2023年广东省广州市花都区中考数学一模试卷

2023年广东省广州市花都区中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在﹣1，﹣5，3，0这四个数中，最小的数是（    ）

A．﹣1 B．﹣5 C．3 D．0

2．下面四个几何体中，从正面看是三角形的是（    ）

A． B． C． D．

3．激昂奋进新时代，推进中国式现代化，年全国两会公布了年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上升趋势，分别为，，，，（单位：万亿），这五个数据的中位数是（    ）

A． B． C． D．

4．下列运算中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在中，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

6．对于一次函数，下列说法错误的是（    ）

A．随的增大而减小 B．图象与轴交点为

C．图象经过第一、二、四象限 D．图象经过点

7．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（    ）

A． B． C． D．

8．已知关于x的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（  ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

9．如图，三个边长分别为2，4，6的菱形如图所示拼叠，则线段的长度为（  ）

A． B． C． D．1

10．如图，在平面直角坐标系中，点，点从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动了秒，直线上有一动点，轴上有一动点，当的和最小时，点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．如图，，则的度数为_________．

12．计算：____．

13．方程的解为_____．

14．物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，则下表中压强与的大小关系为：_________．（填“”，“”或“”）

15．一副三角板如图摆放，点为中点，连结，将三角板绕点顺时针旋转角度，使得，则的度数为_________．

16．如图，边长为1的正方形中，点E为边上动点（不与A、D重合），连接，将沿折叠得到，延长交于点F，连接，交于点N，连接．则下列结论：①；②的周长是定值2；③当点E是中点时，；④点D到距离的最大值为，其中正确的结论有_________（填写所有正确结论的序号）．

三、解答题

17．解方程组：

18．如图，在矩形中，点为的中点，连接和，求证：．

19．已知：．

(1)化简P；

(2)当a满足不等式组且a为整数时，求P的值．

20．为振兴乡村文化，某社区准备开展“乡村文化宣讲”活动，为了更好的开展活动，该社区随机抽取部分居民，调查他们对乡村文化的了解情况．根据调查结果，把居民对乡村文化的了解程度分为“．非常了解”“．比较了解”“．有点了解”“．不了解”四个层次，并依据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

(1)这次共抽取了____位居民进行调查；扇形统计图中，“”层次所占圆心角的度数是_____．

(2)现拟从“非常了解”乡村文化的甲、乙、丙、丁四位居民中任选2位担任乡村文化推广使者，请用列举法求恰好选中甲、乙两位居民的概率．

21．“桃之夭夭，灼灼其华”，每年月份，我区某湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光，小王抓住这一商机，计划从市场购进、两种型号的手机自拍杆进行销售，据调查，购进件型号和件型号自拍杆共需元，其中件型号自拍杆价格是件型号自拍杆价格的倍．

(1)求件型号和件型号自拍杆的进价各是多少元？

(2)若小王计划购进、两种型号自拍杆共件，并将这两款手机自拍杆分别以元，元的价钱进行售卖，为了保证全部售卖完后的总利润不低于元，求最多购进型号自拍杆多少件？

22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C．过点A作轴，垂足为D．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)点P为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求点P的坐标．

条件①：；条件②：面积是面积的2倍．

注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分．

23．如图，是的外接圆，直径平分交于点E．

(1)尺规作图：在的延长线上取一点F，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)在（1）所作的图中：

①证明：是的切线；

②求的值．

24．如图1，已知，在射线上分别截取点B、C，使．

(1)求证：；

(2)如图2，以为直径在的上方作一个半圆，点D为半圆上的一个动点，连接交于点E．

①当时，求的长．

②在线段上取一点F，连接交于点G，若，当点D在半圆上从点B运动到点C时，求点G经过的路径长．

25．已知抛物线，过点．

(1)求a，b之间的关系；

(2)若，抛物线在的最大值为，求a的值；

(3)将抛物线向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线顶点记为点P，若为任意正实数时，总有，求c的取值范围．

参考答案：

1．B

【分析】正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．

【详解】解：∵-5＜-1＜0＜3，

∴最小的数是-5．

故选：B．

【点睛】本题考查了有理数的大小比较，注意两个负数比较大小，绝对值大的反而小．

2．B

【分析】分别从正面看各几何体，根据看到的几何图形，即可一一判定．

【详解】解：A.圆柱体从正面看到的图形是矩形，故该选项不符合题意；

B.圆锥体从正面看到的图形是三角形，故该选项符合题意；

C.球体从正面看到的图形是圆，故该选项不符合题意；

D.正方体从正面看到的图形是正方形，故该选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了几何体三视图的识别，熟练掌握和运用几何体三视图的识别方法是解决本题的关键．

