专题10 圆的中档大题过关30题-【基础过关】2023年中考数学总复习高频考点必刷题

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专题10 圆的中档大题过关30题（解析版）
专题简介：本份资料包含中考圆的中档大题模块中常考的各类主流中档大题，所选题目源自近四年各名校试题中的有代表性的优质试题，把每一个模块中的高频考题按题型进行分类汇编，具体分为七类题型：垂径定理与圆心角圆周角的大题、切线的性质的大题、切线的判定（第I类：用等量代换证半径与直线的夹角等于90°、第II类：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90°、第III类：用全等证半径与直线的夹角等于90°、第IV类：用代数方法：证圆心到直线的距离等于半径），圆与坐标系相综合的大题，适合培训机构辅导老师给学生做一轮专题复习时使用或者学生考前刷题使用。
垂径定理与圆心角、圆周角的大题
1．（中雅）如图，点，，在直径为2的上，．
（1）求弧的长度；
（2）求图中阴影部分的面积．（结果中保留

【解答】解：（1）如图，连接，．，，，的直径为2，
，的长；
（2） ．
2.（青竹湖）如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=30°．
（1）求圆心O到CD的距离OF；
（2）求CD的长．

【解答】解：（1）∵BO＝（AE+BE）＝（1+5）＝3，∴OE＝3﹣1＝2，在Rt△EFO中，∵∠OEF＝30°∴OF＝1，即点O到CD的距离为1；
（2）连接OD，如图，在Rt△DFO中，OD＝3，∴DF＝＝＝2，
∵OF⊥CD，∴CD＝2DF＝4∴CD的长为4．
3．（雅实）如图，与交于，两点，是直径且长为12，．
（1）若，求的度数；
（2）证明：；
（3）若，求的长度．

【解答】（1）解：，，，，；
（2）证明：四边形内接于，，，，
，，，，
；
（3）解：连接，，由（2）得，
，，，，，
，是直径：，设，则，，
，解得：，．
4．（北雅）如图，⊙O的直径AB为10，弦AC为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求BC，AD，BD的长；
（2）求CD的长度．

【解答】解：（1）∵AB为直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ACB中，BC＝＝＝8，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠DBA＝∠DAB＝∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD＝BD＝AB＝×10＝5，即BC，AD，BD的长分别为8，5，5；
（2）过A点作AH⊥CD于H，如图，∵∠ACH＝45°，∴△ACH为等腰直角三角形，
∴CH＝AH＝AC＝×6＝3，在Rt△AHD中，DH＝＝＝4，
∴CD＝CH+DH＝3+4＝7．
5.（麓山国际）如图，等边内接于，是弧上任一点（点不与点重合），连接，过点作交的延长线于点.
（1）求的度数；
（2）求证：为等边三角形；
（3）若，，求的面积.

【解析】(1)∵为等边三角形，∴∴；
(2)又且，∴，∴，
∴是等边三角形；
(3)取，∴，∴为等边三角形，∴，，
∴，即，在与中
，∴，∴，∴
∴。

切线的性质：告诉相切，立即连接圆心与切点，得到半径与切线的夹角等于。
6．（长郡）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．
（1）求证：△AOC≌△AOD；
（2）若BE＝1，BD＝3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．

【解答】（1）证明：∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
在Rt△AOC和Rt△AOD中，∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL）．
（2）解：设半径为r，在Rt△ODB中，r2+32＝（r+1）2，解得r＝4；
由（1）有AC＝AD，AB＝AD+DB＝AC+DB＝AC+3，BC＝BE+2r＝1+8＝9，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC2+92＝（AC+3）2，解得AC＝12，
∴S＝AC•BC﹣πr2＝×12×9﹣π×42＝54﹣8π．
7．如图，已知在Rt△ABC中，，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作，垂足为F．

(1)求证：；
(2)若，，求AD的长．
【详解】（1）解：如图，连接OE，

∵AC切半圆O于点E，∴OE⊥AC，∵OF⊥BC，，∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°．
∴四边形OFCE是矩形，∴OF＝EC；
（2）∵，∴，∵，OE⊥AC，∴，
∴．
8．如图，圆是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．
（1）求的度数；
（2）若，求圆的半径．

