2023安庆示范高中高三下学期4月联考数学试题含解析

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安庆示范高中2023届高三联考数学试题2023.4注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）．A． B． C． D．2．复数z满足，则z的虚部为（    ）．A．1 B． C． D．33．立德中学高一（2）班物理课外兴趣小组在最近一次课外探究学习活动中，测量某种物体的质量X服从正态分布，则下列判断错误的是（    ）．A．   B．C． D．4．已知，则（    ）．A．1 B．1或 C． D．或5．已知函数恒过定点，则的最小值为（    ）．A． B． C．3 D．6．对于数据组，如果由经验回归方程得到的对应自变量的估计值是，那么将称为对应点的残差．某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下所示数据： 单价x/元8.28.48.68.8销量y/件848378m根据表中的数据，得到销量y（单位：件）与单价x（单位：元）之间的经验回归方程为，据计算，样本点处的残差为1，则（    ）．A．76 B．75 C．74 D．737．已知点在直线上的射影为点B，则点B到点距离的最大值为（    ）．A． B．5 C． D．8．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）．A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知，其中，且，则下列判断正确的是（    ）．A．  B．C．  D．10．已知满足中的a，b分别是等比数列的第2项与第4项，则下列判断正确的是（    ）．A．      B．C．      D．A．b=2a11．在平面直角坐标系中，点P是双曲线上位于第一象限内的动点，过点P分别作两渐近线的平行线与另一支渐近线交于A，B两点，则下列判断正确的是（    ）．A．双曲线的离心率大小为 B．C．  D．四边形的面积是112．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为边的中点，点F为棱上一动点（异于P、C两点），则下列判断中正确的是（    ）．A．直线与直线互为异面直线B．存在点F，使平面C．存在点F，使得与平面所成角的大小为D．直线与直线所成角的余弦值的最大值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量，满足，，且，的夹角大小为，则在方向上的投影向量的坐标为__________．14．已知焦点坐标为的抛物线上有两点A，B满足，以线段为直径的圆与y轴切于点，则__________．15．三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为__________．16．已知函数的图象经过点，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，而且取得最大值、最小值时的自变量x值分别只有一个，则实数的取值范围是__________．四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本题满分10分）已知数列满足，．（1）请判断数列是否为等比数列并求出数列通项公式；（2）已知6，记数列的前n项和为，求证：．18．（本题满分J2分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，，点D为边上一点，且，求的面积大小．19．（本题满分l2分）体育课上，体育老师安排了篮球测试，规定：每位同学有3次投篮机会，若投中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则必须进行投篮训练，每人投篮20次．已知甲同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立．（1）求甲同学通过测试的概率；（2）若乙同学每次投中的概率为且每次是否投中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和为X，求X的分布列与均值；（3）为提高甲同学通过测试的概率，体育老师要求甲同学可以找一个“最佳搭档”，该搭档有2次投篮机会，规定甲同学与其搭档投中次数不少于3次，则甲同学通过测试．若甲同学所找的搭档每次投中的概率为且每次是否投中相互独立，问：当p满足什么条件时可以提高甲同学通过测试的概率？20．（本题满分12分）如图，平行六面体中，点P在对角线上，，平面平面．（1）求证：O，P，三点共线；（2）若四边形是边长为2的菱形，，，求二面角大小的余弦值．21．（本题满分12分）已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，函数有两个不同的零点，，求证：．22．（本题满分12分）已知离心率为的椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为、，上顶点为B，且的外接圆半径大小为．（1）求椭圆C方程；（2）设斜率存在的直线l交椭圆C于P、Q两点（P、Q位于x轴的两侧），记直线、、、的斜率分别为、、、，若，求面积的取值范围．  安庆示范高中2023届高三联考数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．D   2．B   3．C   4．B   5．A   6．B   7．C   8．D1．D【解析】由条件知，，所以，故选D．2．B【解析】由题意知，于是，其虚部为，故选B．3．C【解析】根据正态分布的特点不难得出，C错误．4．B【解析】由条件，两边同时平方整理得，解得或，故选B．5．A【解析】由题意可知，于是，当且仅当，时，的最小值为，故选A．6．B【解析】由条件知当时，，代入，解得，于是，又，所以，即，解得，故选B．7．C【解析】将直线l整理得到，于是，解得，所以直线l恒过点，根据题意知点B在以线段为直径的圆上，该圆的圆心坐标为，半径大小为，又，所以点B到点距离的最大值为，故选C．8．