3．C

【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．

【详解】将这组数据从小到大排列为，，，，

∴这组数据的中位数为，

故选：C．

【点睛】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

4．A

【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，逐项分析计算即可求解．

【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；    

B. ，故该选项不正确，不符合题意；    

C. ，故该选项不正确，不符合题意；    

D. ，故该选项不正确，不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，熟练掌握运算运算法则是解题的关键．

5．C

【分析】根据垂径定理得出，然后根据圆周角定理即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握以上定理是解题的关键．

6．D

【分析】根据一次函数的性质，与坐标轴的交点，逐项分析判断即可求解．

【详解】解：中，，

A. ，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；    

B. 当时，，则图象与轴交点为，故该选项正确，不符合题意；

C. ∵，则图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，不符合题意；

D. 当时，，则图象经过点，故该选项不正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】此题考查了一次函数图象的增减性，求函数值，与坐标轴交点，能正确根据k判断增减性是解题的关键．

7．D

【分析】根据正切的定义即可求解．

【详解】解：在中，，，

∴

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．

8．B

【分析】根据二次函数的性质得出顶点坐标，根据一元二次方程无实根得出c的取值范围，即可求解．

【详解】解：∵，

∴抛物线顶点坐标为（-1，），

又关于x的一元二次方程无实数根，

∴，

解得：，

∴，

∴抛物线的顶点所在象限是第二象限，

故选：B．

【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点问题及一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．

9．C

【分析】根据菱形的性质得出，，，进而可得，根据相似三角形的性质得出，即可求解．

【详解】解：如图所示，

依题意，，，

∴

∴

即

解得：

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

10．B

【分析】作点关于对称的点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，根据题意求得的坐标，进而得出的坐标，根据轴对称的性质求得点的坐标，待定系数法求解析式，进而即可求解．

【详解】解：如图所示，

作点关于对称的点，作点关于轴的对称点，当，在直线上时，的和最小时

∵点，点从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动了秒，

∴

∴

∵

∴的纵坐标为

∴

∴，

∵点关于对称的点，

∴即

设直线的解析式为，

∴

解得：

∴直线的解析式为

当时，，

∴点的坐标为．

故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称求线段和最值问题，解直角三角形，求得点的坐标是解题的关键．

11．/度

【分析】根据垂线的定义得出，根据余角的定义即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了垂线的定义，熟练掌握求一个角的余角是解题的关键．

12．

【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．

【详解】解：

故答案是：．

【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质．

13．x=2

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】解：去分母得：x+2＝2x，

解得：x＝2，

经检验x＝2是分式方程的解，

故答案为x＝2

【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

14．＞

【分析】根据表格数据求得反比例函数解析式，根据反比例数的性质即可求解．

【详解】解：∵压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，设，

依题意，

∴反比例数解析式为：，，

∴随的增大而减小，

∵，

∴，

故答案为：＞．

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

15．/度

【分析】过点作，则，根据等腰三角形的性质，三角板中角度的计算即可求解．

【详解】解：如图所示，过点作，

则，

∵为中点，

∴，

∴，

即的度数为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了求旋转角，等腰三角形的性质，直角三角形板中角度的计算，熟练掌握以上知识是解题的关键．

16．①②④

【分析】①证明得，，进而得，便可判断①的正误；

②由、．可得的周长是．便可判断②的正误；

③设，在中，利用勾股定理，求出，再由相似三角形得出，即可求出；便可判断③的正误；

④连接、过作，易得，，由．故，由此即可得出结论．便可判断④的正误；

【详解】解：∵在正方形中，

∴，

由折叠性质可知：，，，

∴，，

又∵，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，故①正确；

∵，，

∴

∴的周长．

∴的周长，故②正确；

如图：连接交于K，过作，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

故当K、G、H三点重合，即B、D、H在同一直线上时，点D到距离最大，最大值为，故④正确；

设，则

∵当点E是中点时，

∴，

∴

∵在中， ，

∴，

∴，即，

∵在正方形中，

∴，

∴，

∵，

∴，

解得：，故③错误，

故答案为：①②④．

【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

17．

【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可.

【详解】，

①+②得：

3x=6，

x=2，

把x=2代入①得：

2﹣y=1，

y=1．

则原方程组的解为：．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，灵活选取二元一次方程组的解法是解题的关键.

18．见解析

【分析】根据矩形的性质得出，根据点为的中点，得出，进而根据，即可证明．

【详解】证明：∵在矩形中，点为的中点，

∴，，

∴．

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质与全等三角形的判定定理是解题的关键．

19．(1)

(2)

【分析】（1）根据分式的混合运算进行计算即可求解．

（2）先解不等式组，求得不等式组的整数解，代入（1）中结果，进行计算即可求解．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

解不等式①得：，

解不等式②得：

∴不等式组的解集为：

∴整数解，

∴．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，求不等式组的解集，熟练掌握分式的化简求值，解一元一次不等式组是解题的关键．

20．(1)，

(2)