【详解】（1）如图，连接OA，设，，，，
，，AE是圆O的切线，，即，，在中，由三角形的内角和定理得：，即，解得，
则由圆周角定理得：，故的度数为；
（2）如图，连接AD，设圆O的半径为，则，，，
BD是圆O的直径，，由（1）可知，，则在中，，，在中，由勾股定理得：，即，解得或（不符题意，舍去），则圆O的半径为2．

9.（青竹湖）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．
（1）求证：OD∥BE；
（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD＝x，OC＝y，且x+y＝14，求CD的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，在Rt△OAD和Rt△OED，，∴Rt△OAD≌Rt△OED（HL）
∴∠AOD＝∠EOD＝∠AOE，在⊙O中，∠ABE＝∠AOE，∴∠AOD＝∠ABE，
∴OD∥BE（同位角相等，两直线平行）．
（2）解：与（1）同理可证：Rt△COE≌Rt△COB，∴∠COE＝∠COB＝∠BOE，∵∠DOE+∠COE＝90°，∴△COD是直角三角形，∵S△DEO＝S△DAO，S△OCE＝S△COB，∴S梯形ABCD＝2（S△DOE+S△COE）＝2S△COD＝OC•OD＝48，即xy＝48，又∵x+y＝14，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝142﹣2×48＝100，
在Rt△COD中，CD＝＝＝＝10，∴CD＝10．
10．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．

（1）求证：∠ABC＝2∠CAF；
（2）若AC＝2，CE：EB＝1：4，求CE的长．
【详解】（1）证明：如图，连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°．
∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，即∠DAB+∠CAF＝90°．∴∠CAF＝∠ABD．∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD．∴∠ABC＝2∠CAF．
（2）解：如图，连接AE，∴∠AEB＝90°，设CE＝x，∵CE：EB＝1：4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，即（2）2＝x2+（3x）2，∴x＝2．∴CE＝2．

11.（雅礼）如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线交于点，弦平分，交于点，连接，.
（1）求证：平分；
（2）若，求阴影部分的面积；
（3）若，求的长度.

【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，
∴∠OCP＝∠D＝90°，∴OC∥AD．∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC．即AC平分∠DAB．
（2）解：连接AE．∵∠ACE＝∠BCE，∴，∴AE＝BE．又∵AB是直径，∴∠AEB＝90°．
∴AB＝BE＝×5＝10，∵OB＝5，∴BC＝OB＝OC＝5，即△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，∴OH＝＝，CH＝OH＝，∴S△BOC＝×5×＝，
S扇形BOC＝×π×52＝π，∴阴影部分的面积为π﹣；
（3）解：过点C作CH⊥AB垂足为点H，如图：由（2）得：OC＝OB＝5，∵AC平分∠DAB，CH⊥AB，CD⊥AD，∴CH＝CD＝3，∴OH＝＝＝4，在Rt△OHC中，tan∠COH＝＝，
在Rt△COP中，tan∠COP＝＝，∴PC＝OC＝．


切线的判定：有切点，用几何方法：证半径与直线的夹角等于（含三小类）；
‚无切点，用代数方法：证圆心到直线的距离等于半径。
第I类：用等量代换证半径与直线的夹角等于90°
12.（青竹湖）如图，为的直径，于，交于点，为上一点，.
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求弦的长.






【解答】（1）证明：∵OD⊥AC，∴∠ADO＝90°，∴∠AOD+∠A＝90°，又∵∠AOD＝∠C，
∴∠A+∠C＝90°，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OD⊥AE，∴AD＝ED，在Rt△AOD中，OA＝AB＝5，OD＝3，∴AD＝＝4，
∴AE＝2AD＝8．
13.（周南）如图已知AB是⊙O的直径，，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，.
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)求AD的长.

【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵∠D＝∠B，∠EAC＝∠D，∴∠EAC＝∠B，∴∠EAC+∠BAC＝90°，∴BA⊥AE，∵BA过O，∴直线AE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，∵∠BCD＝∠DCA，∴BD＝AD，∵AB＝10，∴AD＝BD＝×10＝5．
14．（青竹湖）如图，在矩形中，点为边上一点，以点为圆心，为半径的与对角线相交于点，连接，．
（1）求证：为的切线；
（2）若当点为的中点时，的半径为1，求矩形的面积．