D【解析】由条件知，，构造函数，，求导得，所以函数在上单调递增，于是，所以；构造函数，求导得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，于是，得到，故选D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9．ACD    10．BD     11．ACD     12．ABD9．ACD【解析】令，则，于是可得，令，则，①令，则，②①－②，得，解得，A正确；①＋②，得，所以，B错误；又，C正确；经计算，D正确．故选ACD．10．BD【解析】设，则，，，于是，解得，，，于是A错误，B正确；因，所以，C错误；由条件知等比数列的偶数项是首项为4，公比为4的等比数列，于是，故D正确．故选BD．11．ACD【解析】由条件知，，，双曲线离心率大小为，A正确；设渐近线的倾斜角为，则，于是，B错误；设，则，不妨设，联立，得，同理可得，于是，C正确；由得，所以，又，所以四边形的面积是，D正确．故选ACD．12．ABD【解析】假设直线与直线共面，于是E、F、A、P四点共面，则直线与直线共面，与直线、直线互为片面直线矛盾，所以直线与直线互为片面直线，A正确；当时，平面，事实上，过点F作交于点G，连，则，又，则平面平面，于是存在点F，使平面，B正确；以点D为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，设，于是，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，所以，令，则，于是，所以，因此不存在点F，使得与平面所成角的大小为，C错误；，设直线与直线所成角为，则，所以直线与直线所成角的余弦值的最大值为，D正确．故选ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．     14．4     15．     16．13．【解析】根据条件知在方向上的投影向量的坐标为．14．4【解析】由条件知，抛物线C的方程为，根据以线段为直径的圆与y轴切于点得，于是，根据知，所以．15．【解析】由已知得到是以为斜边的直角三角形，因为，所以点P在平面内的射影是的外心，即斜边的中点，且平面平面，于是的外心即为三棱锥的外接球的球心，因此的外接圆半径等于三棱锥的外接球半径．因为，，所以，于是，根据正弦定理知的外接圆半径R满足，所以三棱锥的外接球半径大小为，因此三棱锥的外接球的表面积为．16．【解析】由条件知，于是，又，所以，，当时，因，所以，要满足条件，则，解得；当时，因为，所以，要满足条件，则，解得，综上，实数的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．17．（本题满分10分）解：（1）由条件，可得，（2分）因，所以数列不是等比数列，（3分）于是，所以数列通项公式．（4分）（2）由（1）知，（5分）于是，（6分）则，（7分）两式相减得，（9分）所以，于是，原不等式得证．（10分）18．（本题满分12分）解：（1）由正弦定理可得，（2分）根据余弦定理得，（4分）又，所以．（5分）（2）因为，，又，解得，（6分）由余弦定理得，于是，（7分）因为，所以，（8分）在中，由正弦定理得，所以，（10分）于是，所以的面积大小为．（12分）19．（本题满分12分）解：（1）由条件知甲同学通过测试的概率为．（2分）（2）由（1）可知甲同学没有通过测试的概率为，（3分）根据题意乙同学通过测试的概率为，所以乙同学没有通过测试的概率为，（4分）由出知得，20，40，因，，，于是X02040P（6分）所以．（6分）（3）由题意知甲投中1次，其搭档投中2次的概率为；（8分）甲投中2次，其搭档至少投中1次的概率为；（9分）甲投中3次，其搭档投中与否的概率为，（10分）所以甲同学通过测试的概率为，根据题意可知，则，（11分）又，所以当时，可以提高甲同学通过测试的概率．（12分）20．（本题满分12分）解：（1）证明：连交于，连．在平行六面体中，且，所以四边形是平行四边形，且，又O，分别为BD，的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，于是，（2分）因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，（4分）因为，都经过点O，所以O，P，三点共线．（5分）（2）解：由（1）可知，所以．作平面于Q，于E，于F，连，，，则，，由，得，又，所以平面，于是，同理，所以≌，，所以点Q在上，且，所以点Q与O重合，于是．（7分）以点O为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，于是，又，所以，，设平面的法向量为，则，于是可得，不妨令，则，（9分）平面的一个法向量为，（10分），（11分）所以二面角大小的余弦值为．（12分）21．（本题满分12分）（1）解：函数的定义域为，求导得，（1分）当时，，所以函数在上单调递增；（2分）当时，令，，于是当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增．（3分）综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在单调递增．（4分）（2）证明：令，则，令，求导得，则函数在上单调递减，在上单调递增，，当时，函数的图象与直线有两个不同的交点，且．（6分）要证，只需证明，，（7分）要证，即证，两边同时平方，只需证明，因为是函数的一个零点，所以，即，所以只需证明，即证，①构造函数，，求导得，于是所数在上单调递增，所以，因此①式成立；（9分）同理可证成立．要证，又，只需证明，即证，②构造函数，，求导得，于是函数在上单调递减，所以，因此②式成立．因此原不等式成立．（12分）22．（本题满分12分）解：（1）根据椭圆C的离心率为知，，在中，，，由正弦定理得，（2分）解得，，，（3分）所以椭圆C的方程为．（4分）（2）由条件知直线l的斜率不为0，设直线，，，联立，得，于是，，（*）（6分）因为，，，所以， 同理，于是，，因为，所以，即．又直线l的斜率存在，所以，于是，所以，即，（8分）又，，所以，整理得，将（*）式代入上式，得，化简整理得，又P、Q位于x轴的两侧，所以，解得，所以，此时直线l与椭圆C有两个不同的交点，于是直线l恒过定点．（10分）当时，，，的面积，（11分）令，因为直线l的斜率存在，则，，于是，又函数在上单调递减，所以面积的取值范围为．（12分）