备战2023年高考数学常考题型分类讲义 第22讲 圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型

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高考二轮数学复习策略第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。 第22讲  圆锥曲线解答题中的弦长面积问题3种常考题型【考点分析】考点一：弦长公式设，根据两点距离公式．注意：①设直线为上，代入化简，得;②设直线方程为，代入化简，得③，其中为直线与圆锥曲线联立后得到的一元二次方程的判别式，为二次项系数考点二：三角形的面积处理方法①底·高     （通常选弦长做底，点到直线的距离为高）②水平宽·铅锤高或③在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．    考点三：四边形面积处理方法①若四边形对角线与相互垂直，则②将四边形面积转化为三角形面积进行解决【题型目录】题型一：求弦长及范围问题题型二：三角形面积及范围问题题型三：四边形面积及范围问题【典型例题】题型一：求弦长及范围问题【例1】已知椭圆：的离心率为且经过点1)，直线经过且与椭圆相交于两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)当求此时直线的方程；    【例2】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD，求的取值范围.    【例3】已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．(1)求椭圆的方程；(2)过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值．     【题型专练】1．椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．  2.已知椭圆：过点且与抛物线：有一个公共的焦点．(1)求椭圆与抛物线的方程；(2)过点的直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点．是否存在这样的直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．   3.已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求的方程；(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围． 4.已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.(1)求椭圆E的离心率；(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.  题型二：三角形面积及范围问题【例1】在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积．  【例2】已知椭圆E的中心为坐标原点O，对称轴分别为x轴、y轴，且过，两点．(1)求E的方程；(2)设F为椭圆E的一个焦点，M，N为椭圆E上的两动点，且满足，当M，O，N三点不共线时，求△MON的面积的最大值．   【例3】已知椭圆：的离心率，短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的右顶点，，是轴上关于轴对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为，点为中点，点在直线上且满足（为坐标原点），记，的面积分别为，，若，求直线的斜率． 【例4】已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且当轴时，.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率存在且不为0，点在轴上的射影分别为，且三点共线，求证：与的面积相同.【例5】已知椭圆的上､下顶点分别为，点在椭圆内，且直线分别与椭圆交于两点，直线与轴交于点．已知．(1)求椭圆的标准方程；(2)设的面积为的面积为，求的取值范围．    【题型专练】1.已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，点在上.(1)是上一动点，求的范围；(2)过的右焦点，且斜率不为零的直线交于，两点，求的内切圆面积的最大值.    2．已知O为坐标原点，点皆为曲线上点，为曲线上异于的任意一点，且满足直线的斜率与直线的斜率之积为.(1)求曲线的方程：(2)设直线与曲线相交于两点，直线的斜率分别为（其中），的面积为，以为直径的圆的面积分别为、，若恰好构成等比数列，求的取值范围.    3.已知椭圆：的长轴为4，离心率为(1)求椭圆的方程；(2)如图，过点的直线与交于，，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由  4．已知椭圆经过点且焦距为4，点分别为椭圆的左右顶点，点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)设直线的斜率分别为，求的值；(3)是椭圆上的两点，且不在坐标轴上，满足，，问的面积是否是定值？如果是，请求出的面积；如果不是，请你说明理由.  5．已知圆：，点，是圆上的一个动点，线段的中垂线交于点.(1)求点的轨迹的方程；(2)若点，过点A的直线与C交于点M，与y轴交于点N，过原点且与平行的直线与C交于P、G两点，求的值. 6.若椭圆与椭圆满足，则称这两个椭圆为“相似”，相似比为m.如图，已知椭圆的长轴长是4，椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似比为. (1)求椭圆与椭圆的方程；(2)过椭圆左焦点F的直线l与、依次交于A、C、D、B四点.①求证：无论直线l的倾斜角如何变化，恒有.②点M是椭圆上异于C、D的任意一点，记面积为，面积为，当时，求直线l的方程.  7.已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为、，离心率，P为椭圆上任意一点，的周长为6.(1)求椭圆C的标准方程：(2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由    题型三：四边形面积及范围问题【例1】已知椭圆C：＋＝1，过A(2，0)，B(0，1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积.  【例2】设椭圆的左焦点为F，上顶点为P，离心率为，O是坐标原点，且.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F作两条互相垂直的直线，分别与C交于A，B，M，N四点，求四边形面积的取值范围.  【例3】椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于A，两点，且以为直径的圆过原点.(1)求椭圆的方程；(2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值.    【例4】在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.(1)求轨迹的方程；(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.  【题型专练】1．已知椭圆，离心率为，其左右焦点分别为，，点在椭圆内，P为椭圆上一个动点，且的最大值为5．(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），且，求四边形的面积．   2．已知的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A、B两点，直线与x轴相交于点H，过点A作，垂足为D．(1)求椭圆C的标准方程；(2)①求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；②证明直线BD过定点E，并求出点E的坐标．    3．已知过点的椭圆：上的点到焦点的最大距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)已知过椭圆：上一点的切线方程为.已知点M为直线上任意一点，过M点作椭圆的两条切线 ，为切点，与（O为原点）交于点D，当最小时求四边形的面积.   4.设椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q为椭圆C上任意两点，且，若的周长为8，面积的最大值为2．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C内切于矩形ABCD（椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD面积的最大值．    5．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．(1)求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；(2)过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．