2023年福建省南平市四校高考数学联考试卷（3月份）（含答案解析）

这是一份2023年福建省南平市四校高考数学联考试卷（3月份）（含答案解析），共18页。试卷主要包含了 设a=40， 过抛物线C， 下列说法正确的是，1587，则P=0，故D正确．等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省南平市四校高考数学联考试卷（3月份）1.  已知集合，，若，则(    )A.  B.
C.  D. 2.  如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数其中为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.  已知函数的图象关于直线对称，则的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 4.  设，，，则a，b，c的大小关系为(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知向量，满足，则在方向上的投影向量为(    )A.  B.  C.  D. 6.  蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点第一段圆弧，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  过抛物线C：的焦点F的直线交抛物线C于，两点，设，，若n，，成等比数列，则(    )A.  B. 3 C. 3或 D. 8.  已知三棱锥，Q为BC中点，，侧面底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 9.  下列说法正确的是(    )A. 已知随机变量X，Y，满足，且X服从正态分布，则
B. 已知随机变量X服从二项分布，则
C. 已知随机变量X服从正态分布，且，则
D. 已知一组数据，，，，，的方差是3，则数据，，，，，的标准差是1210.  如图，在正方体中，点P是底面含边界内一动点，且平面，则下列选项正确的是(    )A.
B. 三棱锥的体积为定值
C. 平面
D. 异面直线AP与BD所成角的取值范围为
 
 11.  已知圆C：，点P为直线l：上一动点，下列结论正确的是(    )A. 直线l与圆C相离
B. 圆C上有且仅有一个点到直线l的距离等于1
C. 过点P向圆C引一条切线PA，A为切点，则的最小值为
D. 过点P向圆C引两条切线PA和PB，A，B为切点，则直线AB过定点12.  已知定义在R上的奇函数，当时，，若函数是偶函数，则下列结论正确的有(    )A. 的图象关于对称 B.
C.  D. 有100个零点13.  2022年4月24日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点亮梦想”．某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数的值可以是__________写出一个满足条件的m值即可14.  已知为锐角，，则______ .15.  设是曲线上的点，，，则的最大值等于______ .16.  ，，是函数的图象上不重合的三点，若函数满足：当时，总有，，三点共线，则称函数是“零和共线函数”.若是“零和共线函数”，则a的范围是______ .17.  已知数列的前n项和为，，
求数列的通项公式；
设，数列的前n项和为，求的取值范围.18.  某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域即区域，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角，为锐角，假设墙CA，CB的可利用长度单位：米足够长.
在中，若BC边上的高等于，求；
当AB的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值.
19.  如图，在四棱锥中，底面ABCD，ABCD是直角梯形，，，，点E是PB的中点.
证明：平面平面PBC；
若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
20.  在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注.这种起搏器体积只有传统起搏器的，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症.在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检.智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品.已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为，设人工抽检的综合指标不达标率为
求每个芯片智能检测不达标的概率；
人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为，求的极大值点；
若芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良.以中确定的作为P的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良.21.  已知双曲线的虚轴长为2，右焦点为F，点M、N分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的右支于P、Q两点，设直线MP、NP的斜率分别为、，且
求双曲线C的方程；
当点P在第一象限时，且时，求直线l的方程.22.  已知，函数
若恒成立，求a的取值范围；
过原点分别作曲线和的切线和，试问：是否存在，使得切线和的斜率互为倒数？请说明理由.
答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：因为集合，，，
因此，即，
所以
故选：
根据给定的并集结果求出a值，再利用交集的定义求解作答．
本题主要考查了集合交集及并集运算，属于基础题．
 2.【答案】A 【解析】解：，
又“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”，
，解得，
，
，即，
复数在复平面内对应的点是，位于第一象限．
故选：
