH=1（米），CH=2.4（米），

∵∠ACT=45°，∠T=90°，

∴AT=TC，

设AT=TC=x．则DJ=TH=（x+2.4）米，AJ=（x﹣1）米，

在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ==0.75，

∴=0.75，

解得x=2，

∴AB=AT﹣BT=AT﹣EF=11.2﹣1.4=9.8（米），

故选：B．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用测量高度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，要熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型．

二、填空题

4．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是_____米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）

【答案】74

【解析】

【分析】

首先证明BD＝CD，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此构建方程即可解决问题．

【详解】

如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，

∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，

∴BD＝CD，设BD＝CD＝x，

在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，

∴AD＝CD，

∴52+x＝x，

∴x＝≈74（m），

故答案为74，

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

5．如图，在一笔直的海岸线上有相距的两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是________．

【答案】

【解析】

【分析】

过点C作CD⊥AB于点D，然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形的应用即可求出答案．

【详解】

过点C作CD⊥AB于点D，

根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，
∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=4km，
在Rt△CBD中，
∴CD=BC•sin60°()

∴船C到海岸线的距离是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用－方向角问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．

三、解答题

6．如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行20m到达B处，侧的灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD．（结果保留整数）参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60

【答案】CD约为30m

【解析】

【分析】

根据锐角三角函数可得AD=，BD=CD，然后根据AD－BD=AB列出方程即可求出结论．

【详解】

解：在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠A=31°，∠CBD=45°

∴AD=，BD=CD

∵AD－BD=AB

∴

解得：CD≈30

答：这座灯塔的高度CD约为30m．

【点睛】

此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．

7．如图所示，在一个坡度的山坡的顶端处竖直立着一个电视发射塔．为测得电视发射塔的高度，小明站在山脚的平地处测得电视发射塔的顶端的仰角为40°，若测得斜坡长为米，点到点的水平距离米，求电视发射塔的高度．（参考数值：，，，结果保留整数）

【答案】85米

【解析】

【分析】

如图，根据坡比设BE=x，EC=2x，在RtBEC中，根据勾股定理列出关于x的方程求出BE和CE；在中，利用正切的定义求出AE问题得解．

【详解】

解：如图，

作交DC的延长线于点，

在中，∵，设，则，

，

根据勾股定理得，

解得，

∴（米），（米），

∴（米），

在中，

∵，

∴，

∴（米），

答：电视发射塔的高度约为85米．

【点睛】

本题考查了坡比的概念、仰角概念及锐角三角函数定义，要求学生能借助仰角、坡比构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．

8．如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在处测得小岛在渔船的北偏东方向；半小时后，渔船到达处，此时测得小岛在渔船的北偏东方向．已知以小岛为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区．如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？

【答案】如果这艘渔船继续向东追赶鱼群有着弹危险，详见解析

【解析】

【分析】

根据题意可知，实质是比较C点到AB的距离与18的大小．因此作CD⊥AB于D点，求CD的长．

【详解】

有着弹危险．

理由如下：作于，

根据题意，，，，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∴，

答：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群有着弹危险．

【点睛】

本题考查了方位角问题，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用等，掌握方位角的概念、熟记含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．

9．为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．

（1）求B处到灯塔P的距离；

（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？

【答案】（1）B处到灯塔P的距离为60海里；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的

【解析】

【分析】

（1）作PD⊥AB于D．求出∠PAB、∠PBA、∠P的度数，证得△ABP为等腰三角形，即可解决问题；
（2）在Rt△PBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定．

【详解】

（1）过点P作PD⊥AB于点D，

由题意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°，
∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB，

∴PB=AB=60（海里），

答：B处到灯塔P的距离为60海里；
（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，
∴PB=AB=60（海里）

在Rt△PBD中，
PD=BPsin60°60（海里），

∵，

∴海监船继续向正东方向航行是安全的．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．

10．如图，某楼房顶部有一根天线，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点，，，在点处测得天线顶端的仰角为，从点走到点，测得米，从点测得天线底端的仰角为，已知，，在同一条垂直于地面的直线上，米．

（1）求与之间的距离；

（2）求天线的高度．（参考数据：，结果保留整数）

【答案】（1）之间的距离为30米；（2）天线的高度约为27米．

【解析】

【分析】

（1）根据题意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB，已知CD=5，不难算出A与C之间的距离．

（2）根据题意，在中，，利用三角函数可算出AE的长，又已知AB，故EB即可求解．

【详解】

（1）依题意可得，在中， ，

米，

米，米.

即之间的距离为30米．

（2）在中，，米，

（米），

米，米．

由．并精确到整数可得米．

即天线的高度约为27米．

【点睛】

（1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．

（2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键．

11．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，为立柱的一部分，灯臂，支架与立柱分别交于A，B两点，灯臂与支架交于点C，已知，，，求支架的长．（结果精确到，参考数据：，，）

【答案】49cm

【解析】

【分析】

过点C作CD⊥MN，垂足为D，分别解△ACD和△BCD，即可得到结果．

【详解】

解：过点C作CD⊥MN，垂足为D，

∵∠MAC=60°，∠ACB=15°，

∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∵AC=40cm，

∴在Rt△ACD中，AD=AC=20cm，

∴CD=cm，

∴在Rt△BCD中，BC=cm，

∴支架BC的长为49cm．

【点睛】

本题考查了解直角三角形，涉及到等腰直角三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，构造特殊直角三角形．