【解答】证明：（1）连接，

四边形是矩形，，，，
，，为的半径，是的切线；
（2）解：在中，点为的中点，，，，
，在中，，，，，，矩形的面积为．
15．（广益）如图，内接于，且，是的直径，与交于点，在的延长线上，且．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的直径．

【解答】解：（1）与的位置关系是相切，理由是：和都对弧，
，是直径，，，，，
，，，，，
（已证），，，是半径，是的切线，
即与的位置关系是相切；
（2）是直径，，，，
设，，由勾股定理得：，在中，由三角形面积公式得：，
即，解得：，即，在中，由勾股定理得：，
解得：，，即的直径是8．
16．（长郡）如图，△内接于⊙，为直径，过点作，交的延长线于点，交于点，为上一点，连接，其中。
（1）求证：E是DF中点；
（2）求证：EC是⊙O的切线；
（3）如果，，求弦的长．

【解答】(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵EC＝ED,∴∠DCE＝∠EDC,
在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠CDE+∠F＝90°，
∴∠ECF＝∠F，∴EC＝EF，∴ED＝EF,∴E是DF的中点；
(2)证明:连接OC,∵OF⊥AB,∴∠DOA＝90°,∴∠A+∠ADO＝90°,∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，∴∠OCA+∠ADO＝90°，∵∠ADO＝∠CDE,∴∠OCA+∠CDE＝90°，∵∠CDE＝∠DCE,
∴∠OCA+∠DCE＝90°,∴EC⊥OC,∴EC是⊙O的切线；
(3)解:∵EF＝3，ED＝EF,∴EC＝DE＝3，∴OE＝＝5，
∴OD＝OE﹣DE＝2，在Rt△OAD中，AD＝＝2，
在Rt△AOD和Rt△ACB中，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD，∴Rt△AOD∽Rt△ACB，∴，
即，∴AC＝．
17．（雅礼）如图，已知，，，以为圆心，长为半径的交于点，过点作直线交于，连接，且．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求的长．
（3）若，求的长．

【解答】（1）证明：如图1，

连接，，，，，，，
，，半径，是切线；
（2）解：如图2，

，，，为等边三角形，，，
；
（3）解：如图3，

过作，垂足为，在中，，，，
，，，在中，
，，．
②第II类：用平行+垂直证半径与直线的夹角等于90°
18．（湘一立信）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为．
（1）求证：；
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由．

【解答】（1）证明：为的直径，，在和中，，
，
（2）解：直线与相切，理由如下：连接，如图所示：

由知：，又，为的中位线，，，
，为的半径，与相切．
119．（广益）如图，已知等腰三角形的底角为，以为直径的与底边交于点，过作，垂足为．
（1）证明：为的切线；
（2）若，求的长．

【解答】（1）证明：连接，，，，，，
，，为的切线；
（2）解：连接，为直径，，，又，
，．

20．（青竹湖）如图，是的直径，平分交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．

【解答】解：（1）如图，连接，平分，，又，
，，，，，是的切线；
（2）如图，连接，交于，是的直径，，又，，
四边形是矩形，，．设的半径为，在中，由勾股定理得，，解得．即半径为5．

21.(师大)如图，在中，，和平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，.
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求阴影部分的面积(结果保留).


【解答】解：（1）直线BC与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，∵OD为半径，∴直线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，则OD＝OF＝R，在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，
即（R+3）2＝（3）2+R2，解得：R＝3，即⊙O的半径是3，阴影=．
22．（青竹湖）如图，已知为的直径，点在上，的平分线交于点，过点
作的垂线，垂足为，直线与的延长线交于点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的半径．

【解答】解：（1）结论：PC是⊙O的切线．理由：连接OC．∵AC平分∠EAB，∴∠EAC＝∠CAB，
∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO，∴∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥PD，
∴∠OCP＝∠D＝90°，∵点C在⊙O上，∴PC是⊙O的切线；
（2）连接BE．在Rt△ADP中，∠ADP＝90°，AD＝6，tan∠P＝，∴tan∠P＝＝＝，
∴PD＝8，AP＝＝10，设半径为r，∵OC∥AD，∴△PCO∽△PDA，
∴＝，即＝，解得r＝，即⊙O的半径为
第III类：用全等证半径与直线的夹角等于90°
23．（青竹湖）如图，，分别是半的直径和弦，于点，过点作半的切线，与的延长线交于点．连接并延长与的延长线交于点．
（1）求证：是半的切线；
（2）若，，求线段的长．

