2023年福建省泉州市石狮市永宁中学高考数学第四次模拟试卷（含答案解析）

2023年福建省泉州市石狮市永宁中学高考数学第四次模拟试卷

1.  已知命题P：，，则为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2.  若集合，集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某篮球队的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则下而结论中错误的是(    )

A. 甲命中个数的极差是29 B. 甲命中个数的中位数是24
C. 甲罚球命中率比乙高 D. 乙命中个数的众数是21

4.  已知函数是定义在R上的偶函数，且函数在上是减函数，如果，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且，则下列说法正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

6.  直线截圆所得劣弧所对圆心角为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则(    )

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

8.  我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  已知复数z满足为虚数单位，复数z的共轭复数为，则(    )

A.  B.
C. 复数z的实部为 D. 复数z对应复平面上的点在第二象限

10.  已知的最小正周期为，则下列说法正确的有(    )

A.
B. 函数在上为增函数
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 点是函数图象的一个对称中心

11.  已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.  关于函数，，下列说法正确的是(    )

A. 当时，在处的切线方程为
B. 当时，存在唯一极小值点且
C. 对任意，在上均存在零点
D. 存在，在上有且只有一个零点

13.  的展开式中常数项为______.

14.  已知，，则______ .

15.  四棱锥各顶点都在球心为O的球面上，且平面ABCD，底面ABCD为矩形，，，则球O的体积是__________；设 E、F分别是PB、BC中点，则平面AEF被球O所截得的截面面积为__________.

16.  已知双曲线 C：的左、右焦点分别为，，直线l过点交双曲线右支于P，Q两点，若，，则双曲线C的离心率为______ .

17.  在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且
已知_______，计算的面积；
请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．
求的最大值．

18.  设数列的前n项和为，且
求数列的通项公式；
设，求数列的前n项和

19.  如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，二面角为，E为PD的中点．

证明：平面
求平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值．

20.  随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助．某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数均不低于4千步，不超过20千步按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．

求这300名员工日行步数单位：千步的样本平均数每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数；
由直方图可以认为该企业员工的日行步数单位：千步服从正态分布，其中为样本平均数，标准差的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数的人数；
用样本估计总体，将频率视为概率．若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元．求工会慰问奖励金额单位：元的分布列和数学期望．
附：若随机变量服从正态分布，则，，

21.  已知椭圆的离心率为，焦距为
求的标准方程．
过的右焦点F作相互垂直的两条直线，均不垂直于x轴，交于A，B两点，交于C，D两点．设线段AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN过定点．

22.  已知函数
若，求的极值；
若对任意，恒成立，求整数m的最小值．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：全称命题的否定为特称命题，改变量词，否定结论即可．
即，，
故选：
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．
 

2.【答案】C 

【解析】解：集合，
，
则，
故选：
运用对数的真数大于0，化简集合B，再由交集的定义，即可得到所求集合．
本题考查集合的交集的求法，注意运用定义法解题，属于基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：由茎叶图知，甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对，
甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为，故B不对，
甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对，
乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对，
故选：
通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出B错；根据图的集中于离散程度，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对；找出乙数据中出现次数最多的数即可判断D对．
本题主要考查茎叶图，考查极差，中位数，众数，平均数的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：函数是定义在R上的偶函数，且函数在上是减函数，
所以在上是增函数，
由，则不等式，
解之可得，
故不等式的解集为
故选：
根据题意可得在上为减函数，进而分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：对于A，由，，得或或m与相交，故A错误；
对于B，由，，得或，故B错误；
对于C，由，，得或与相交，故C错误；
对于D，由，，结合面面垂直的判定可得，故D正确．
故选：
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定逐一核对四个命题得答案．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：如图，

