2022-2023学年安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学试题（一模）（含答案解析）

2022-2023学年安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学试题（一模）

1.  已知复数z满足，则复数z的虚部为.(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

3.  核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据.经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响.已知国外某地新冠病毒感染率为，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将函数图象上各点横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位得到曲线若曲线C的图象关于y轴对称，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，，则p是q的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6.  已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A，且，当 PQ绕点A转动时，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  抛物线的焦点为F，曲线交抛物线E于A，B两点，则的面积为(    )

A. 4 B. 6 C.  D. 8

8.  已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为s，则s的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知，函数的图象可能是.(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知数列满足若，都有成立，则整数的值可能是(    )

A.  B.  C. 0 D. 1

11.  已知圆锥是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点的母线长为，高为若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是(    )

A. 三角形SPQ面积的最大值为
B. 三棱锥体积的最大值
C. 四面体SOPQ外接球表面积的最小值为
D. 直线SP与平面SOQ所成角的余弦值的最小值为

12.  已知函数是偶函数，且当时，，则下列说法正确的是(    )

A. 是奇函数
B. 在区间上有且只有一个零点
C. 在上单调递增
D. 区间上有且只有一个极值点

13.  函数在点处的切线与直线平行，则实数__________.

14.  二项式展开式中，的系数是__________.

15.  已知AB为圆的一条弦，M为线段AB的中点.若为坐标原点，则实数m的取值范围是__________.

16.  已知双曲线的左右焦点分别为，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与y轴交于Q点.若，则双曲线E的离心率的取值范围为__________.

17.  已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，

求数列的通项公式

求证：

18.  如图，正方体的棱长为4，点M为棱的中点，P， Q分别为棱BB，上的点，且，PQ交于点

求证：平面

求多面体BDMPQ的体积.

19.  已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且

若，求A的大小;

当取得最大值时，试判断的形状.

20.  已知曲线，对曲线C上的任意点做压缩变换，得到点

求点所在的曲线E的方程;

设过点的直线l交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线

的位置关系，并写出分析过程.

21.  研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病发生或恶化.某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：

参考数据：，

已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊

的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为，求的值;

已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经

验回归方程，据此估计昼夜温差为时，该校新增患感冒的学生数结果保留整数

参考公式：
，

22.  已知函数

讨论函数的单调性;

若关于x的方程有两个实数解，求a的最大整数值.

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的除法运算，复数的概念，属于较易题．
由题意，利用复数运算法则得到z，根据复数的概念，即可得结果．

【解答】

解：由题意知，
的虚部为
故选

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查补集运算，属于较易题.
，由补集运算即可求解.

【解答】

解：，
则
故选

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查条件概率的概念与计算，属于较易题.
结合条件概率计算公式求解即可.

【解答】

解：设国外某地新冠病毒感染为事件A，则，
标本检出阳性为事件B，则，
因为，
所以该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为
故选

4.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查正弦型函数的图象变换，以及正弦型函数的奇偶性，属于较易题.
根据题意求出平移后曲线C的解析式，再利用曲线C关于y轴对称解答即可.

【解答】

解：由题意得，曲线 C的解析式为，
曲线C的图象关于y轴对称， 
，，
解得，，
又，

故选

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查充分、必要、充要条件的判断，以及利用对数函数的单调性解不等式，属于较易题.
设，判断函数的奇偶性和单调性，然后根据定义法判断p与q的关系可得.

【解答】

解：设，定义域为，
则


，
函数是奇函数，
由复合函数的单调性知在上单调递增，
由奇函数的性质知函数在R上是增函数，
①若，有，从而，即，
，故p是q的充分条件；
②若，即，
，即，故p是q的必要条件;
综上所述，p是q的充要条件.
故选

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的概念及其运算，以及向量的加减与数乘混合运算，属于中档题.
利用向量的线性运算用向量表示，，再通过向量数量积的运算即可确定的取值范围.

【解答】

解：由题意得， 
，



，
，
，

故选

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查直线与抛物线位置关系及应用，抛物线中的面积问题，属于中档题．
根据题意可知，曲线l当时，；当时，，二者分别与抛物线联立，可求出点A、点B的坐标，则及直线AB的方程可求，继而可求点F到直线AB的距离，则可求的面积.

【解答】

解：由题意可知，抛物线E：的焦点F的坐标为，
曲线，
当时，，
当时，，
当时，与抛物线方程联立并消y，
化简得，
解得或舍去，
则A点横坐标为，
点纵坐标为，
点坐标为，
同理可得，当时，与抛物线方程联立并消y，
可求得B点横坐标为，
则B点纵坐标为，
点坐标为，
则，
可得直线AB的方程为，即，
点到直线AB的距离为，
，
的面积
故选

8.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查空间几何体的截面问题，以及线面垂直的性质，属于较难题.
取AC的中点O，则O是正方形ABCD的中心，连接MO，取的中点G，连接NG，DG，过M作，交DC于H，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质得平面MOH就是平面，在平面内，以D为坐标原点，DC，所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，利用向量的数量积与向量的垂直关系得，再利用面面平行的性质得和，最后利用平面几何知识，计算得结论.