根据新定义求得a的值，代入求得复数的代数形式，可得复数所对应的点的坐标，进而可得结果．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 3.【答案】A 【解析】解：关于直线对称，，
解得：，
当时，取得最小值
故选：
根据正弦型函数的对称轴可构造方程求得的取值，进而可确定的最小值．
本题主要考查了正弦函数的对称性，属于基础题．
 4.【答案】C 【解析】解：，，，
所以
故选：
根据指数函数、对数函数的知识确定正确答案．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
 5.【答案】A 【解析】解：由已知条件得：，即，
又在方向上的投影向量为
故选：
根据向量的数量积运算，对两边同时平方得到，再由投影向量的定义即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
 6.【答案】D 【解析】解：由题意可知，每段圆弧的圆心角为，
第一段圆弧到第n段圆弧的半径构成等差数列：1，2，3，，n，
故当得到的“蚊香”恰有9段圆弧时，
“蚊香”的长度为
故选：
每段圆弧的圆心角为，再结合等差数列的前n项和公式，即可求解．
本题主要考查弧长的求解，属于基础题．
 7.【答案】B 【解析】解：由n，，成等比数列，得，
由抛物线的定义知，，，
所以，
所以，
又因为，，
所以
故选：
由抛物线的定义及等比中项的性质计算可得结果．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
 8.【答案】A 【解析】解：连接PQ，QA，由，
可知：和是等边三角形，
设三棱锥外接球的球心为O，
所以球心O到平面ABC和平面PBC的射影是和的中心F，E，是等边三角形，Q为BC中点，
所以，又因为侧面底面ABC，侧面底面，
所以底面ABC，而底面ABC，
因此，
所以OFQE是矩形，和是边长为2的等边三角形，
所以两个三角形的高，
在矩形OFQE中，，连接OA，
所以，
设过点Q的平面为，当时，
此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，，
因此圆Q的半径为：，所以此时面积为，
当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：，
所以截面的面积范围为
故选：
连接PQ，QA，OA，设三棱锥外接球的球心为O，设过点Q的平面为，则当时，此时所得截面的面积最小，当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解．
本题考查几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大．
 9.【答案】AC 【解析】解：对于A，因为X服从正态分布，所以，
由，可得，
所以，故A正确；
对于B，因为X服从二项分布，
所以，故B错误；
对于C，因为X服从正态分布，则其正态分布曲线的对称轴为，
所以，
所以，故C正确；
对于D，因为数据，，，，，的方差是3，则数据，，，，，的方差是，
所以数据，，，，，的标准差为，故D错误．
故选：
根据离随机变量的正态分布、二项分布的性质，以及方差和标准差的概念，逐项分析判断即可得解．
本题主要考查了正态分布的性质，考查了二项分布的概率公式，以及方差的计算，属于中档题．
 10.【答案】ABD 【解析】解：以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，则，，，，，，，
所以，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则平面的一个法向量为，
因为平面，
所以，
所以，所以，即，故A正确，
由，则，所以可得P在线段上包含端点，
在正方体中，由，平面，平面，
所以平面，
所以动点P到平面距离为定值，而为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
若平面，由，
则，即，无解，故C错误，
设异面直线AP与BD所成角的为，
由，，
所以，
因为，
所以当时，，
当时，，
当且时，，
令，
则，此时，所以，即，
又，所以此时，
综上所述：异面直线AP与BD所成角的为，即，故D正确．
故选：
建立空间向量，利用空间向量及空间法向量法逐项分析即可．
本题考查线线垂直的判定，三棱锥的体积计算，异面直线所成角等知识点，考查数形结合思想，函数思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
 11.【答案】ACD 【解析】解：对于A：圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，故A正确；
选项B：圆心到直线的距离，，
故圆C上有2个点到直线l的距离等于1，故B错误；
选项C：，
当且仅当PC与直线垂直时等号成立，所以，故C正确；
选项D：设点，则，，
由圆的切线性质知，直线AB的方程为，
整理得，解方程，得，
所以直线AB过定点故D正确．
故选：
根据圆与直线位置关系以及切线性质求解即可．
本题考查圆与直线位置关系以及切线性质，属于中档题．
 12.【答案】ABD 【解析】解：因为函数是偶函数，则，即，
所以函数关于直线对称，故A正确；
又函数为R上的奇函数，所以，则，
即函数是周期为4的奇函数，由，即
所以，故B正确；
，，
所以，故选项C错误；
综上：，作出与的函数部分图象如下图所示：

当时，函数过点，
故时，函数与无交点；
由图可知：当时，函数与有一个交点；
当时，函数的每个周期内与有两个交点，共个交点，而且，
即时，函数与无交点；
当时，过点，
故当时，函数与无交点；
由图可知：当时，函数与有3个交点；
当时，函数的每个周期内与有两个交点，共个交点，而且，
即时，函数与无交点；
综上，函数共有个零点，故D正确，
故选：
根据条件可得，，，即函数关于直线对称且周期为4的奇函数，利用周期性求出，，，判断选项A，B，C；再画出函数与的函数部分图象，数形结合判断它们的交点情况判断选项
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，函数性质的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
 13.【答案】7或8或9或填上述4个数中任意一个均可 【解析】【分析】
根据整数m代入该组数据对排序的影响分类讨论，从而求解．
本题考查了百分位数定义的应用，属于中档题．【解答】解：，，
若整数时，则m，6，7，7，8，8，9，10，