由图象看出直线截圆所得劣弧所对圆心角为钝角．
故选：
画出图象即可判断劣弧所对的圆心角为钝角，从而只能选
本题考查了通过图象解决几何问题的方法，考查了计算能力，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：抛物线C：的准线方程为，
点在准线上，即，抛物线的方程为即
设点B的坐标为，，
对求导可得，，直线AB的斜率为，
由、可知，，解之得，或舍负，
点，
由抛物线的定义可知，
故选：
由点在准线上可知p的值，从而确定抛物线的方程，设点B的坐标为，，通过对抛物线方程求导，可得点B处切线的斜率，也就是直线AB的斜率，再通过A、B两点的坐标也可求得，于是建立关于m的方程，解之可得m的值，最后利用抛物线的定义即可得解．
本题考查抛物线的定义、准线方程等，还涉及利用导数求抛物线上某点处切线的斜率，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数求值、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
建立直角坐标系．不妨设，，则利用勾股定理可得x，通过的边角关系，可得E的坐标，设，运用向量坐标运算性质即可得出．

【解答】

解：如图所示，建立直角坐标系．

不妨设，，则，解得
设，则，
，
设，则，

故选：

9.【答案】BD 

【解析】

【分析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．

【解答】

解：由，得，
，故A错误；
，故B正确；
复数z的实部为，故C错误；
复数z对应复平面上的点的坐标为，在第二象限，故D正确．
故选：

10.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的图象和性质，属于中档题．
由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．

【解答】

解：
，
它的最小正周期为，，
，故A错误．
在上，，故单调递增，故B正确；
当时，，不是最值，故直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；
当时，，故点是函数图象的一个对称中心，故D正确，
故选：

11.【答案】ABD 

【解析】解：根据题意，
对于A，正项等比数列满足，变形可得，解得或，
又由为正项等比数列，则，故选项A正确；
对于B，，选项B正确；
对于C，，所以，选项C错误；
对于D，根据B的结论：，则，而，选项D正确．
故选：
根据题意，由等比数列的通项公式以及前n项和公式依次分析4个选项，综合即可得答案．
本题考查等比数列的前n项和公式的应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
 

12.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点与方程根的关系，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性与最值，导数中的零点问题，属于较难题.
当时，，求出，得到在处的切线的点斜式方程，即可判断选项A；求出的解，确定单调区间，进而求出极值点个数，以及极值范围，可判断选项B；令，当时，分离参数可得，设，求出的极值最值，即可判断选项C，D的真假.

【解答】

解：对于A，当时，，，
，，
在处的切线方程为，即，故A正确；
对于B，当时，，，，
令，则恒成立，所以单调递增，
又，
故存在唯一，使得，
即，且当，，单调递减，当，，单调递增，
存在唯一极小值点，
且，，
，故B正确；
对于C，D，令，
当时，分离参数可得，
设，，
令，解得，，
作出的图象，

当时，取极小值，也是上的最小值为，
当时，取极大值，也是上的最大值为，
故存在，方程有唯一解，在上有且只有一个零点，故D正确；
当时，，方程无解，在上无零点，故C错误.
综上，正确的是
故选

13.【答案】55 

【解析】解：因为
所以的展开式中常数项为
故答案为：
根据展开式中各项的次数，再计算展开式中常数项的值．
本题考查了二项式展开式的各项系数特点与应用问题，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，，

故答案为：
根据条件求出，进而得出，，然后根据两角和的余弦公式展开即可求出的值．
本题考查了两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，同角函数的基本关系，考查了计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】

【解析】解：由题设知球心O为PC中点，
故球O的直径，
故，
设球心O到平面AEF的距离为d，截面圆的半径为r，
由题设球心O到平面AEF的距离等于点B到平面AEF的距离，
在三棱锥中，由等体积法得，
，
故截面面积为，
故答案为：
求出球的半径，从而求出球的体积即可，根据题设球心O到平面AEF的距离等于点B到平面AEF的距离，求出球心O到平面AEF的距离为d，从而求出截面的面积即可．
本题考查了球的体积公式以及等体积法的应用，考查转化思想，是一道常规题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，则，，，
由双曲线的定义，得且，
，，
中，
中，
，
得
故答案为：
设，则，，推出，由双曲线的定义，通过判断是等腰三角形，分别利用两次余弦定理求得a与c之间的等量关系，进而求解离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
 