【解答】

解：如图
取AC的中点O，则O是正方形ABCD的中心，连接MO，
因为M是侧面的中心，
易得，
又因为N是侧面的中心，
所以N是的中点，
而在正方体中，，
所以，
所以，
取的中点G，连接NG，DG，
在平面内，过M作，交DC于H，交于E，交的延长线于S，
因为N是的中点，G是的中点，
所以，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为，DG、平面DNG，
所以平面DNG，
因为平面DNG，
所以，
因为，MO、平面MOH，
所以平面MOH，即平面MOH就是平面，
延长HO，分别交AB，DA的延长线于Q，T，连接ST，分别交，于P，F，
因此五边形QHEFP是平面截正方体所得的截面，
因为正方体的棱长为4，
所以正方形的边长为4，
在平面内，以D为坐标原点，DC，所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系如下图：

则，，，
设，则，，
因为，
所以，
解得，即，
而，
因此，
所以，即，
解得，
在图1中，因为四边形ABCD也是边长为4的正方形，O为AC的中点，
所以，
因此，
因为平面平面，平面分别交平面ABCD，平面于FE，TH，
所以，且，
同理可得，且，
在中，因为，，
所以，
因此，
所以五边形QHEFP面积
故选

9.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查函数图象的识别，属于较易题.
分、和三种情况由排除法可得结论.

【解答】

解：当时，，
此时函数为一条射线，且函数在上为增函数，B选项符合；
当时，函数在上为增函数，在上为减函数，
所以函数在上为增函数，
此时函数在上只有一个零点，A选项符合；
当时，时，函数的增长速度远小于函数的增长速度，
所以时，函数一定为减函数，选项C符合，D不符合.
故选

10.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的单调性解不等式，数列的单调性，属于中档题．
根据题意求出，问题转化为，恒成立，对n分奇数、偶数讨论即得结论．

【解答】

解：，
，
两式相减得
，
，都有成立，
，恒成立，
即，恒成立，
当时，恒成立，
即恒成立，
，
，
当时，恒成立，
即，
，
，
综上所述，，
整数的值可能是0或
故选

11.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查棱锥的体积，球的切、接问题，以及直线与平面所成的角，属于中档题.
由圆锥SO的结构特征，求出底面圆半径r，再对照选项，逐一判断即可.

【解答】

解：由题意，底面圆O半径，

对于选项A，如图，当 P， Q位于直径端点时，
，
从而，即，
故存在PQ使得，此时三角形PSQ面积最大，
，故A错误;
对于选项B，因为，
当时，三棱锥体积的最大，
，故B正确;
对于选项C，当P，Q趋于重合时，的外接圆半径趋近于1，
故四面体SOPQ外接球的半径R趋近于 ，
此时四面体SOPQ外接球表面积S趋近于，故C错误;
对于选项D，设直线SP与平面SOQ所成角的为，
设d为P到平面SOQ的距离，故，
其中当时，d取最大值2，
此时取最大值，
此时取最小值，故D正确.
故选

12.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的零点，利用导数判断已知函数的单调性，利用导数求已知函数的极值或极值点，以及判断或证明函数的奇偶性，是较难题.
由已知根据对称性判断奇偶性可判断利用导数结合复合函数的性质判断函数在上单调性、极值、零点即可判断CD，再结合函数的对称性、周期性即可判断
 

【解答】

解：函数为偶函数，
函数的图象关于对称，则，
又，
，
函数是奇函数，故A正确;
，
，
函数是周期为4的周期函数，
当时，，
，
令，则，
，
，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
又在上单调递减，
故根据复合函数单调性可得在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
故在上存在唯一的使得，
故当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
故在上有且只有一个极值点，
故D正确;
又，
故，即，
故在上单调递增，故C正确;
，，，
故存在唯一的，使得，即在上有唯一零点，
由关于对称，故在上有且只有2个零点，
又周期为4，故在上有且只有2个零点，故B错误.
故选

13.【答案】5 

【解析】

【分析】

本题考查已知斜率求参数，导数的几何意义，两条直线平行与斜率的关系，属于较易题.
求出导函数，运用切线与直线平行，即可求a的值． 

【解答】

解：， 
， 
曲线在处的切线与直线平行，故其斜率相等且为，
，
解得
故答案为：

14.【答案】15 

【解析】

【分析】

本题考查二项式指定项的系数与二项式系数，属于较易题.

利用乘法分配律和二项式展开式的通项公式，求得的系数即可.