【解答】（1）证明：连接，，经过圆心，，，
在和中，，，，是半的切线，
．，即，是的切线．
（2）解：是直径，，，，是半的切线，，，，，．

24．（湘一立信）如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）设交于点，若，，求的半径长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接，如图，为切线，，，，
，即垂直平分，，在和中，，
，，，与相切；
（2）解：，，，，，
的半径长为4；
（3）解：，，，，
．
25．（广益）如图，已知直线，过直线上一点作于点，以为直径作，直线与交于点，且，连接、．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为3，且，求的值．

【解答】解：（1）连接，，，，，
在和中，，，，
即，是的半径，是的切线；
（2）过点作于，在和中，，，
，，，
在中，，
答：．


第IV类：用代数方法：证圆心到直线的距离等于半径
26．（长郡）如图，为菱形对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点．
（1）求证：与相切；
（2）若菱形的边长为2，，求的半径．

【解答】解：（1）连接，过点作于．与相切于点，，是的半径，是菱形的对角线，平分，，，，
与相切；
（2）四边形是菱形，，，是等边三角形，，
设半径为．则，，，，，，
在中，，
解得或（舍弃），的半径为．
27．如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，∵CE与⊙O相切于点D，∴OD⊥CE，∴∠CDO＝90°，∵AD∥OC，∴∠ADO＝∠DOC，∠DAO＝∠BOC，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOC＝∠BOC，
在△CDO和△CBO中，，∴△CDO≌△CBO，∴∠CBO＝∠CDO＝90°，
∴CB是⊙O的切线．
（2）∵∠ECB＝60°，CD，CB是⊙O的切线，∴∠OCB＝∠OCD＝30°，∵∠CDO＝∠CBO＝90°，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，∴∠EOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠DCO＝∠BCO＝∠ECB＝30°，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，∴∠DOA＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD是等边三角形，∴AD＝OD＝OF，∵∠GOF＝∠ADO，在△ADG和△FOG中，，∴△ADG≌△FOG，∴S△ADG＝S△FOG，
∵AB＝6，∴⊙O的半径r＝3，∴S阴＝S扇形ODF＝＝π．
圆与坐标系相综合的大题：
28.（长沙中考）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(，0)与点B(0，－)，点D在劣弧上，连结BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．
(1)求⊙M的半径；
(2)求证：BD平分∠ABO；
(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．


【详解】（1）∵点A为（，0），点B为（0，－） ，∴OA= OB=，∴根据Rt△AOB的勾股定理可得：AB=2 ，∴M的半径r=AB=．
（2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD，   ∵∠COD=∠CBO，  ∴∠ABD=∠CBO，
∴BD平分∠ABO；
（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE≌△HBE ，∴BH=BA=2 ，∴OH=2－=，
在Rt△AOB中， ，∴∠ABO=60°， ∴∠CBO=30°，
在Rt△HBE中，HE= ，∴点E的坐标为（，）。
29．（湘一立信）如图，平面直角坐标系中，以为圆心的交轴、，交轴于、且．
（1）求的半径及点、坐标；
（2）在上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）当点在上运动时，使得为等腰三角形，求出此时点的坐标．

【解答】解：（1）连接，，，，，，的半径为5，
，，；
（2）存在点，使，理由如下：设，，，是等腰直角三角形，，，，解得或，点坐标为或；
（3）设，，
①当时，点与点关于轴对称，；
②当时，，（舍或，，；
③当时，，或，点坐标为，或，；综上所述：点的坐标为或，或，或，．

30．（青竹湖）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，与轴交于、两点在的左侧），与轴交于、两点（点在轴正半轴上），且，点的坐标为，点为优弧上的一个动点，连结，过点作于点，交于点，连结．
（1）求的半径长；
（2）当平分时，求点的坐标；
（3）当点运动时，求线段的最小值．

【解答】解：（1）如图，连接，

，，，，
，，，为等边三角形，，，
，的半径长为6；
（2）连接，过点作于，

为的直径，，，为直角三角形，由（1）得是等边三角形，平分，，，，
在中，由，，，，，，，；
（3）垂直平分，在上取点，使，连接，，，
，，，，
点在以为圆心，为半径的圆上，连接，此时的最小值为，

，，，，在中，由勾股定理得，
，的最小值为．