则8位同学的第25百分位数是，
去掉m后，第25百分位数是7，
故不成立；
若整数时，
则8位同学的第25百分位数是7，
去掉m后，第25百分位数是7，
故成立；
若整数时，
则8位同学的第25百分位数是7，
去掉m后，第25百分位数是7，
故成立；
则整数的值可以是7或8或9或10，
故答案为：7或8或9或填上述4个数中任意一个均可  14.【答案】 【解析】解：因为，
所以，
又因为为锐角，
所以
故答案为：
利用三角恒等变换求得，从而得到，由此结合角的范围即可得解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
 15.【答案】10 【解析】解：曲线C的方程可化为，
作出曲线C的图形，如图所示，
当P为时，，
当P为时，，
由对称性及运动变化思想可得
的最大值等于10，
故答案为：
根据题意可得：曲线C的方程可化为，再作出曲线C的图形，再数形结合，根据对称性及运动变化思想，即可求解．
本题考查曲线上的点到两定点的距离和的最值问题，数形结合思想，运动变化思想，属中档题．
 16.【答案】R 【解析】解：由的定义域为R，又，
所以有均为奇函数，且，
即图象在y轴一侧的点，在其另一侧一定存在关于原点对称的点，
所以上述y轴两侧关于原点的对称点与原点可构成满足题设的，，三点，
综上，对于，都有是“零和共线函数”．
故答案为：
判断函数的奇偶性，利用奇函数的对称性判断符合“零和共线函数”的定义对应的a取值．
本题主要考查函数与方程的应用，考查函数的性质，属于中档题．
 17.【答案】解：因为，所以由，
得，所以，
所以，即
在中，令，得，所以
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，即：
当时，，也适合上式，
所以数列的通项公式为
由知，，
所以，
因为，所以随着n的增大而增大，所以，
又显然，所以，即的取值范围为 【解析】将代入已知式子可得是等差数列，进而得到的通项公式，再由与的关系求出的通项公式．
由裂项相消求和可得，再由的单调性可求得其范围．
本题考查数列通项公式以及前n项和的求法，考查数列的函数特性以及裂项相消法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 18.【答案】解：过点A作交BC于D，

设米，，
则米，米，
在中，，
故；
设，
则米，米，
，
因为，
所以，
所以当时，该活动区域的面积取得最大值，最大值为平方米． 【解析】过点A作交BC于设，则，，
在中，求得，，由计算即可得解；
设，则，，从而得出，利用三角恒等变换、辅助角公式及三角函数的性质即可得到答案．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 19.【答案】解：证明：平面ABCD，平面ABCD，
，
，由，且ABCD是直角梯形，
，
，
，又，，平面PBC，平面PBC，
平面PBC，又平面EAC，
平面平面PBC；
由知平面PAC，
即为直线PB与平面PAC所成角，
，
，则，
取AB的中点G，连接CG，以点C为坐标原点，
分别以、、为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面PAC的法向量为，
则，取，
设平面ACE的法向量为，
则，取，
，又由图知所求二面角为锐角，
二面角的余弦值为 【解析】根据线面垂直的性质及勾股定理的逆定理可证出线面垂直，再由面面垂直的判定定理求证即可；
建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解二面角问题，化归转化思想，属中档题．
 20.【答案】解：每个芯片智能检测达标的概率为，
每个芯片智能检测不达标的概率为；
由题意可知，，，
，
令得，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
当时，取得极大值，即的极大值点；
由知，
人工抽检的综合指标达标的概率，
芯片合格的概率，
，
需要对生产工序进行改良． 【解析】先求出每个芯片智能检测达标的概率，再利用独立事件的概率关系求出每个芯片智能检测不达标的概率；
由题意可知，利用导数即可求出的极大值点；
由知，先求出人工抽检的综合指标达标的概率，再利用独立事件的概率乘法公式求出芯片合格的概率，进而作出判断．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题．
 21.【答案】解：设点，其中，则，可得，
易知、，则，
由已知，可得，，因此，双曲线C的方程为
由可知，则点，易知、，
若直线l与x轴重合，此时直线l交双曲线C于M、N两点，不合乎题意，
设点、，设直线PQ的方程为，
联立，可得，
由题意可得，可得，
由韦达定理可得，，
因为过点F的直线l交双曲线的右支于P、Q两点，
则，可得，
，可得，
因为点P在第一象限，则，
同理可得，
因为，可得，因为，则，
所以，可得，可得，
，解得，
所以直线l的方程为，即 【解析】设点，其中，利用点差法可得出，由已知条件可得出b、a的值，即可得出双曲线C的方程；
分析可知，直线l不与x轴重合，设点、，设直线PQ的方程为，将直线l的方程与双曲线C的方程联立，列出韦达定理，由两角差的正切公式以及已知条件分析得出，将此关系式代入韦达定理可求得m的值，即可得出直线l的方程．
本题主要考查双曲线的性质与双曲线的标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
 22.【答案】解：的定义域是，
由可得，即恒成立，
令，，，当时，，在单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当，，
所以实数a的取值范围为；．
存在，使得切线和的斜率互为倒数，理由如下：，，
设的切线方程是，则，显然，，切点为，
于是，解得，所以的斜率为e，于是的斜率为，
设的切点坐标为，由，，
又，所以，整理得，
设，，
当时，，在上递增，而，所以，
当时，，在上递减，
又，
所以存在，使得，
因此关于a的方程有正数解．
所以存在，使得切线和的斜率互为倒数． 【解析】由题意，转化为不等式恒成立，令，利用导数求出函数的最大值即可得解；
根据导数的几何意义求出过原点的切线方程的斜率，由斜率之间的关系可得，再通过构造函数判断其有解即可．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值以及不等式的恒成立问题，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．