2023年江苏省连云港市高考数学调研试卷（2月份）（含答案解析）

这是一份2023年江苏省连云港市高考数学调研试卷（2月份）（含答案解析），共18页。试卷主要包含了 复数5i−2的共轭复数是， 二项式5的展开式中常数项为，001B等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省连云港市高考数学调研试卷（2月份）1.  复数的共轭复数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知全集，，则集合(    )A.  B.  C.  D. 3.  现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有(    )A. 56种 B. 64种 C. 72种 D. 96种4.  若函数在区间上的最大值为6，则常数m的值为(    )A. 1 B. 2 C. 3 D. 45.  二项式的展开式中常数项为(    )A. 80 B.  C.  D. 406.  已知正四面体，，点N为线段BC的中点，则直线MN与平面BCD所成角的正切值是(    )A.  B.  C.  D. 7.  在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有20名的年龄位于区间内.已知该地区这种疾病的患病率为，年龄位于区间内人口占该地区总人口的现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内，则此人患该疾病的概率为(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知圆锥内切球与圆锥侧面、底面均相切的球的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 9.  设，，是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是(    )A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则不与垂直
D. 不与垂直10.  折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征如图图2是一个圆台的侧面展开图扇形的一部分，若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台(    )
 A. 高为
B. 表面积为
C. 体积为
D. 上底面积、下底面积和侧面积之比为1：9：2411.  已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是(    )A. 若直线l经过焦点F，且，则
B. 若，则直线l的倾斜角为
C. 若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为
D. 若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切12.  利用“”可得到许多与且有关的结论，则正确的是(    )A.  B.
C.  D. 13.  已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的一般方程为______ .14.  为了研究高三班女生的身高单位；与体重单位：的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知，，该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为______ 15.  直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则离心率______ .16.  已知定义在R上的函数，若有解，则实数a的取值范围是______ .17.  已知数列的前n项和为，且
证明：数列是等差数列；
设数列的前n项积为，若，求数列的通项公式.18.  为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.每一个比赛项目均采取五局三胜制即有一方先胜3局即获胜，比赛结束，假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响.
求甲班在项目A中获胜的概率；
设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望.19.  已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求A；
若，求外接圆的半径20.  如图，直三棱柱内接于圆柱，，平面平面
证明：AC为圆柱底面的直径；
若M为中点，N为中点，求平面与平面BMN所成锐二面角的余弦值.
21.  已知函数
求函数在区间上的最大值；
若关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围.22.  已知椭圆E：的焦距为，且经过点
求椭圆E的标准方程；
过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点点A在x轴上方，过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值.
答案和解析 1.【答案】B 【解析】【分析】本题考查复数的运算与共轭复数，属于基础题.
首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．【解答】解：复数，
共轭复数是，
故选：  2.【答案】A 【解析】解：由知，，，
又因为，
所以
故选：
由可知集合U中的元素，再由即可求得集合
本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题．
 3.【答案】D 【解析】解：根据A是否入选进行分类：
若A入选，
则先给A从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有种，再给剩下三个岗位安排人有种，共有种方法；
若A不入选，
则4个人4个岗位全排有种方法，
所以共有种不同的安排方法．
故选：
根据A是否入选进行分类讨论即可求解．
本题主要考查排列及简单计数问题，属于基础题．
 4.【答案】C 【解析】解：，
当时，，
则函数的最大值为，解得
故选：
利用三角恒等变换化简函数解析式为，由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质求出的最大值，结合已知条件可求得m的值．