【分析】（1）根据“”层次的人数除以占比得出样本的容量，根据“”层次的占比乘以即可求得“”层次所占圆心角的度数；

（2）根据列举法列举出所有可能结果，根据概率公式即可求解．

【详解】（1）解：这次共抽取了（位），

扇形统计图中，“”层次所占圆心角的度数是

故答案为：，．

（2）解：是有可能的结果为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁）

（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁）；

（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），

（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），

共有12种等可能结果，符合题意的有2种，

∴恰好选中甲、乙两位居民的概率

【点睛】本题主要考查条形统计图、扇形统计图，由样本估计总体，列举法求概率，掌握相关知识并从统计图表中获取信息是解题的关键．

21．(1)件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元

(2)最多购进型号自拍杆件

【分析】（1）件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；

（2）设购进型号自拍杆件，则购进型号自拍杆件，根据题意列出不等式，解不等式，求最大整数解即可求解．

【详解】（1）解：件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元，根据题意得，

解得：

答：件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元

（2）解：设购进型号自拍杆件，则购进型号自拍杆件，根据题意得，

解得：，

取最大整数解，

答：最多购进型号自拍杆件．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．

22．(1)

(2)选择条件①或条件②，点P坐标均为

【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点A的坐标，再代入反比例函数解析式即可求出k值；

（2）①根据可知，点P在的垂直平分线，由此可得P的纵坐标为2，从而求出点P坐标；

②由面积是面积的2倍，可得P点纵坐标为2，从而求出点P坐标；

【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象与上，

∴，解得：，

即点A坐标为，

∴，

即反比例函数解析式为：，

（2）设点P坐标为，

选择条件①，

∴点P在AD的垂直平分线上，

又∵，，

∴，点P的纵坐标为，

∴，

故点P坐标为，

选择条件②面积是面积的2倍．

∵，，

∴，

∴，

∴，

故点P坐标为

【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图形上点的坐标特征，图形与坐标，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．

23．(1)见解析

(2)①见解析；②

【分析】（1）根据题意在的延长线上取一点F，使得，连接；

（2）①是直径，得出，根据等角对等边，对顶角相等得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，即可得证；

②过点作于点，证明，解得，证明，根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】（1）解：在的延长线上取一点F，使得，连接；

（2）①证明：∵是直径，

∴，

∵

∴，

∵平分，

∴

又∵，

∴

∴

∴，

即是的切线；

②如图所示，过点作于点，

∵，平分，

∴，

，

，

，

，，

，

，

，

解得：，

，

，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．

24．(1)证明见解析；

(2)①，②为或

【分析】（1）由已知可知是等边三角形，进而可得结论；

（2）①由为直径，得出，再解三角形即可；

②有两种情况决定了G的运动路线有可能两种情况，找到路径分别求解即可．

【详解】（1）证明：∵，，

∴是等边三角形，

∴．

（2）解：∵是等边三角形，

∴，

∵

∴，

如图2，连接，

∵是直径，

∴，

∴，

∴

②有两种不同位置情况，

I、当，时，如图3-1：

∵，

∴

∴，

∴，

∴点G在的垂直平分线上运动，当点D在半圆上从点B运动到点C时，点G经过的路径即是的的边的高线，

，

故此时点D在半圆上从点B运动到点C，点G经过的路径长，

II、当，时，如图3-2：

∵，

∴

∴，

∴，

∴点G在过A、B、G的圆弧上运动，

设圆弧的圆心为O，过O作，则，

∴，，

，

∴长为，

故此时点D在半圆上从点B运动到点C，点G经过的路径是半径为，圆心角为的，长为，

综上所述：当点D在半圆上从点B运动到点C时，点G经过的路径长为或．

【点睛】本题主要考查了圆与等边三角形综合，解题关键是掌握等边三角形性质，灵活运用三角形全等转换线段和角的关系，得出点G的运动路线．

25．(1)

(2)或，

(3)或．

【分析】（1）将点代入函数解析式即可得出结论；

（2）先根据和得出，再求出在时的端点值和函数的最值，根据和时两种情况讨论求解；

（3）根据平移的规律得到新抛物线解析式，由顶点坐标的特点得出顶点所在直线，根据，得出直线在圆外或与圆相切，由此解题．

【详解】（1）解：由题意得：

∴

（2）解：由（1）得，

若，则抛物线为，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，故最大值为，

∴解得：

当，，故最大值为，

∴解得：，

综上所述：或．

（3）由（1）得，

∴抛物线，

将抛物线向右平移个单位，再向上平移1个单位，得新抛物线解析式为：，

顶点P为，

∴顶点P在一定直线，

若为任意正实数时，，故点到直线距离的最小值为，

当时，如图1：

设直线交坐标轴于，，作，垂足为H，

则点M坐标为，点N坐标为，

∴，，

∴，

∵，

∴

∴，

当时，如图2：

同理可得：，

综上所述：为任意正实数，或，总有．

【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，二次函数图象的平移，直线和圆的关系等等，灵活运用所学知识是解题的关键．