12．如图，在中，的平分线交于点．求的长？

【答案】6

【解析】

【分析】

由求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分线得出∠CBD=30°，进而求出BC的长，最后用sin∠A即可求出AB的长．

【详解】

解：在中，

是的平分线，

又

，

在中， ，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数是解决此类题的关键．

13．为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶测得处的俯角为，处的俯角为，乙在山下测得，之间的距离为100米．已知，，在同一水平面的同一直线上，求山高（结果保留根号）．

【答案】米

【解析】

【分析】

设，由题意可知，，CD=100米，即可得，，在中，由可得，由此即可求得，即可得山高为米．

【详解】

解：设，

由题意可知：，，

∴

∴，

在中，

∴，

∴

解得：，

∴山高为米．

【点睛】

本考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解决问题的关键．

14．一副直角三角板如图所示放置，点在的延长线上，，，，，，试CD的长.

【答案】15﹣5．

【解析】

【分析】

过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．

【详解】

过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，

∴∠ABC=30°，BC=AC×tan60°=10，

∵AB∥CF，

∴BM=BC×sin30°=10×=5，

CM=BC×cos30°=15，

在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，

∴∠EDF=45°，

∴MD=BM=5，

∴CD=CM-MD=15-5

【点睛】

本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．

15．如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东方向航行至D处， 在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD (参考数据：，，，，，）

【答案】20km

【解析】

【分析】

过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得DH，再解求得AD即可．

【详解】

解：如图，过点作，垂足为

在中，

在中，

在中，

（km）

因此，轮船航行的距离约为

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

16．周日，妈妈带小岚到商场的攀岩墙处玩耍如图，是一攀岩墙，小岚从攀岩墙底部处向上攀爬，妈妈站在距离攀岩墙的处，当他到达处时，妈妈看向他的仰角为，当他到达墙顶处时，妈妈看向他的仰角为(小岚妈妈的身高均忽略不计) ，此时攀岩教练开始释放手中的绳子，使小岚以的速度下落到处，再减速下落到地面，则他从处下落到处需要多长时间? (结果保留整数，参考数据：

)   

【答案】小岚从处下落到处需要

【解析】

【分析】

在中，利用三角函数解直角三角形可得CD；在中，利用三角函数解直角三角形可得AD，进而得到AC的长度，即可求解．

【详解】

解：根据题意可知，

在中，

即

∴（m）

在中，

即

答：小岚从处下落到处需要．

【点睛】

此题主要考查利用三角形函数解直角三角形，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．

17．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE长1.2m，测得AB=1.6m，BC=8.4m，楼高CD是多少？

【答案】楼高CD是7.5m

【解析】

【分析】

先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．

【详解】

解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，

∴EB∥DC，

∴△ABE∽△ACD，

，

∵BE=1.2，AB=1.6，BC=8.4，

∴AC=10，

∴CD=7.5．

答：楼高CD是7.5m．

【点睛】

考点：相似三角形的应用．

18．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）

如图，表示一段笔直的高架道路，线段表示高架道路旁的一排居民楼．已知点到的距离为米，的延长线与相交于点，且，假设汽车在高速道路上行驶时，周围米以内会受到噪音的影响．

（1）过点作的垂线，垂足为点．如果汽车沿着从到的方向在上行驶，当汽车到达点处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点的距离为多少米？

（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点时，它与这一排居民楼的距离为米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到米） （参考数据：）

【答案】（1）米；（2）米

【解析】

【分析】

（1）联结，直接在中利用勾股定理解出即可；（2）从题中可得到的信息是，因此需要安装的隔音板至少要包含这一段．第（1）小题中已解得，故需要求出，在和中用两次的三角函数，即可解得和，代入计算即可．

【详解】

解：（1）连结，由题意得，，

在中，；

（2）由题意知，隔音板至少要从点装到点．

在中，，∴，

在中，，∴．

∴．

答：（1）此时汽车与点的距离为米；（2）高架道路旁安装的隔音板至少需要米．

19．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？

（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？

【答案】(1)能看到；(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞9.5米.

【解析】

【分析】

(1)根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，可知∠DFG=90°﹣53°=37°，在△DFG中，已知DF的长度，求出DG的长度，若DG>3，则看不见老鼠，若DG≤3，则可以看见老鼠；

(2)根据(1)求出的DG长度，求出AG的长度，然后在Rt△CAG中，根据=sin∠ACG =sin37°，即可求出CG的长度.

【详解】

(1)能看到；

由题意得，∠DFG=90°-53°=37°，

则=tan∠DFG，

∵DF=4米，

∴DG=4×tan37°≈4×0.75=3(米)，

故能看到这只老鼠；

(2)由(1)得，AG=AD+DG=2.7+3=5.7(米)，

又=sin∠ACG=sin37°，

则CG==9.5(米)，

答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞约9.5米．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段.

20．我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC．(结果精确到0.1米,参考数据:sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.5，≈1.73)

【答案】工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米.

【解析】

【分析】

在Rt△BAE中，根据BE=162米，∠BAE=68°，解直角三角形求出AE的长度，然后在Rt△DCE中解直角三角形求出CE的长度，然后根据AC=CE-AE求出AC的长度即可．

【详解】

解：在Rt△BAE中，∠BAE=680，BE=162米，

∴（米），

在Rt△DEC中，∠DGE=600，DE=176.6米，

∴（米），

∴（米），

∴工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形．