本题主要考查了辅助角公式，二倍角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
 5.【答案】B 【解析】解：二项式的通项公式为，
令，求得，
可得展开式中常数项为，
故选：
由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
 6.【答案】C 【解析】解：如图，过点A向底面作垂线，垂足为O，连接AN，ON，OC，MN，
过点M作于G，连接NG，

由题意可知：且，
因为平面BCD，所以平面BCD，
则即为直线MN与平面BCD所成角的平面角，
因为平面BCD，所以平面BCD，
则即为直线MN与平面BCD所成角的平面角，
设正四面体的棱长为2，则，，
所以，则，
在中，由余弦定理可得：，
在中，，
所以，
所以直线MN与平面BCD所成角的正切值是，
故选：
作出图形，找出直线MN与平面BCD所成角的平面角，在三角形内即可求解．
本题主要考查了求直线与平面所成的角，考查了学生的计算能力，属于中档题．
 7.【答案】A 【解析】解：设从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内为事件A，此人患该疾病为事件B，
则
故选：
利用条件概率的概率公式计算即可．
本题主要考查了条件概率的概率公式，属于基础题．
 8.【答案】A 【解析】解：设圆锥的顶点为S，底面圆的圆心为B，内切球圆心为O，
则，，
因为，，所以∽，则，

设，，
故，由得：，
由得：，
故，所以，，
解得：，
所以圆锥的表面积为，
令，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在时取得最小值，，
此时，，
设圆锥的外接球球心为M，连接MA，设，
则，
由勾股定理得：，即，
解得：，故其外接球的表面积为
故选：
作出图形，设，，由三角形相似得到，得到圆锥的表面积为，令，由导函数得到当时，圆锥的表面积取得最小值，进而得到此时l与SB，作出圆锥的外接球，设外接球半径为R，由勾股定理列出方程，求出外接球半径和表面积．
本题主要考查了与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径，属于中档题．
 9.【答案】AB 【解析】解：，
，即，解得，
故，故A正确；
，
，
故由向量垂直的性质可知，，故B正确；
，
，
与垂直，故C错误；
，
根据向量垂直的性质可知，与垂直，故D错误．
故选：
根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，以及向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查利用向量数量积判断两个向量垂直的关系，考查向量的模的运算性质，考查逻辑推理能力，属于中档题．
 10.【答案】BCD 【解析】解：对于A，设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，
则，
解得，
所以圆台的母线长为，高为，选项A错误；
对于B，圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，
所以圆台的表面积为，选项B正确；
对于C，圆台的体积为选项C正确；
对于D，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为，选项D正确，
故选：
求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断A；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B，C；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比，判断
本题主要考查了扇形的圆台的侧面积公式和体积公式，属于中档题．
 11.【答案】BC 【解析】解：A选项，由题意得：，准线方程为，
当直线l的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，与联立得：，
故，
则，所以，
解得：，A错误；
B选项，因为，所以A，F，B三点共线，即直线l经过抛物线焦点，
当直线l的斜率为0时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线，结合联立得：，
故，
因为，所以，
代入中，得到，，
即，
因为点A在第一象限，所以，故，即，，
解得：，
故直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，即，B正确；
C选项，设，，过点A作准线于点Q，过点B作准线于点P，
因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以，
则，
由抛物线定义可知：，
由基本不等式得：，则，
当且仅当时，等号成立，
故，即，C正确；
D选项，当直线l不经过焦点时，设，，
由三角形三边关系可知：，
由抛物线定义可知结合C选项可知：，即，
若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误．
故选：
A选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由列出方程，求出，A错误；B选项，先得到直线l经过抛物线焦点，与A一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合求出直线l的斜率，得到倾斜角；C选项，设，，由抛物线定义结合基本不等式得到的最小值；D选项，与C一样，考虑直线l不经过焦点时，得到圆M与准线相离，D错误．
本题主要考查了圆锥曲线的综合应用，圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
 12.【答案】ABD 【解析】解：令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也时最小值，，
故，当且仅当时，等号成立，
A选项，令，所以，
故，
其中，
所以，A正确；
B选项，将中的x替换为，可得，，
当且仅当时等号成立，
令，可得，
所以，
故，
其中
所以，B正确；
C选项，将中的x替换为，显然，
则，
故，
故，C错误；
D选项，将中的x替换为，其中，，则，
则，故，当且仅当时，等号成立，
则，D正确．
故选：
