2023北京丰台高三一模数学（含答案解析）

2023北京丰台高三一模数学

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.  设，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知圆与y轴相切，则(    )

A.  B.  C. 2 D. 3

4.  已知是定义在R上的奇函数，当时，，则(    )

A.  B. 0 C. 1 D. 2

5.  在平面直角坐标系xOy中，若角以x轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，则的一个可能取值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，若，则该三角形的形状一定是(    )

A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

7.  设无穷等差数列的前n项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.  已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为(    )

A. 1 B.  C. 2 D.

9.  已知函数的定义域为R，存在常数，使得对任意，都有，当时，若在区间上单调递减，则t的最小值为(    )

A. 3 B.  C. 2 D.

10.  如图，在直三棱柱中，，，，，点D在棱AC上，点E在棱上，给出下列三个结论：

①三棱锥的体积的最大值为；

②的最小值为；

③点D到直线的距离的最小值为

其中所有正确结论的个数为(    )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11.  若复数是纯虚数，则________.

12.  已知正方形ABCD的边长为2，则________.

13.  从，，1，2，3这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”为事件A，“两数均为负数为事件则________.

14.  设函数若存在最小值，则 a的一个取值为_______； a的最大值为________.

15.  三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家约前后借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则

①双曲线H的离心率为________；

②若，，CE交AB于点P，则________.

16.  已知函数的部分图象如图所示．

求的解析式；

若函数，求在区间上的最大值和最小值．

17.  如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，，点E是棱PA的中点，连接OE，

求证：平面PCD；

若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP的长．

条件①：平面平面ABCD；

条件②：

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

18.  交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：

某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：

从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；

从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求X的分布列及数学期望；

把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次记为，将2022年同期TPI依次记为，记，请直接写出取得最大值时i的值．

19.  已知椭圆的一个顶点为，焦距为

求椭圆E的方程；

过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线点B，C在直线l的两侧垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．

20.  已知函数

求函数的极值；

若函数有两个不相等的零点，

求a的取值范围；

证明：

21.  已知集合，对于集合的非空子集若中存在三个互不相同的元素a，b，c，使得，，均属于A，则称集合A是集合的“期待子集”．

试判断集合，是否为集合的“期待子集”；直接写出答案，不必说明理由

如果一个集合中含有三个元素x，y，z，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质对于集合的非空子集A，证明：集合A是集合的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P；

若的任意含有m个元素的子集都是集合的“期待子集”，求m的最小值．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】略
 

2.【答案】D 

【解析】略
 

3.【答案】C 

【解析】略
 

4.【答案】A 

【解析】略
 

5.【答案】B 

【解析】略
 

6.【答案】A 

【解析】略
 

7.【答案】A 

【解析】略
 

8.【答案】C 

【解析】略
 

9.【答案】B 

【解析】略
 

10.【答案】C 

【解析】略
 

11.【答案】 

【解析】略
 

12.【答案】4 

【解析】略
 

13.【答案】 

【解析】略
 

14.【答案】0；1 

【解析】略
 

15.【答案】2； 

【解析】略
 

16.【答案】解：如图所示，可得，所以，
又因为，所以，
又因为过点，，
所以，所以
依题意






因为，所以，
所以，
当，即时取最大值，最大值为，
当，即时，取最小值，最小值为 

【解析】略
 

17.【答案】解：证明：因为底面ABCD是菱形，所以O是AC的中点，
因为E是PA的中点，所以，
因为平面PCD，平面PCD
所以平面
选择条件①

因为，O是BD的中点，所以，
因为平面平面ABCD，
平面平面，平面PBD，
所以平面ABCD，因为平面ABCD，
所以，
又，所以OB，OC，OP两两垂直，
以O为原点建立空间直角坐标系，
因为菱形的边长为2，，
所以，，
所以，，设，
所以，，
设为平面PCD的一个法向量，
由得所以取，则，
所以，
因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为，
因为平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值，所以，
即，
所以，即，因为，
所以
所以线段OP的长为
选择条件②
因为在菱形ABCD中，，
因为平面PBD，平面PBD，，所以平面PBD，
因为平面PBD，所以，因为，
所以OB，OC，OP两两垂直.以下同条件② 

【解析】略
 

18.【答案】解：年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”有2天.
设事件“从2022年元旦及前后共7天中任取1天，这一天交通高峰期城市道
路拥堵程度为‘拥堵'”，
则
的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列为：

【解析】略
 

19.【答案】解：由已知得：，
因为，所以，
所以，椭圆E的方程为：
由已知得：直线BC的斜率存在，且点B，C在x轴的同侧.
设直线BC的方程：，点，，不妨设
则，
由得：，
所以，，，
因为，，
所以，









要使，，总成等比数列，则应由
解得：
所以，存在常数，使得，，总成等比数列. 

【解析】略
 

20.【答案】解：，，
当时，由得，，
x，，的变化情况如下表：

所以的极小值为
有两个零点的必要条件是，即0;
当时，，，，
所以在区间上有且仅有一个零点，
又因为时，，
所以在区间上有且仅有一个零点，
所以有两个零点时，a的取值范围是
，不妨设，可知，
即，所以，
等价于，
因为，
所以等价于，即2，
令2，因为，
所以，
，
所以在区间上单调递增，所以，
所以 

【解析】略
 

21.【答案】解：集合是集合的“期待子集”，集合不是集合的“期待子集”.
先证明必要性：
当集合A是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的a，b，，使，，，
不妨设，则，，;则，即条件P中的①成立；
又，
所以，即条件P中的②成立;
因为，
所以是偶数，即条件P中的③成立.
所以集合A满足条件
再证明充分性：
当集合A满足条件P时，有，y，，
满足①，②③为偶数，
记，，，
由③得：a，b，，由①得：，得：，
所以a，b，，
因为，，，所以，，均属于A，
即集合A是集合的“期待子集”.
的最小值为理由如下：
一方面，当时，对于集合，其中任意三个元素之和均为奇数，由知，M不是的“期待子集”;
当时，对于集合从中任取三个不同元素，若不含有2，则不满足条件P中的③若三个元素中含有2，则另两数必都是奇数，因为任意两个奇数之差都不小于2，故不满足条件P中的②，所以
M不是的“期待子集”;所以
另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”：
当时，对于集合的任意含有6个元素的子集，记为B，
当4，6，8三个数中恰有1个属于B时，则，因为数组3，4，5、3，5，6、5，7，8都满足条件P，所以此时集合B是集合的“期待子集”;
当4，6，8三个数恰有两个属于集合B，则3，5，7中至少有两个属于集合B，
因为数组3，4，5、3，5，6、3，6，7、3，7，8、5，6，7、5，7，8都满足条件P，
当4，6，8三个数都属于集合B，因为数组4，6，8满足条件P，
所以此时集合B集合的“期待子集”;
所以集合B必是集合的“期待子集”;
所以当时，的任意含有6个元素的子集都是集合的“期待子集”.
假设当时，结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，那么时，对于集合的任意含有个元素的子集C，分成两类：
①若，，至多有1个属于C，则C中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立;
②若，，则集合C中恰含的个元素，此时，当C中只有一个奇数时，则集合C中包含中的所有偶数，此时数组，，2k符合条件P，结论成立;当集合C中至少有两个奇数时，则必有一个奇数c不
小于3，此时数组c，，2k符合条件P，结论成立;
所以时，结论成立
根据知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子
集”，所以m的最小值为 

【解析】略