17.【答案】解：若选②，③
，，
，，
又，
的面积
若选①，②由可得，
，，
又，
的面积
若选①，③，
，，
又，，可得，，
，，
又，
的面积
，

，
，，
故的最大值为 

【解析】本题考查了正余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变形，考查了计算能力，属于中档题．
选②，③可得，结合，求得即可．
若选①，②由可得，由，求得即可．
若选①，③，可得，又，可得，即可；
，再由B的范围可得结果．
 

18.【答案】解：当时，，解得
因为，①
所以当时，，②
①-②得，，所以
故数列是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为
由题知，，
所以，③，
，④
③-④得，，

所以 

【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，错位相减法求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
直接利用数列的递推关系式的应用求出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式；
利用错位相减法的应用求出数列的和．
 

19.【答案】证明：四边形ABCD为正方形，
，，，且CD、平面PCD，平面
平面PCD，
二面角为，
，，为等边三角形．
为PD的中点，
，AD、平面PAD，
平面
解：过P作，垂足为O，易知O为CD的中点．
由可知平面PCD，平面ABCD，所以平面平面ABCD，
平面平面，平面PDC，
平面
设AB的中点为Q，连接OQ，
则，所以平面
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系

正方形ABCD的边长为2，，，，
，，，
，，，
平面PAD，
为平面ADE的一个法向量．
设是平面ABE的法向量，
则，
令，得

平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为 

【解析】证明说明为等边三角形．推出然后证明平面
过P作，垂足为O，设AB的中点为Q，连接OQ，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系求出是平面ADE的一个法向量，求出平面ABE的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，以及计算能力．
 

20.【答案】解：这300名员工日行步数的样本平均数为千步；
因为，
所以
，
所以日行步数的人数为人；
由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为，奖励金额为100元的概率为，奖励金额为200元的概率为，
由题意知X的可能取值为0，100，200，300，400，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为：

【解析】本题考查了利用频率分布直方图求平均值，正态分布，离散型随机变量的概率分布列与数学期望等，属于中档题．
以各组中点为该组的代表值加权平均即可；
依题意，日行步数千步服从正态分布，由知，又的近似值为2，所以代入即可；
由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为，奖励金额为100元的概率为，奖励金额为200元的概率为，确定随机变量X的所有可能的取值，分别求出，每个随机变量对应的概率，列出分布列求期望即可．
 

21.【答案】解：因为离心率，，且，
所以，，，
故的标准方程为
证明：由知
设直线AB的方程为，，，
联立方程组，消去y得，
则，，
所以M的坐标为
因为，所以CD的斜率为
将M坐标中的k换为，可得N的坐标为
当时，设直线MN的斜率为，
则，
所以直线MN的方程为，
即，则直线MN过定点
当时，直线MN的方程为，也过点
综上所述，直线MN过定点 

【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于拔高题．
通过椭圆的离心率结合椭圆的焦距，求出c，a推出b，即可得到椭圆方程．
设直线AB的方程为，，，联立方程组，消去y得，利用韦达定理，结合中点坐标公式，求出M坐标然后求解N的坐标，然后转化求解直线系方程推出结果即可．
 

22.【答案】解：当时，，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减；
所以在时取得极大值且极大值为，无极小值．
因为对任意，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
设，则
设，
显然在上单调递减，
因为，，
所以，使得，即
当时，，
当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
因为，所以，
故整数m的最小值为 

【解析】本题考查导数的综合应用，恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于难题．
当时，，对求导，分析导数的正负，的单调性，进而得出极值．根据题意问题可以转化为在上恒成立．设，对求导，分析的正负，的单调性，只需推出即可．