【解答】

解：展开式的通项为，
当时，解得，
当时，解得，不符合题意，
当时，解得，
在的展开式中，含项的系数是由的含x项的系数加上含项的系数，

展开式中含项的系数是
故答案为：

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线与圆的位置关系的判断及求参，属于较难题.
由题意可得，进而可得存在AB为圆C的一条弦，使得，可得，求解即可.

【解答】

解：圆的圆心坐标为，半径为，
为线段AB的中点， ，
又，
，
，
存在AB为圆C的一条弦，使得，
，则 ，
此时，
当OA、OB与圆相切时，有最大值，
则，解得，
则实数m的取值范围是
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查求双曲线的离心率，属于较难题.
设，，根据，可得，根据P、Q、三点共线可得，由斜率公式列式可求，再根据题意可得，解不等式即可求解.

【解答】

解：如图，设，，

则，，，
，
，即，①
又、Q、三点共线，
，即，②
由①②可得，
为双曲线右支上一点，，
，
，
，
解得，
即双曲线E的离心率的取值范围为
故答案为

17.【答案】解：设等差数列的公差为d，，
，，
，，
解得或舍去，，
；
证明：，
，
故 

【解析】本题考查裂项相消法求和，以及等差数列的通项公式，属于中档题.
求出首项和公差，由等差数列的通项公式即可求解;
利用放缩法和裂项相消法求和即可求证.
 

18.【答案】解：证明：，正方体的棱长为4，
，
又，
，，
≌，
，即点N为线段的中点，
取BC的中点为E，连接AE、NE，
，且，
为棱的中点，，
，且，
四边形AMNE为平行四边形，
，
平面ABCD，平面ABCD，
平面ABCD；
连接DP，
设多面体BDMPQ的体积为V，


 

【解析】本题考查线面平行的判定，简单组合体的表面积与体积，属于中档题.
取BC的中点为E，连接AE、NE，通过求证，由线面平行的判定定理即可求证;
利用即可求解.
 

19.【答案】解：，
即，
，
，
即，
当时，，
又，解得；
由知，，
，


，
当且仅当，即当，时，等号成立，
的最大值为，
又，
的最大值为，
此时，
，
为直角三角形. 

【解析】本题考查利用余弦定理解三角形，两角和与差的正切公式，以及由基本不等式求最值，属于中档题.
利用正、余弦定理化简已知式子，得出，即可求出结果；
由，利用基本不等式求出的最大值以及取得最大值时，角C的值，即可求出结果.
 

20.【答案】解：由，得，
代入，得，
曲线E的方程为；
当直线l的斜率存在时，设，
由消去y，整理得，
设，，
则，
以AB为直径的圆的圆心横坐标为，

又

，
以AB为直径的圆的半径为，
则圆心到直线的距离为，
，
即，
以AB为直径的圆与直线相离，
当直线l的斜率不存在时，
易知以AB为直径的圆的半径为，
圆的方程是，
该圆与直线相离，
综上所述，以AB为直径的圆与直线相离. 

【解析】本题考查直线与圆的位置关系的判断及求参，椭圆的弦长，以及椭圆的标准方程，属于较难题.
由得，代入即可求解;
当直线l的斜率存在时，设，联立椭圆方程，利用根与系数的关系和弦长公式求出，求出以AB为直径的圆的半径R和圆心到直线的距离d，比较后即可作出判断;当直线l的斜率不存在时，求出圆的方程，可判断出直线与圆的位置关系.
 

21.【答案】解：由题意得，
，
，
解得；
，，
，
，
，
，
又，
解得，
，
，
当时，，
可以估计，昼夜温差为时，该校新增患感冒的学生数为33人. 

【解析】本题考查古典概型及其计算，回归直线方程，以及用回归直线方程对总体进行估计，属于较难题.
利用，即求解即可;
由题意求出和，可得回归直线方程，再令即可求预测值.
 

22.【答案】解：，，
，，
①当，即时，恒成立，此时，在上单调递减；
②当，即时，
由，解得，
由，解得，
由，解得，或，
此时，在和上单调递减，在上单调递增；
③当，即时，
由，解得或舍，
由，解得，
由，解得，
此时，在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
令，
则，，
由知，当时，在上单调递减，
在上至多有一个零点，不符合题意舍去，
是整数，
，
当时，由知在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，
当时，，
若在上有两个零点，则有，
，
令，则，
，
则，
在上单调递增，
又，，
存在唯一的，使得，
当时，，此时，
若，则，，
令，则在上单调递增，
又，
，
当时，，
此时，，
，
当时，成立，
的最大整数值为 

【解析】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究函数的零点，属于较难题．
求出原函数的导函数，，根据分类讨论，由导函数的符号可得原函数的单调性即可；
令，通过导数研究函数单调性及零点，即可求得结果.