先证明出，当且仅当时，等号成立，A选项，令，得到，累加后得到A正确；B选项，推导出，，当且仅当时等号成立，令，可得，累加后得到B正确；C选项，推导出，累加后得到C错误；D选项，将中的x替换为，推导出，故，当且仅当时，等号成立，累加后得到D正确．
本题主要考查不等式的证明，导数的应用，考查逻辑推理能力，属于难题．
 13.【答案】 【解析】解：圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，
圆心M为该对角线的中点，坐标为，半径为对角线的一半，即，
故圆的标准方程为，
故圆的一般方程，
故答案为：
由题意，先求出圆心坐标和半径，可得它的标准方程，再化为一般方程．
本题主要考查求圆的标准方程和一般方程的方法，关键是确定圆心坐标和半径，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：，，
故，解得，
故回归直线方程为，则当时，
故答案为：
计算出样本中心点，代入回归直线方程，得到，从而估计出该女生的体重．
本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：直线与双曲线都关于原点对称，
两交点A，B也关于原点对称，
又两交点A，B的横坐标之积为，
两交点的横坐标为，又交点在直线上，
其中一个交点坐标为，将其代入双曲线方程：中，
可得，其中，
解得，又，，
该双曲线的离心率为，
故答案为：
根据题意可得直线与双曲线都关于原点对称，从而可得两交点也关于原点对称，从而再结合已知条件可求出两交点，再将交点坐标代入双曲线方程中可解得a的值，再利用双曲线的几何性质，即可求解．
本题考查直线与双曲线的对称性，方程思想，双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题．
 16.【答案】 【解析】解；因为，
所以是奇函数，
又在R上单调递增，
故不等式有解等价于，
所以即有解，
令，则，
当时，无解，
时，，是增函数，当时，，满足题意；
当时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
；
令，则，
当，时，，是增函数，当，时，，是减函数，
并且当时，，，，
，，，
当时，即当时，满足题意，
所以a的取值范围是
故答案为：
分析的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
 17.【答案】解：证明：当时，，
当时，，所以，
所以常数，
故数列是以为首项，2为公差的等差数列．
由知，，得，
当时，，
当时，，不符合上式，
故 【解析】由通项与前n项和的关系结合等差数列的定义证明即可；
由等差数列通项公式得出，再由题设定义得出数列的通项公式．
本题主要考查数列通项与前n项和的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
 18.【答案】解：记“甲班在项目A中获胜”为事件A，
则，
所以甲班在项目A中获胜的概率为；
记“甲班在项目B中获胜”为事件B，
则，
X的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为：X012P，
所以甲班获胜的项目个数的数学期望为 【解析】记“甲班在项目A中获胜”为事件A，利用独立事件的乘法公式求解即可；
先算出“甲班在项目B中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
 19.【答案】解：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以；
因为，
所以在中，由正、余弦定理得：，
所以，故，
由正弦定理得，
所以外接圆半径为 【解析】将写为代入化简可得，根据，即可得A；
由正、余弦定理可将化简为，进一步化简可得，结合，再根据正弦定理即可得外接圆半径．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 20.【答案】证明：连接，则在直三棱柱中，可以得到，
四边形为正方形，
，
又面面，面面，面，
面，又面，
，
又得面ABC，面ABC，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
，
为圆柱底面的直径．
解：由已知面ABC，，
以为正交基底建立空间直角坐标系，

易知，，，，，
，N为，中点，
，
设平面的一个法向量为
则，取，得，，
，
同理可得平面BMN的一个法向量为，
，
所以平面与平面BMN所成锐二面角的余弦值为 【解析】根据面面垂直的性质定理证明平面，继而证明平面，根据线面垂直的性质定理证明，即可证明结论；
建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面与平面BMN的法向量，根据空间向量的夹角公式，即可求得答案．
本题主要考查二面角的平面角，属于中档题．
 21.【答案】解：当时，，
则，
所以函数在上单调递增，
所以
解：函数的定义域为，
由可得，
令，其中，则，
令，其中，则，
所以函数在上为减函数，且，
当时，，则，所以函数在上单调递增，
当时，，则，所以函数在上单调递减，
所以，
令，其中，则，则函数在上为增函数，
因为，，则存在，使得，即使得，
当时，，
由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
故实数a的取值范围是 【解析】利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最大值；
由可得出，令，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，利用导数解决函数零点问题的方法：
直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题．
 22.【答案】解：由题意得，解得，
所以椭圆E的方程为；
当直线l斜率为0时，A，B分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l：，
由，得，，
不妨设在x轴上方，则在x轴下方．
椭圆在x轴上方对应方程为，，
则A处切线斜率为，得切线方程为，整理得
同理可得B处的切线方程为
由得，
代入①得，所以
因为，所以，
设，则，则，
当且仅当，即时，的最大值是 【解析】由待定系数法求解析式；
设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M，再由弦长公式及两点距离公式表示出，进而讨论最值．
本题主要考查椭圆的性质与椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．